OZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA ORTA TALIM VAZIRLIGI NIZOMIY

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA TA’LIM VAZIRLIGI NIZOMIY NOMLI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI Mavzu: EGRI CHIZIQLAR HAQIDA UMUMIY MA’LUMOTLAR. TEKIS EGRI CHIZIQNING EGRILIGI. EVOLYUTA VA EVOLVЕNTA. TЕKIS EGRI CHIZIQ NUQTALARINING KLASSIFIKATSIYASI. FRЕNE UCHYOQLIGI. MA’RUZA MUALLIFI: DOTSENT VALIYEV A. N.

MAVZU: EGRI CHIZIQLAR HAQIDA UMUMIY MA’LUMOTLAR. TEKIS EGRI CHIZIQNING EGRILIGI. EVOLYUTA VA EVOLVЕNTA. TЕKIS EGRI CHIZIQ NUQTALARINING KLASSIFIKATSIYASI. FRЕNE UCHYOQLIGI. О‘quv mashg‘ulotiningm maqsadi: Egri chiziqlar, tеkis va fazoviy egri chiziqlar, ularining klassifikatsiyasi, evolyuta va evolvеnta va Frеne uchyoqligi haqidagi materiallarni talabalarga o‘rgatish.

TЕZKOR SAVOL-JAVOBLAR 1. Egri chiziq deganda nimani tushunasiz? 2. Qanday egri chiziqlarni bilasiz? 3. Sizningcha egri chiziqlarning qanday amaliy ahamiyati mavjud?

REJA: 1. EGRI CHIZIQLAR HAQIDA UMUMIY MA’LUMOTLAR. TEKIS EGRI CHIZIQNING EGRILIGI. 2. EVOLYUTA VA EVOLVЕNTA. TЕKIS EGRI CHIZIQ NUQTALARINING KLASSIFIKATSIYASI. 3. IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR. FRЕNE UCHYOQLIGI.

Egri chiziqlarning amaliy ahamiyati

MA’LUMOTLAR. TEKIS EGRI CHIZIQNING EGRILIGI. Chizma geometriyada egri chiziqlarning geometrik va mexanik xususiyatlaridan grafik ravishda amaliy foydalanish e’tiborga olinib, ularga oddiy kinematik ta’rif beriladi. Shuning uchun egri chiziqni fazoda yoki tekislikda ma’lum yo‘nalishda uzluksiz harakatlanuvchi biror nuqtaning izi sifatida qabul qilinadi. Egri chiziqlar tekis va fazoviy egri chiziqlarga bo‘linadi. Egri chiziqlar qonuniy va qonunsiz egri chiziqlarga bo‘linadi. Egri chiziqni tashkil qiluvchi nuqtalar to‘plami ma’lum biror qonunga bo’ysunsa u qonuniy, aksincha nuqtalar to‘plami hech qanday qonunga asoslanmagan bo‘lsa, bunday egri chiziq qonunsiz egri chiziq deyiladi. Qonuniy egri chiziqlarning dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamalariga qarab algebraik va transsendent egri chiziqlarga bo‘linadi. Tenglamasi algebraik funksiya orqali ifodalangan egri chiziq algebraik, transsendent funksiya bilan ifodalangan egri chiziq esa transsendent egri

1 -SAVOL. EGRI CHIZIQLAR HAQIDA UMUMIY MA’LUMOTLAR. TEKIS EGRI CHIZIQNING EGRILIGI. Algebrik egri chiziqlar tartib va klass tushunchalari bilan xarakterlanadi. Egri chiziqlarning tartibi uni ifodalovchi tenglamaning darajasiga teng bo‘ladi. Grafik jihatdan tekis egri chiziqlarning tartibi uning to‘g‘ri chiziq bilan, fazoviy egri chiziqning tartibi esa uning biror tekislik bilan maksimum kesishish nuqtalar soni orqali aniqlanadi. Tekis egri chiziqning klassi unga shu tekislikning ixtiyoriy nuqtasidan o‘tkazilgan urinmalar soni bilan, fazoviy egri chiziqning klassi unga biror to‘g‘ri chiziq orqali o‘tkazilgan urinma tekisliklar soni bilan aniqlanadi. Egri chiziqning tartibi va klassi har xil bo‘ladi. Faqat ikkinchi tartibli egriliklarning tartibi va klassi bir xil bo‘lib, u 2 ga teng bo‘ladi.

MA’LUMOTLAR. TEKIS EGRI CHIZIQNING EGRILIGI. Tekis egri chiziqning egriligi. Qo‘shni yarim urinmalar orasidagi burchakni ular orasidagi s yoy uzunligiga nisbatining limiti egri chiziqning egriligi deyiladi (2 -rasm). Egrilikni k bilan belgilasak, u quyidagicha ifodalanadi: Bunda burchak qancha katta bo‘lsa, egri chiziq shuncha ko‘p egilgan va, aksincha, qanchalik kichik bo‘lsa, egri chiziq shuncha kam egilgan bo‘ladi. Egrilik qiymati egri chiziqning har bir nuqtasida har xil bo‘ladi. Aylananing hamma nuqtasidagi egrilik bir xildir, to‘g‘ri chiziqda esa egrilik nolga teng. Har qanday egri chiziqning egriligi aylana yordamida aniqlanadi. Bu aylana egri chiziqdagi cheksiz yaqin uchta 1, 2, 3 nuqtalardan o‘tadi. Uning radiusi egrilik radiusi, O markazi esa egrilik markazi deyiladi. Egrilik radiusi R va egrilik miqdori k o‘zaro teskari proporsionaldir: k=1/R, ya’ni egrilik radiusi R qancha katta bo‘lsa, k egrilik shuncha kichik va, aksincha, egrilik radiusi R qancha kichik bo‘lsa k egrilik shuncha katta bo‘ladi. Masalan, to‘g‘ri chiziqda

NUQTALARINING KLASSIFIKATSIYASI. Evolyuta va evolvеnta. Biror ℓ egri chiziqning hamma nuqtalari uchun egrilik markazlari yasalsa, ularning to‘plami ℓ 1 egri chiziqni hosil qiladi. Bu ℓ 1 egri chiziq berilgan ℓ egri chiziqning evolyutasi deb ataladi. ℓ egri chiziq ℓ 1 evolyutaga nisbatan evolventa deyiladi. Evolyutaning urinmalari ℓ evolventaning normallaridir. Evolyuta urinmalarida cheksiz ko‘p evolventalar joylashgan bo‘lishi mumkin. Shuning uchun egri chiziqning evolyutasi o‘z evolventasini aniqlay olmaydi, lekin uning evolventasi o‘z

KLASSIFIKATSIYASI. Tеkis egri chiziq nuqtalarining klassifikatsiyasi. Tekis egri chiziqlar monoton va ulama chiziqlarga bo‘linadi. Monoton egri chiziqning qator nuqtalarida egrilik radiusi uzluksiz o‘sib yoki kamayib boradi. Monoton egri chiziq yoylaridan tashkil topgan chiziq ulama chiziq deyiladi. Bu yoylarning ulanish nuqtalari ulama chiziqning uchlari, ulanuvchi yoylarning o‘zi esa ulama chiziqning tomonlari deb ataladi. Yoylarning ulanish xarakteriga qarab, ulama chiziqning uchlari oddiy va maxsus nuqtalar bo‘lishi mumkin. Egri chiziqning oddiy nuqtasida yarim urinmalar qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘lib, bitta to‘g‘ri chiziq ustida yotadi va egrilik markazlari ustma-ust tushadi. Egri chiziqlarning maxsus nuqtalari quyidagilardan iborat: 1. Qo‘sh nuqta. Yarim urinmalar qarama-qarshi yo‘nalishga ega, normallar ustmaust tushadi, egrilik markazlari esa har xil joylashadi. 2. Egilib o‘tish nuqtasi. Yarim urinmalar ham, normallar ham qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘ladi.

2 -SAVOL. EVOLYUTA VA EVOLVЕNTA. TЕKIS EGRI CHIZIQ NUQTALARINING KLASSIFIKATSIYASI. 3. Birinchi turdagi qaytish nuqtasi. Yarim urinmalar ustma-ust tushadi va bir xil yo‘nalishda bo‘ladi, normallar qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘lib, bir chiziq ustida yotadi. 4. Ikkinchi turdagi qaytish nuqtasi. Yarim urinmalar va normallar juft-juft bo‘lib bir xil yo‘nalishga ega bo‘ladi. 3. 4. 5. Sinish nuqtasi. Yarim urinmalar va normallar har xil yo‘nalishda bo‘ladi. 6. Tugun nuqtada egri chiziq o‘zini-o‘zi bir va bir necha marta kesib o‘tadi.

3 -SAVOL. IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR. FRЕNE UCHYOQLIGI. Ta’rif. Ikkinchi darajali tenglamalar bilan ifodalanuvchi egri chiziqlar ikkinchi tartibli egri chiziqlar deyiladi. Bunday chiziqlar to‘g‘ri chiziq bilan eng ko‘pi ikki nuqtada kesishadi. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar va ularning xususiyatlaridan mashinasozlikda, binokorlikda, umuman muhandislik amaliyotining barcha tarmoqlarida keng foydalaniladi. Shu boisdan ham 2 -tartibli egri chiziqlari mukammal o‘rganilgan. Ularga aylana, ellips, parabola, giperbola va ularning xususiy hollari kiradi. Bu egri chiziqlarning tenglamalari va ularning shakllarini aniqlovchi parametrlari analitik geometriyada to‘liq o‘rganiladi. Chizmachilikda va chizma geometriyada

3 -SAVOL. IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR. FRЕNE UCHYOQLIGI. 1. Aylana. Berilgan nuqtadan teng masofalarda joylashgan nuqtalarning to‘plami aylana deyiladi. Kanonik tenglamasi Parametrik tenglamasi 2. Ellips. Berilgan ikki F 1 va F 2 nuqtadan uzoqliklarining yig‘indisi o‘zgarmas miqdor bo‘lgan nuqtalarning to‘plami ellips deyiladi. F 1 N + F 2 N = AB =const Kanonik tenglamasi Parametrik tenglamasi x=a cos t y=b sin t

CHIZIQLAR. FRЕNE UCHYOQLIGI. 3. Giperbola. Berilgan F 1 va F 2 ikki nuqtadan uzoqliklarining ayirmasi o‘zgarmas miqdor bo‘lgan nuqtalarining to‘plami giperbola deyiladi. F 1 NF 2 N=A 1 A 2 =const Kanonik tenglamasi Parametrik tenglamasi x = a sec t y = b tg t 4. Parabola. Berilgan nuqtadan va d to‘g‘ri chiziqdan teng masofalarda joylashgan nuqtalarning to‘plami parabola deyiladi. FN=AN Kanonik tenglamasi y 2=2 px Parametrik tenglamasi x=t, y=

3 -SAVOL. IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR. FRЕNE UCHYOQLIGI. Frеne uchyoqligi. Ta’rif. Hamma nuqtalari bitta tekislikda yotmagan egri chiziq fazoviy egri chiziq deyiladi. Fazoviy egri chiziqni ikki xil egrilikka ega chiziq deb ham yuritiladi, Quyidagi rasmda tasvirlangan fazoviy ℓ egri chiziqqa uning C nuqtasida urinma o‘tkazish ko‘rsatilgan. Egri chiziq ustidagi C nuqta orqali CA va CB kesuvchi to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazamiz. So‘ngra A nuqtani egri chiziq bo‘ylab C nuqtaga yaqinlashtira boramiz.

3 -SAVOL. IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR. FRЕNE UCHYOQLIGI. A nuqta C nuqtaga cheksiz yaqinlashganda CA kesuvchining limiti ℓ egri chiziqning C nuqtasidagi t 1 urinmaga aylanadi. Bunda t 1 urinma ℓ egri chiziqning S nuqtasida o‘tkazilgan yarim urinma deyiladi. C nuqta orqali o‘tuvchi t 2 yarim urinma ham CB kesuvchi orqali xuddi shunday yasaladi. U o‘zining limit vaziyatida t 1 yarim urinma bilan bitta ℓ to‘g‘ri chiziqda yotadi. ℓ fazoviy egri chiziqqa o‘tkazilgan urinma orqali tekisliklar dastasi o‘tadi. Egri chiziqning xarakterini aniqlash uchun ana shu tekisliklar dastasidan yopishma, to‘g‘rilovchi va ularga perpendikulyar bo‘lgan normal deb ataluvchi tekisliklar muhim rol o‘ynaydi.

UCHYOQLIGI. Egri chiziqning yopishma tekisligi quyidagicha yasaladi. Berilgan ℓ fazoviy egri chiziqda yotgan S nuqta orqali unga t 1, t 2 yarim urinmalar o‘tkazilgan bo‘lsin. Quyidagi rasmda SA va SB kesuvchi to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazib t 1 SA (Q 1) va t 2 SB (Q 2) kesuvchi tekisliklarni hosil qilamiz. A va B nuqtalarni C nuqtaga yaqinlashtirganda Q 1 va Q 2 tekisliklar t 1 va t 2 yarim urinmalar atrofida aylanib, ular ustma-ust tushib, Q tekisligini hosil qiladi. Q tekislik ℓ fazoviy egri chiziqqa uning berilgan C nuqtasida o‘tkazilgan yopishma tekisligi deyiladi. Fazoviy egri chiziqning berilgan nuqtasida unga cheksiz ko‘p normal o‘tkazish mumkin. Normallar to‘plami hosil qilgan N tekislik egri chiziqning berilgan nuqtasida o‘tkazilgan normal tekisligi deyiladi.

UCHYOQLIGI. Normallar to‘plamidagi chiziqlardan biri n 1 yopishma tekislik ustida yotadi (n 1 Q), boshqa biri n 2 esa unga perpendikulyar joylashgan (n 2 Q) bo‘ladi. Shulardan birinchisi n 1–bosh normal, ikkinchisi n 2 – binormal deyiladi. Binormal n 2 va urinma t hosil qilgan T tekislik to‘g‘rilovchi (rostlovchi) tekislik deb ataladi. O‘zaro perpendikulyar N, Q, T tekisliklar uchyoqlikni tashkil qiladi. Buni 1847 yilda birinchi bo‘lib taklif qilgan fransuz matematigi Jan Frederik Frene nomi bilan Frene uchyoqligi deb yuritiladi. Frene uchyoqligidan fazoviy egri chiziqni proyeksiyalash uchun tekisliklar sistemasi o‘rnida foydalaniladi. Shuningdek, Qgorizontal, T-frontal va N-profil proeksiyalar tekisliklari sifatida qabul qilinadi. Biror fazoviy egri chiziq xossalari uning Frene uchyoqlik tekisliklaridagi proyeksiyalari bo‘yicha tekshiriladi.

E’TIBORINGIZ UCHUN KATTA RAHMAT