PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE STATISTIKIH SLUAJNIH PROMENLJIVIH PARAMETRI
PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE STATISTIČKIH SLUČAJNIH PROMENLJIVIH
PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA • • Srednje vrednosti nekog obeležja su važan statistički podatak. One mogu da reprezentuju ceo skup i da omoguće upoređivanje različitih skupova. To su aritmetička sredina, moda i medijana. Najčešće se koristi aritmetička sredina. Definicija: Ako obeležje X ima vrednosti , tada je aritmetička sredina Kako se vrednosti obeležja javljaju sa različitim frekvencijama onda je.
Primer: • Naći aritmetičku sredinu brojeva 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4.
• Primer: • U skupu od 32 učenika, visine su date u untervalima dužine 5 X 140 -145 145 -150 150 -155 155 -160 160 -165 165 -170 170 -175 175180 180 -185 185 -190 fi 1 0 1 3 7 8 5 3 3 1 fri 1/32 0 1/32 3/32 7/32 8/32 5/32 3/32 1/32
• • Definicija: Moda je vrednost obeležja koje ima najveću frekvenciju. Može se desiti da moda ne postoji ili da ih ima više. Primer: Naći modu brojeva 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4. • Naći modu brojeva 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4.
• Za vrednosti obeležja datih intervalima, ali kod neprekidnih, moda se ne može tako jednostavno odrediti. Treba ga tražiti u intervalima sa najvećim frekvencijama i oni se nazivaju modalni intervali. • Gde je a 1 donja granica modalnog intervala, a frekvencije f 1, f 2, su frekvencije predmodalnog, modalnog i postmodalnog intervala, a d veličina intervala.
Primer: U skupu od 32 učenika obeležje je visina data u intervalima dužine 5 cm. X 140145 145150 150155 155160 160165 165170 170175 175180 180185 185190 1 3 7 8 5 3 3 1 0
• • Primer: U primeru sa visinama imamo da je modalni interval [165 -170],
Definicija: • Medijana je srednja vrednost svih vrednosti obeležja uređenih po veličini. Kod određivanja medijane moramo razlikovati slučajeve kada je broj vrednosti obeležja paran i neparan. • Ako je broj obeležja neparan, onda postoji jedna vrednost obeležja koja je u sredini. • Ako je broj rednosti paran, tada postoje 2 srednja člana i uzima se njihova aritmerička sredina Primer: Skup vrednosti nekog obeležja 21, 25, 27, 30, 32 ima medijanu 27. Primer: Skup vrednosti nekog obeležja 17, 19, 21, 23, 26, 28 ima medijanu • •
• Ako su vrednosti obeležja date intervalima, prvo se određuje medijalni interval u kome se nalazi srednji član, pa je medijana: • Primer: Medijana visina učenika je
• Mod i medijana imaju veliku primenu kada treba naći onu vrednost obeležla koje se najčešće sreće. • Ako ispitujemo uslove stanovanja bolji pokazatelj veličine stambene površine koju koristi najveći broj stanovnika ( mod ), nego prosečna površina po jednom stanovniku ( aritmetička sredina ). • Dok srednji vek trajanja lokomotive može se odrediti i pre rashodovanja svih lokomotiva , tako što se nađe medijana kada broj rashodovanih lokomotiva pređe polovinu.
PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUČAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJA • VARIJANSA ILI DISPERZIJA Varijansa ili disperzija je mera odstupanja koja se izračunava kao prosek kvadrata odstupanja sredine od vrednosti svakog podatka u skupu. Ako obeležje X ima vrednosti
• Primer: Na osnovu broja dana koje je neki radnik proveo na bolovanju tokom godine 7, 23, 4, 8, 2, 12, 6, 13, 9, 4 odrediti rasturanje u odnosu na prosečan broj dana na bolovanju. • Rešenje: Prosečan broj dana koji je proveo na bolovanju je
x-broj dana na bolovanju 7 49 -1, 8 3, 24 23 529 14, 2 201, 64 4 16 -4, 8 23, 04 8 64 -0, 8 0, 64 2 4 -6, 8 46, 24 12 144 3, 2 10, 24 6 36 -2, 8 7, 84 13 169 4. 2 17, 64 9 81 0, 2 0, 04 4 16 -4, 8 23, 04 88 1108 333, 06
ili korišćenjem druge formule
x je broj aparata • Primer: Odrediti rasturanje prodaje TV 8 aparata na osnovu podataka 9 datih u tabeli. Broj dana u mesecu 2 4 10 6 11 7 12 5 13 4 14 1 15 1 ukupno
• Rešenje: Prosečan broj prodatih TV aparata je
Prodato aparata x Broj dana u mesecu f 8 2 64 128 9 18 9 4 81 324 4 16 100 600 1 6 11 7 121 847 0 0 12 5 144 720 1 5 13 4 169 676 4 16 14 1 196 9 9 15 1 225 16 16 ukupno 30 3716 81
STANDARDNA DEVIJACIJA • • Disperzija nije pogodna za interpretaciju jer je izražena u kvadratima jedinice. Zbog toga se za interpretaciju rasturanja neke pojave koristi kvadratni koren disperzije koji se naziva standrdna devijacija. U predhom primeru
. RASPODELE PARAMETARASTATISTIKA UZORKA • Neka obeležje X u populaciji od N elemenata ima matematičko očekivanje i disperziju • Elementi bilo kog uzorka od n elemenata X 1, X 2, . . . Xn , ove populacije imaju isto matematičko očekivanje i disperziju, pa su matematičko očekivanje i disperzija aritmetičke sredine jednaki:
• Znači, ako slučajna promenljiva X, koja predstavlja neko obeležje populacije, ima normalnu raspodelu , onda će aritmetička sredina imati takođe normalnu raspodelu oblika • Ako slučajna promenljiva X nema normalnu raspodelu, ali je n>30, onda će raspodela aritmetičkih sredina težiti normalnoj raspodeli.
• • Primer: 600 kuglica koje su proizvedene u jednoj fabrici ima srednju težinu 5 gr i standardno odstupanje od 0, 3 gr. Bira se slučajan uzorak od 100 kuglica. Naći verovatnoću da će se težine svih kuglica u uzorku nalaziti u granicama od 4, 9 gr do 5, 02 gr, ako znamo da se radi o normalnoj raspodeli.
- Slides: 23