P Pi iin daha fazla basamak hesaplama istei

Pİ Pi için daha fazla basamak hesaplama isteği çevrenin çapa oranının çok karmaşık olmasındandır.

Bugün pi için 51 milyar basamak hesaplanmıştır ama aslında en titiz bir mühendis 20 basamaktan fazlasına ihtiyaç duymaz. (hesaplamalar şu an yaklaşık 207 milyar basamağa gelmiştir)

Pi’ye en çok çember alanında rastlansa da pi fizikte, istatistikte mühendislikte, mimarlıkta ve matematiginin her alanında kullanılır.

Eğer pi sayısının basamaklarına bir düzen, bir kural bulunabilseydi matematik ve evrendeki fizik çok daha iyi kavranılırdı.

İLK ÇAĞLAR (m. ö. 2000 -500) İlk uygarlıktaki insanlar sadece deneyler yaparak bir dairenin çevresinin, çap uzunluğunun 3 katından biraz fazla olduğunu anlamışlardır. Fakat bundan daha ötesine gidilebildiğine dair bir kanıt yoktur.

ESKİ YUNANİSTAN DÖNEMİ (m. ö. 500 - m. s. 200) Bir daire ile bir kare arasında kesin bir ilişki kurma çabasını ilk anaxagoras başlatmıştır.

Anaxagoras bir daireye eşit alana sahip bir kare çizmenin yöntemini geliştirmiştir, fakat bunu nasıl yaptığını bilmiyoruz.

Kısa bir süre sonra Antiphon ve Bryson yeni bir fikir geliştirdiler. Bir altıgen alınıp kenar sayısı ikiye katlanıp ve sonra yine sürekli ikiye katlanırsa sonunda (onlara göre) o kadar çok kenar olacaktır ki bu altıgen bir daire haline gelecektir.

Antiphon, önce bir çokgen çizip, art arda gelen çokgenler bir daireye yaklasirken her birinin alanini hesapladı ve böylece dairenin yaklasik alan degerini buldu.

Bryson ise biri dairenin içine diğeri dışına olmak üzere iki çokgenin alanını hesapladı. Daire alanının bu iki çokgen alan değerinin arasında bir yerde olacağını düşünüyordu.

Bu hesaplamalar o çağ için oldukça karışık bir işti çünkü; giderek küçülen yüzlerce üçgenin alanını hesaplamayı gerektiriyordu. Ne kadar karmaşık olursa olsun Antiphon ve Bryson pek çok basamağa ulaşmayı başardılar.

Arkhimedes ise alana değil çevreye odaklandı ve böylece, dairenin çevre uzunluğu için yaklaşık bir değer buldu. , İki altıgen aldı ve bunların kenar sayılarını dört kere iki katına çıkararak 96 kenarlı bir çokgen elde etti.

Bunlardan yola çıkarak çevrenin çapa oranına yani pi sayısına bir alt ve üst sınır belirleyebildi. n Arkhimedes pi için 3 1/7’den küçük 3 10/71’den büyüktür dedi. n Bu iki değerin ortalaması 3, 1419 eder ki bunun gerçek değerden sapması on binde üçten daha azdır. n

DOĞU’DA Pİ (m. ö. 100 -700) ÇİN n En eski bilimsel gelişmeler Çin’de gelişmiş olmasına karşın Çinliler hesaplmalarında pi için 3 değerini kullanıyorlardı.

n n Çinliler pi için ancak m. s. İkinci yüzyılda değerler bulmaya başladılar. Ch’ang hong pi için yaklaşık kök 10 (3, 162) değerini bulmuştur.

n n 263 yılında Liu Hui bir çember içine 192 kenarlı bir çokgen çizerek pi’nin 3, 141024 ile 3, 142704 değerleri arasında bulunduğunu belirledi. Daha sonraysa 3075 kenarlı bir çokgen kullanarak pi’nin yaklaşık 3, 1416 değerinde olduğunu saptadı.

n Tsu Keng-chih ise tam 24. 526 kenarlı bir çokgen kullanarak pi için yaklaşık 3, 1415929 değerini buldu ki bu gerçek değerinin yüzde birin 8 milyonda biri kadar farklıdır.

HİNDİSTAN n n n Hindistan’da 7. yüzyılda Brahmagupta da pi için kök 10 değerinde olduğunu söyledi. Ve bu kök 10 değeri çok yanlış bir değer olmasına rağmen Hindistan’dan Avrupa’ya kadar yayıldı. Bu kök 10 değerinin anımsanması ve iletilmesi kolay olduğundan kaynaklanıyor olabilir.

İLERLEME BİNYILI (m. s. 6001600) n n 1579 yılında Viete içe ve dışa çizilen çokgenler yardımıyla yeni bir kural buldu ve o güne kadar olan en hassas pi değerini hesaplamıştır. Tam 393. 216 kenarlı çokgenlerin teker çevresini hesaplamış ve bir sonsuz çarpım elde etmiştir.

n n Bu büyük bir olasılık ile bir değeri tanımlamak için kullanılan ilk sonsuz çarpımdı. Ne yazık ki bu sonsuz çarpım gerçek bir atılım olmasına karşın pi’yi hesaplamak için pek bir işe yaramıyordu.

n n n Ludolf van Ceulen çemberi kareleme yöntemiyle 32 milyardan fazla kenara sahip çokgenler kullanarak pi’yi 20 haneye kaar hesaplamıştı. Van Ceulen 1610’da öldüğünde, matematikçilerin bu yöntemle tam 35 basamak hesaplamıştı. Bu başarı sabır ve dayanma gücünün bir simgesi olarak nitelenmiştir.

van Ceulen’in ölümünden sonra pi arayışı için çok büyük bir atılım gerçekleşmiştir. n Ne yazık ki bu atılım van Ceulen’in çalışmalarını boşa çıkarmıştır. n

MATEMATİKTE ÖNEMLİ ATILIMLAR (m. s. 1600 -1900) n Bu dönemde çemberi kareleme yöntemi yavaşça kapanmış ve integral kalkülüsü adı verilen yeni bir aşama başlamıştı.

n 1675’te James Grogory arktanjantları hesaplamak için yeni bir yöntem hesapladı. arktanjant: tanjantı verilen bir sayıya eşit olan, radyan cinsinden ölçülen açıdır.

n n Bundan üç yıl sonra Alman Gottfiried Wilhelm Leibniz, Gregory’den bağımsız olarak aynı arktanjant serisini buldu ve buna bir de özel durum ekledi. Bu; serinin içine 1 eklenmesiyle pi/4 için yaklaşık olarak bir değer bulunabilmesiydi.

Ancak Gregory ve Leibniz serileri pi için basamak hesaplamada hiçbir işe yaramaz. n Bu seri pi için gerçekten yararlı olması için binlerce terim gerektirmekte ki bu da çok ama çok fazla uğraş ve emek isteyen bir iştir. n

n n n 1665’te Londra veba salgını ile kırılırken Newton, Woolsthrope’a çekildi ve günlerini kalkülüs ile düşünerek geçirdi. Pi’yi hesaplamak Newton dehasına sahip bir insan için basit bir işti ama bu sayı onun bile günlerini alıyordu. Ama bu süre zarfında pi için iki sonsuz terimli seri bulmuştur.

n William Rotherford 1841’de pi için 208 basamak buldu.

n 1847 yılında ise Thomas Clausen, daha önce bulunmuş formülleri kullanarak 248 basamak hesapladı.

n 1873’e gelindiğinde William Shanks pi için 707 basamak hesapladı.

n Asya’da ise 1663’te Muramatsu Shigekiyo Japonya’da çokgenler kullanarak pi için yaklaşık değer buldu ve nasıl bulduğunu açıklayan Sanso adlı eserini yayımladı.

n 1. 2. Bu eser iki nedenle önemli: Muramatsu sonuca nasıl ulaştığını açıkladı. Bu Avrupa’da normaldi ama Japonya’da pek normal sayılmazdı çünkü ispatlara pek yer verilmezdi Muramatsu pi’yi 7 basamağa kadar doğru hesaplamıştı.

n n n Seki Kowa 1712’de pi için 16 doğru basamak buldu. 1722’de Tatebe Kenko 40 basamak hesapladı Yine 1722’de Kamata Toshikiyo çokgenler yardımıyla ve yaptıklarını kanıtlayarak 24 hane buldu. Seki kowa

ELEKTRONİK BİLGİSAYAR ÇAĞI (m. s. 1990 -…) n n William Shanks 1874’de pi için 707 basamak bulduğunu açıklamıştı. Ne var ki 527. hanede bir yanlış hesaplama yapmış ve geri kalan 180 basamağı da yanlış bir şekilde hesaplamıştı. Fakat Shanks’ın pi’yi yanlış hesapladığı bilinmiyordu. Bu ancak 1945’te anlaşıldı.

n Yanlış hesaplamanın farkedilmesi çok uzun süre aldı çünkü D. F. Ferguson eline kağıt kalem alıp arktanjant formülünü kullanarak 530 doğru basamak hesaplaması Shanks’ın ölümünden uzun bir süre sonra gerçekleşti.

n n D. F. Ferguson bu 530 basamağı günde ortalama bir basamak hesaplayarak tam bir yılda buldu. Ferguson bir süre sonra kağıt ve kalem kullanmaktan vazgeçip elektronik hesap makinesini kullanmaya başladı.

n n Bu hesap makinesiyle 1947 yılında tam 808 basamak hesapladı. Hesap makinelerinin ortaya çıkmasıyla birlikte Levi Smith ve John Wrench arktanjant formülünü kullanarak Ferguson’un bulduğu basamakları doğrulama işine girişti.

n n n Bu kadar basamağı hesapladıktan sonra Smith ve Wrench kendilerini pi’yi hesaplamaktan mahrum bırakmadılar ve 1948’de pi’nin bininci basamağına kadar ilerlediler. Ama maalesef ki hesap makinelerinin tuşları çok gürültü çıkarıyordu ve gerekli arktanjantlar için uzun ve çok yorucu işlemler yapılması gerekiyordu. Günde bir yada iki basamak hesaplamak ise bu çabaya değmiyordu.

n n 1984’de Amerikalıların yaptığı ENIAC adlı bilgisayar matematik ve geometri alanında tam bir atılım olmuştur. 1985 yılında George Reitwiesner, John von Neumann N. C. Metropolis 19. 000 lambası, yüzbinlerce rezistans ve kapsitörü olan bu dev aygıtı pi’yi 2037 basamağa kadar hesaplamak için kullanmıştı.

n Bu hesaplama delgi kağıtlarını hazırlamak ve makineye vermek de dahil olmak üzere sadece 70 saat sürdü.

n ENIAC’ın pi’yi hesaplamasından sonra bilgisayarlar o kadar çok gelişmişti ki NORC (deniz kuvvetleri mühimmat araştırma hesaplayıcısı) pi’nin 3089 basamağını sadece 13 dakikada hesaplamıştı.

n n Gregory Leibniz arktanjant formülünü kullanarak bilgisayarları ile 40 dakika içerisinde 10. 000’den fazla basamak hesaplamışlardı. Bu dönemde artık pi’yi hesaplamak makinenin doğruluğunu ve de hızını hesaplamak için kullanılıyordu.

n Şu anda pi’ye yeni basamaklar bulmak yeni bir bilgisayarı sınamaktan başka bir işe yaramaz çünkü bu sayının gerçek zenginliği çok uzun yıllar gizli kalacaktır.

CHUDNOVSKY KARDEŞLER n n n David ve Gregory Chudnovsky kardeşler hem pi’nin derin anlamlarına inmeye çalışan hem daha fazla basamak hesaplama yoluna giden ilk matematikçilerdendir. Bu iki kardeş en çok basamak hesaplamada dünya rekorunun sahibidirler. (ilk önce 450 milyon, sonra 1 milyar ve en sonunda 2 milyar basamak hesaplamışlardır. ) Bunun dışında pi’yi tanımlamak için incelikli denklemler geliştirmişlerdir.

n Rekor kıran ilk deneyimlerinden sonra yani 450 milyon basamağı hesapladıktan sonra oturdukları bir apartman dairesinde kendilerine ait bir bilgisayar yapmaya başladılar.

n n Ve inanılmaz hızlı, saniyede bir çok milyar işlem yapabilen çok işlemcili bir bilgasayar yaptılar: m zero. Gregory, pi’yi hesaplamanın en ileri bir spor olduğunu, David ise bu sporu evde yapmaya kalkışmamak gerektiğini söyler.

n n En sonunda bilgisayarları 1 haftada tam 8 milyar basamak hesapladılar ve bir dünya rekoruna imza attılar. Fakat onlar bu rekorla değil pi’nin basamaklarını anlamak ile ilgileniyorlardı.

Pi’nin içinde ne var? n n Pi’nin basamakları tamamen rastlantısal bir şekilde görülen biçimde sonsuza doğru akar. Aslında pi’nin basamakları anlamsız değildirler.

Mesela tek bir basamağı değiştirsek o sayı artık pi olmaktan çıkar ve tamamen başka bir sayı olacaktır. Çünkü ondan sonra gelen basamakların tamamı değişecektir. n Bir çemberin çevresinin çapına oranı kesinlik gerektirir. n

Pi Sembolü Pi sembolü Yunan alfabesinin 16. harfidir. n Çoğu insanlar Pi sembolünün tam olarak neyi temsil ettiğini bilmeseler de bu sembolü tanırlar. n

İşin en ilginç yanı eski Yunanlılar bir çemberin çapına oranı için Pi sembolünü kullanmamışlardır. n Romalılar, Çinliler, Araplar da kullanmadılar. n

Pi sembolü sadece son 250 yıl boyunca kullanılmaya başlanmıştır. n William Jones ber çemberin çapına oranını pi sembolü ile göstermiştir ve bu matematik dünyasında büyük yankı uyandırmış herkesçe kabul görmüştür. n

n n Jones pi’yi çok farklı şekillerde de kullanmıştır. Mesela bir geometrik nokta yada başka bir yerde dış kenar uzunluğunun göztermek için kullanmıştır.

Ama matematik dünyasını esas etkileyen kişi Jones değildi. Leonhard Euler çalışmalarında çevre uzunluğunun çapa oranını pi ile göstermeye başlamıştır. n Ve matematik dünyasını etkilemek için Jones’un etkisi ne kadar küçükse Euler’in etkisi o kadar büyüktü. Euler’in pi’yi kullanmasıyla bu tüm Dünya’ya yayıldı. n

n En sonunda A. M. Legendre Geometrinin Unsurları adlı fransızca ders kitabını yayımladığı sırada hemen bütün matematikçiler pi’yi bizim şu an kullandığımız anlamda kullanıyorlardı.

Pİ’NİN KİŞİLİĞİ n n n Matematikçiler yüzyıllar boyunca pi’nin irrasyonel olup olmadığını tartıştılar. Ancak bu tartışma 1761’de Johann Heinrich tarafından kesin bir şekilde kapatılmıştır. Heinrich pi’nin irrasyonel olduğunu kuşkuya yer verilmeyecek bir şekilde kanıtlamıştır.

1882’de ise Ferdinant von Lindermann pi’nin bir aşkın sayı olduğunu ispatladı. n Bu ispat 200 yıllık matematiksel katkıları ele alarak yapılmıştı. n

Pİ’Yİ EZBERLEMEK Simon Plouffe pi’nin tam 4096 basamak ezberlemiştir. n Aslında 4396 basamak ezberlemiş olmasına rağmen bunu açıklamamıştır. Bir matematikçi olduğu için 4096 (212 ) daha zarif olduğunu düşünmüştür. n

Ama esas rekor Rajan Mahadevan adlı kişiye aittir. n Bu kişi tam 1983’te tam 31. 811 basamak ezberleyerek dünya rekorunu kırmıştır. . n

n 1955’te Zhang Zhuo adlı 12 yaşındaki bir Çinli çocuk pi’nin 4000 ondalık basamağını 25 dakikada ezberlemiştir.

Tarihler 1995 tarihine geldiği sırada 23 yaşındaki Hiroyuki Goto tam 42. 000 basamak ezberlemiştir. n Ve bunu sadece 9 saat gibi kısa bir zaman diliminde başarmıştır. n

Pİ İÇİN SÖYLENMİŞ SÖZLER: n Matematikte belki de hiçbir simge pi sayısı kadar gizem, romantizm, yanılgı ve insan ilgisi yaratmamıştır. William L. Scaaf

Şu gizemli 3, 14159…. her kapıdan, pencereden ve bacadan içeri giriyor. Augustus De Morgan n Gizemli ve harikulade pi, hesap makinelerinin boğazlarını temizlemeye yarayan bir gargaraya indirgenmiştir. Philip J. Davis n

n Bir dairede 360 derece bulunduğu ve pi de daire ile yakından bağlantılı olduğu için heyacanla [360’ncı basamağı] ararız ve bir kez daha çok ilginç bir olgu ile ödüllendiriliriz. [359’uncu basamakta] 360 ile karşılaşırız; yani 360 [360’ncı basamağı merkez almıştır.