P otenzfunktionen Nullstellenberechnungen Lineare Funktion Was ist eine
P otenzfunktionen Nullstellenberechnungen
Lineare Funktion
Was ist eine lineare Funktion? Eine lineare Funktion ist eine Gerade Sie kann fallend, steigend oder parallel zur y-/ oder x-Achse sein
Was ist eine Nullstelle? Die Nullstelle ist ein Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse, das heißt der y-Wert ist 0. Es gibt keine Nullstelle, wenn die Gerade oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist, das heißt, die Gerade verläuft parallel zur x-Achse.
Allgemeine Formel k=Steigung pro Einheit x=Variable f(x)=k*x + d f(x)= Funktionswert d=Abstand vom Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse bis zu (0/0) = Ordinatenabstand
fallend, steigend oder parallel? Ist k > 0 spricht man von einer steigenden Geraden Ist k = 0 spricht man von einer zur x- Achse parallelen Geraden Ist k < 0 spricht man von einer fallenden Geraden
Beispiel: Lineare Funktion Zeichne: f(x)=7*x+8
Schritt 1 - Wertetabelle in Excel anlegen X -2 -1 0 f(x) -6 1 8 1 2 15 22
Schritt 2 - zeichnen f(x)=7*x+8 25 20 y-Achse 15 10 5 0 -2. 5 -2 -1. 5 -1 -0. 5 N(-1, 14/0) 0 -5 -10 x-Achse 0. 5 1 1. 5 2 2. 5
händische Berechnung der Nullstelle berechne: f(x)=7*x+8
0=7*x+8 /-8 -8=7*x /: 7 -1, 142. . = x N(-1, 14/0)
ten Funktion 2 Grades
Und was ist eine Funktion 2 ten Grades? Eine Funktion 2 ten Grades ist keine lineare Funktion!! Man nennt sie quadratische Funktion oder Parabel.
Allgemeine Formel f(x)=ax²+bx+c
Beispiel: Funktion ten 2 Grades zeichne: f(x)=x²-5 x+1
1. Schritt – Wertetabelle in Excel anlegen x -2 -1 0 f(x) 15 7 1 1 2 3 4 5 6 7 -3 -5 -5 -3 1 7 15
2. Schritt - Zeichnen f(x)=x²-5 x+1 20 15 y-Achse 10 5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 6 7 N(4, 79/0) N(0, 21/0) -5 -10 4 x-Achse 8
händische Berechnung der Nullstelle berechne: f(x)=x²-5 x+1
Schritt 1 Nullstelle: 0= 1 x² 0= a x² a=1 - 5 x + b x + 1 + c b= -5 c=1
Schritt 2 - Einfügen der Variablen in die Formel Allgemeine Formel zur Nullstellenberechnung: 1 x 2 =(-b±√b^2 -4 ac)/2 a Füge die Variablen in die Formel ein: 1 x 2=(+5 ± √ 5^2 -4*1*1)/2*1
Schritt 3 - Ausrechnen Nicht vergessen 1. Klammer ausrechnen 1 x 2=(+5 ± √ 5^2 -4*1*1)/2*1 x 1=(5 +4, 58)/2= 4, 79 Ergebnis x 2=(5 -4, 58)/2=0, 21 N 1(4, 79/0) N 2(0, 21/0)
ten Funktion 3 Grades
Und was ist eine Funktion 3 ten Grades? Diese nennt man kubische Funktion. Sie haben mindestens 1 und höchstens 3 Nullstellen.
Allgemeine Formel f(x)= ax³ + bx² +cx + d
Beispiel: Funktion ten 3 Grades zeichne: f(x)=-2 x³+5 x²-3 x
Schritt 1 – Wertetabelle in Excel anlegen y -3 -2 -1 f(x) 108 42 10 0 1 2 3 4 0 0 -2 -18 -60
Schritt 2 - Zeichne f(x)=-2 x³+5 x²-3 x 120 100 80 y-Achse 60 -4 40 20 0 -3 -2 -1 0 1 -20 -40 -60 -80 x-Achse 2 3 4 5
händische Berechnung der Nullstelle berechne: f(x)=-2 x³+5 x²-3 x
Schritt 1 Nullstelle: Herausheben: 0=-2 x³+5 x²-3 x 0= x. (-2 x²+5 x-3) x 1=0 -2 x²+5 x-3=0
Schritt 2 Nullstelle: 0= -2 x² 0= a x² a=-2 + 5 x² + b x -3 x + c x b= +5 c=-3
Schritt 3 Allgemeine Formel zur Nullstellenberechnung: 1 x 2 =(-b±√b^2 -4 ac)/2 a Füge die Variablen in die Formel ein: 1 x 2=(-5 ± √ 5^2 -4*(-2)*(-3))/(2*(-2))
Nicht vergessen 1. Klammer ausrechnen 1 x 2=(-5 ± √ 5^2 -4*(-2)*(-3))/(2*(-2)) x 2=(-5 +1)/(-4)= 1 Ergebnis x 3=(-5 -1)/(-4)=1, 5 N 1(0/0) N 2(1/0) N 3(1, 5/0)
Beispiel: Funktion ten 3 Grades zeichne: f(x)=-2 x³+5 x²-3 x+4
Schritt 1 – Wertetabelle in Excel anlegen y -3 -2 -1 f(x) 122 46 14 0 1 2 3 4 4 4 2 -14 -56
Schritt 2 - Zeichnen f(x)=-2 x³+5 x²-3 x+4 140 120 100 80 y-Achse 60 -4 40 20 0 -3 -2 -1 -20 0 1 -40 -60 -80 x-Achse 2 3 4 5
händische Berechnung der Nullstelle berechne: f(x)=-2 x³+5 x²-3 x+4
Schritt 1 0=-2 x³+5 x²-3 x+4 Man kann nicht herausheben. Es gibt keine Formel für eine Gleichung 3 ten Grades, daher kann die obige Gleichung nur mit Hilfe eines Näherungsverfahrens (Newton) oder mit Hilfe des Solver in Excel gelöst werden.
Alles klar !!
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