Paralllogrammes Remarque 1 Paralllogrammes 2 Paralllogrammes particuliers 3

Parallélogrammes Remarque 1) Parallélogrammes 2) Parallélogrammes particuliers 3) Aire d’un parallélogramme

Remarque B B A A C D ABCD est un quadrilatère non croisé. C D ABDC est un quadrilatère croisé. Dans la suite, nous ne parlerons que de quadrilatères non croisés.

1) Parallélogrammes a) Définition b) Propriétés c) Comment reconnaître un parallélogramme

a) Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

b) Propriétés Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu et ce point est le centre de symétrie de ce parallélogramme.

A B O D O est le centre de symétrie, donc : C AB = CD BC = AD Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors : • ses angles opposés ont la même mesure; • ses côtés opposés sont de même longueur.

c) Comment reconnaître un parallélogramme Les réciproques de ces propriétés sont vraies. Exemple : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. A B Si : O milieu de [AC] et de [BD]. O D Alors : C ABCD est un parallélogramme.

• Si un quadrilatère a ses côtés opposés égaux, alors c’est un parallélogramme. • Si un quadrilatère a 2 côtés opposés parallèles et égaux, alors c’est un parallélogramme. . • Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme. Ces réciproques peuvent permettre de : • tracer un parallélogramme ; • reconnaître un parallélogramme ; • démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

2) Parallélogrammes particuliers a) Le rectangle b) Le losange c) Le carré

a) Le rectangle • Propriétés Si un quadrilatère est un rectangle, alors : • il a quatre angles droits ; • c’est un parallélogramme ; • ses diagonales ont la même longueur ( et le même milieu ) ; • il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie (médiatrices des côtés).

• Comment reconnaître un rectangle Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle. Si : EFGH est un parallélogramme Alors : EFGH est un rectangle.

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle. Si : • AC = BD et • [AC] et [BD] ont le même milieu, Alors : ABCD est un rectangle.

b) Le losange • Propriétés Si un quadrilatère est un losange, alors : • il a 4 côtés de même longueur ; • c’est un parallélogramme ; • ses diagonales sont perpendiculaires ( et ont le même milieu ) ; • il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie (ses diagonales).

• Comment reconnaître un losange Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. Si : EFGH est un parallélogramme et EF = FG, Alors : EFGH est un losange.

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. Si : • AC BD et • [AC] et [BD] ont le même milieu, Alors : ABCD est un losange.

c) Le carré • Propriétés Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il a donc toutes les propriétés de ces deux quadrilatères.

• Comment reconnaître un carré Pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré, il faut prouver que c’est à la fois un rectangle et un losange. Si : • [AC] et [BD] ont le même milieu; • AC = BD; • (AC) (BD). Alors : ABCD est un carré.

3) Aire d’un parallélogramme a) Exemple b) Formule

a) Exemple Soit un parallélogramme tel que : Côté = 1 O cm Hauteur = 5 cm En le découpant suivant les pointillés, on obtient la figure suivante : C’est un rectangle. Son aire est 5 10 = 50 cm ². Donc l’aire de ce parallélogramme est de 5 O cm ².

b) Formule Côté = c Hauteur = h Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on multiplie la longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté. Aire d’un parallélogramme = côté x hauteur correspondante