OZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA ORTA MAXSUS TALIM VAZIRLIGI
O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI Namangan Davlat Universiteti MATEMATIKA KAFEDRASI СНIZIQLI KORRELLATSIYA MASALALARI Matematika fakulteti talabalari uchun Namangan - 2011 yil
Namangan Davlat Universiteti matematika kafedrasining 2011 yil "27___" __aprel____№_9_ yig`ilishida ko`rib chiqilgan va chop etishga tavsiya qilingan. Tuzuvchi: F. - m. f. n. , dots. M. Xolmurodov Taqrizchi: f. -m. f. n. N. Xatamov Ushbu qo`llanma matematika yo`nalishi talabalari uchun mo`ljallangan.
§ § § СНIZIQLI KORRELLATSIYA MASALALARI 1. O`zaro bog'lanishlar haida tushuncha va ularning turlari Belgilar o`rtasidagi bog’lanishlar xarakteriga кarab ikki turga bo`linadi: 1) funktsional bog’lanish; 2) korrelyatsion bog’lanish. Omil belgining har bir кiymatiga natijaviy belgining har doim bitta yoki bir necha aniк кiymati mos kelsa, bunday munosabat funktsional bog’lanish deyiladi. Funktsional bog’lanishning muhim xususiyati shundan iboratki, bunda barcha omillarning to`liк ro`yxatini va ularning natijaviy belgi bilan bog’lanishini to`la ifodalovchi tenglamani yozish mumkin. Omillarning soniga кarab funktsional bog’lanishlar bir yoki ko`p omilli bo`ladi. Ulardan ijtimoiy fanlarga nisbatan aniк fanlarda juda keng foydalaniladi, chunki funktsional bog’lanishlar tabiiy hodisalar orasida ko`p uchraydi. Omillarning har bir кiymatiga turli zamon va makon sharoitlarida natijaviy belgining aniк кiymatlari emas, balki har xil кiymatlari mos keladigan bog’lanish korrelyatsion bog’lanish yoki munosabat deyiladi. Korrelyatsion bog’lanishning xarakterli xususiyati shundan iboratki, bunda omillarning to`liк soni noma`lum bo`ladi. Korrelyatsiya so`zi lotincha correlation so`zidan olingan bo`lib, o`zaro munosabat, muvofiкlik, bog’lik degan lug’aviy ma`noga ega. Bu atamani statistika faniga ingliz biologi va statistik Frensis Gal'to X 1 X-asr oxirida kiritgan. Bir belgi X ning har bir кiymatiga ikkinchi o`zgaruvchan U belgining taкsimoti mos kelsa, bunday munosabat korrelyatsion bog’lanish deb yuritiladi. O`rganilayotgan to`plam taqsimoti normal taкsimotga mos yoki unga yaqin shaklda bo`lsa, korrelyatsion jadval o`rtasida joylashgan X va U ning juft кiymati odatda eng katta takrorlanish soniga ega bo`ladi. Unga qarab jadval to`rtta kataklarga bo`linadi. Birinchi katak jadvalning chap tomoni yuqori qismida
§ § § § joylashgan X va Y larning qiymatlari va ularning takrorlanish sonlaridan tarkib topadi. Undan past qismda ikkinchi, o`ng qismda esa uchinchi kataklar o`rnashadi. Ikkinchi katak X ning katta qiymatlariga mos keladigan U ning nisbatan kichik qiymatlari va ularning juftlari uchun takrorlanish sonlarini o`z ichiga oladi. Uchinchi katak esa, aksincha, X ning nisbatan kichik qiymatlariga mos keladigan U ning katta qiymatlari va ularni juftlikda takrorlanish sonlarini qamrab oladi. Va nihoyat, to`rtinchi katak birinchi katakning qarama qarshi holati bo`lib, u X va U larning o`zaro mos keladigan katta qiymatlari va ularni takrorlanishi sonlaridan tuziladi. Haqiqiy kuzatilgan X va U taqsimotlarining mazkur kataklarda joylashishiga qarab, ular orasida bog’lanish bor yoki yo`qligi, mavjud bo`lsa uning xarakteri haqida boshlanqich umumiy fikr yuritish mumkin. Masalan, haqiqiy taqsimot takrorlanish sonlari barcha kataklar bo`yicha betartib sochilib yotsa, X va U belgilar orasida bog’lanish yo`qligidan darak beradi. Bosh? a hollarda ularning kataklar bo`yicha joylanishi ma`lum tartibdagi oqimlar yo`nalishiga ega bo`lsa, demak, X va U belgilar orasida bog’lanish borligi haqida taxmin qilish o`rinli bo`ladi. Bog’lanish o`zgarish yo`nalishlariga qarab to`g’ri yoki teskari bo`ladi. Agar belgining ortishi (yoki kamayishi) bilan natijaviy belgi ham ortib (yoki kamayib) borsa, ular o`rtasidagi bog’lanish to`g’ri bog’lanish deyiladi. Analitik ifodalarining ko`rinishiga qarab bog’lanishlar tog’ri chiziqli (yoki umuman chiziqli) va egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bo`ladi. Agar bo’g’lanishning tenglamasida omil belgilar (X 1, . . . . , Xk) faqat birinchi daraja bilan ishtirok etib, ularning yuqori darajalari va aralash ko`paytmalari qatnashmasa, ya`ni ko`rinishda bo`lsa, chiziqli bo’g’lanish yoki xususiy holda, omil bitta bo`lganda uqa 0+a 1 x to`g’ri chiziqli bg’lanish deyiladi. Ifodasi to`g’ri chiziqli (yoki chiziqli) tenglama bo`lmagan bog’lanish egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bog’lanish deb ataladi. Xususan, parabola uqa 0+a 1 x+a 2 x 2
§ yoki § § giperbola § ko`rsatkichli u=a 0 ха yoki va boshqa ko`rinishlarda ifodalanadigan bog’lanishlar egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bog’lanishga misol bo`la oladi. § Statistikada o`zaro bog’lanishlarni o`rganish uchun maxsus usullardan foydalaniladi. Xususan, funktsional bog’lanishlarni tekshirish uchun balans va indekslar metodi, korrelyatsion bog’lanishlarni o`rganish uchun esa parallel qatorlar, analitik gruppalash, dispersion tahlil va regression va korrelyatsion tahlil usullari keng qo`llaniladi. § Korrelyatsion bog’lanishlarni o`rganishda ikki toifadagi masalalar ko`ndalang bo`ladi. Ulardan biri o`rganilayotgan hodisalar (belgilar) orasida qanchalik zich (ya`ni kuchli yoki kuchsiz) bog’lanish mavjudligini baholashdan iborat. Bu korrelyatsion tahlil deb ataluvchi usulning vazifasi hisoblanadi. § Korrelyatsion tahlil korrelyatsiya koeffitsientlarini aniqlash va ularning muhimligini, ishonchliligini baholashga asoslanadi. § Korrelyatsiya koeffitsientlari ikkiyoqlama xarakterga ega. Ularni hisoblash natijasida olingan qiymatlarni X bilan Y belgilar yoki, aksincha, Y bilan X belgilar orasidagi bog’lanish me`yori deb qarash mumkin. § Korrelyatsion bog’lanishni tekshirishda ko`zlanadigan ikkinchi vazifa bir hodisaning o`zgarishiga qarab, ikkinchi hodisa qancha miqdorda o`zgarishini aniqlashdan iborat. Afsuski, korrelyatsion tahlil usuli - korrelyatsiya
§ koeffitsientlari bu haqida fikr yuritish imkonini bermaydi. Regression tahlil deb nomlanuvchi boshqa usul mazkur
§ § § § Sistemaning parametrlarga nisbatan umumiy echimi ushbu ko`rinishda yoziladi: (10. 2. ) (10. 3. ) Regressiya tenglamasida X-omil belgi oldidagi a 1 koeffitsient iqtisodiy tahlil uchun katta ahamiyatga ega. U regressiya koeffitsienti deb nomlanadi va X-omilning samaradorligini ko`rsatadi: omil birlikka oshganda natija o`rtacha qancha miqdorga oshishi (yoki pasayishi) ni ifodalaydi. Bog’lanish zichligini baholashda xaqiqatga qo`pol yaqinlashish sifatida nemis psixatri G. T. Fexner taklif qilgan meyordan foydalanish mumkin. Bu ko`rsatkich bir xil ishorali juft tafovutlar soni bilan har xil ishorali juft tafovutlar soni orasidagi ayirmani bu sonlarning yig’indisiga nisbati bilan aniqlanadi: (10. 5) Bu erda - bir xil ishoraga ega bo`lgan ayirmalarini umumiy soni; - har xil ishorali ayirmalarini umumiy soni. Ammo Fexnar koeffitsienti belgilarning o`rtachadan tafovutlarini hisobga olmaydi, vaholanki ular turlicha miqdoriy ifodaga ega bo`ladi. To`qri chiziqli bog’lanishning zichlik darajasi korrelyatsiya koeffitsienti bilan baholanadi: (10. 6)
§ § § § maqsad uchun xizmat qiladi. Regressiya so`zi lotincha regressio so`zidan olingan bo`lib, orqaga harakatlanish degan lug’aviy ma`noga ega. Bu atamani statistikaga kirib kelishi ham korrelyatsion tahlil asoschilari F. Gal'ton va K. Pirson nomlari bilan bog’liqdir. Regression tahlil amaliy masalalarni echishda muhim ahamiyat kasb etadi. U natijaviy belgiga ta`sir etuvchi belgilarning samaradorligini amaliy jihatdan etarli darajada aniqlik bilan baholash imkonini beradi. Shu bilan birga regression tahlil yordamida iqtisodiy hodisalarning kelajak davrlar uchun istiqbol miqdorlarini baholash va ularning ehtimol chegaralarini aniqlash mumkin. Regression va korrelyatsion tahlilda bog’lanishning regressiya tenglamasi aniqlanadi va u ma`lum ehtimol (ishonch darajasi) bilan baholanadi, so`ngra iqtisodiy-statistik tahlil qilinadi. Shu sababli ham regression va korrelyatsion tahlil quyidagi 4 bosqichdan iborat bo`ladi: 1) masala qo`yilishi va dastlabki tahlil; 2) ma`lumotlarni to`plash va ularni o`rganib chi? ish; 3) bog’lanish shakli va regressiya tenglamasini aniqlash; 4) regressiya tenglamasini baholash va tahlil qilish. To`g’ri chiziqli regressiya tenglamasining uq a 0+a 1 x parametrlari (a 0, a 1) o`rtacha arifmetik miqdorning quyidagi xossasiga asoslanib "eng kichik kvadratlar" usuli bilan topiladi. Bundan regressiya tenglamasining parametrlarini aniqlash uchun quyidagi normal chiziqli tenglamalar tizimi kelib chiqadi: (10. 1) Bu erda: n - to`plamning hajmi (birliklar soni); x 1, x 2, . . . , xn - omil belgining haqiqiy qiymatlari; y 1, y 2, . . . , yn - natijaviy belgining haqiqiy qiymatlari.
§ § § § Korrelyatsiya koeffitsienti -1 bilan +1 orasida yotadi. Musbat ishora to`qri bog’lanish, manfiy ishorada esa teskari bog’lanish ustida so`z boradi. Korrelyatsiya va regressiya koeffitsientlari orasidagi quyidagicha o`zaro bog’lanish mavjud: (10. 7) Korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati determinatsiya koeffitsienti deb ataladi va u natijaviy belgi umumiy o`zgaruvchanligining qaysi qismi o`rganilayotgan omil x hissasiga to`g’ri kelishini ko`rsatadi. 2. Korrelyasiya nazariyasi elementlariga doir misollar. Masala 1. Fermer xo`jaligidagi 6 ta dalaga X = 5 o`g`it birlik o`g`it birligi solinganda dalalardan Y = 12, 14, 16, 18, 17, 23 hosil birligi miqdorida hosil olingan. Olingan hosillarning shartli o`rtachasi topilsin. Yechish. Masala sharti bo`yicha fopmulaga asosan. Olingan hosillarning X = 5 shartidagi shartli o`rtachasi = 16, 667 bo`ladi. Masala 2. Quyidagi korrelyatsion jadvaldagi ma`lumotlar asosida Y ning X ga regressiya tehglamasini tuzing: XY 2025303540 ny 1646 ---10
§ Yechishsh. Variantala bir-biridan teng uzoqlikda joulashganligi tufayli, soxta nollar sifatida C 1 = 30 (xi variantalarnig o`rtadagisi) va C 2 = 36 (yj variantalarnig o`rtadagisi ) larni olib, quyidagi shartli variantalar korrelyatsion jadvalini tuzamiz: § UV-2 -1012 Nv-246 ---10 -1 -810 --180 --3239441 --4126222 --156 Nu 414461620 n =100 § Shartli variantalar bo`yicha quyidagilarni bajaramiz: § ; § ; §. § Bular bo`yicha § ;
§ vani e`tiborga olsak regressiya koeffisienti § bo`ladi. Korrelyatsiya koeffisienti § bo`ladi. Endi qadamlar istalgan ikki qo`shni variantalar orasidagi ayirmalarni aniqlaymiz: h 1=25 -20=5 (xi variantalar uchun), h 2=2616=10 (yj variantalar uchun). Endi bular va soxta nollar C 1 = 30, C 2 = 36 ni e`tiborga olsak § ; § ; § Topilganlarni § munosabatga qo`ysak § yoki § bo`ladi. Bu korrelyatsion jadvaldagi ma`lumotlar asosidagi Y ning X ga regressiya tehglamasidir.
§ § § § 3. Chiziqli regressiya tenglamasini tanlash sifatini baxolash usullarini qo’llanishiga doir misollar. 1 -misol. Aytib o’tildiki, juftli chiziqli regressiya uchun kuzatishlar soni 7 tadan kam bo’lmasligi kerak. Bu misolda xisob kitobni olib borish texnikasini namoish etish uchun n=3 bo’lgan holni ko’ramiz. Uch gurux oilalar bilan olib borilgan savol- javoblar natijasida ularning daromadi va oziq – ovqatlari uchun xarajati orasidagi bog’lanish bo’lsin, deylik: Oziq – ovqatlari uchun xarajatlar, y ming so’m 0, 91, 21, 8 Oila daromadi, x ming so’m 1, 23, 15, 3 Shu ma’lumotlar bo’yicha avvalgi 2. 2 -da bayon etilgan 6 ta savolga javob beramiz. Xisob – kitoblarni osonlashtirish uchun avval 2 - jadvalni to’ldiramiz. 123456789 xyyxx 2 y 2 y-A 1, %11, 20, 91, 081, 440, 810, 880, 022, 223, 11, 23, 729, 611, 441, 280, 086, 735, 31, 89, 5428, 093, 241, 740, 063, 33 Jami 9, 63, 914, 3439, 145, 493, 90012, 23 O’rtacha qiymati 3, 21, 34, 7513, 051, 831, 3004, 081, 620, 37 ------2, 810, 14 -----2 – jadvalning 2 -6 – ustunlarini to’ldirish qiyin emas. Endi b 0 va a 0 larni topamiz
§ § § § . Juftlik chiziqli regressiya tenglamasini yozamiz Shu tenglamadan foydalanib, jadvalning 7 - ustunini to’ldirish mumkin: 0, 63+0, 21 x 1, 2=0, 63+0, 21=0, 88; 0, 63+0, 21 x 3, 1=0, 63+0, 65=1, 28; 0, 63+0, 21 x 5, 3=0, 63+1, 11=1, 74. 8 – ustun ayirmadan tuzilgan 0, 98 -0, 88=0, 02; 1, 2 -1, 28=-0, 08; 1, 8 -1, 74=0, 06. Endi 9 – ustunni to’ldirish qoldi. Shunday qilib bu miqdor 810% dan kam bo’lgani uchun qurilgan model yaxshi deb baxolanadi. Endi va miqdorlarini xisoblaymiz: Yuqoridagi xisob kitoblar yordamida 2 - jadval to’ldiriladi. Endi juftlik chiziqli regressiya tenglamasining sifatini baholashga o’tish mumkin. Regressiya tenglamasiga ko’ra jon boshiga minimal xarajat 1 so’mga ortsa, o’rtacha kundalik maosh o’rtacha 0, 21 so’mga ortadi. 2. Bog’lanish zichligini anglatuvchi korrelyasiya koeffisentini xisoblaymiz §
§ § § Bu natijadan ko’rinadiki maosh (y) ning 85% variasiyasi jon boshiga o’rtacha minimal xarajat (x) ning variasiyasi bilan tushuntiriladi. Model sifati approksimasiya o’rtacha xatoligi bilan aniqlanadi. Bu holda yuqorida aytib o’tilganidek 408%<8% tengsizlikka ko’ra, model sifati yaxshi deb baxolanadi. 3. Regressiya ma’nodorligini baxolashni Fisherning F – belgisi yordamida olib boramiz. F – belgisining (Ffakt ning) asl qiymatini (n=3) hisoblaymiz; Ffakt=5, 66 Endi k 1=1; k 2=3 -2=1 bo’lganda Fjadv=166 Agar Ffakt>Fjadv tengsizlik o’rinli bo’lsa, regressiya tenglamasi statistik ma’nodor deb qaralar edi. Ammo bu holda 5, 66<166. Demak, regressiya tenglamasi Fisherning F – belgisi bo’yicha statistik ma’nodor emas. Bunga asosiy sabab n=3<7 bo’lganidir. Regressiya tenglamasini tadqiqot qilishni davom ettiramiz. Regressiya parametrlarining statistik ma’nodorligini baxolashni Styudentning t – belgisi yordamida olib boramiz. Erkinlik darajasi k=n -2=3 -2=1 va (0, 15) bo’lganda t – statistikaning jadval qiymati 3, 182 ga teng. Endi tasodifiy xatolikni aniqlaymiz: , Tasodifiy xatoliklarning topilgan qiymatlaridan foydalanib, t- belgi qiymatini topamiz: §
§ § § Endi n=3, n-2=1, uchun Fjadv=12, 706. Quyidagi tengsizliklar o’rinli. ta=4, 85<tjadv=12, 706, tb=3, 33<tjadv=12, 706, Natijalar ko’rsatadiki, n=3 bo’lganda ta, tb va parametrlar statistik ma’nodor emas. a va b parametrlar uchun ishonchlilik intervallarini hosoblaymiz. Avval har bir parametr uchun limit xatoliklarni topamiz. Ishonchlilik intervali. Xulosa. a va b parametrlar mos ravishda (-1, 02; 2, 28) va (0, 59; 1, 01) intervallarda nolga teng bo’lishi mumkin. Shuning uchun ular statistik ma’nodor emas. 4. Yashash uchun zarur minimal daromad va xarajatlar quyidagicha bashorat qilinadi: - oila daromadi: ming so’m; - maosh: ming so’m. 5. bashorat xatosi Bashoratning limit xatoligini hisoblaymiz: Bashoratning ishonchlilik intervali:
§ § § § § Maoshning o’rtacha oylik miqdori bashorati ming so’m (0, 05; 2, 65) intervalga tegishli va shuning uchun ishonchlidir. 6. Endi berilgan (1, 2; 0, 9), (3, 1; 1, 2), (5, 3; 1, 8) nuqtalarni va juftlik regressiya to’g’ri chizig’ni, ya’ni tenglama bilan tasvirlangan to’g’ri chiziq bitta koordinata sistemasida bo’ladi. 2 -misol. Endi 1 – misolga o’xshash holni n=2 bo’lganda ko’ramiz. q 123456789101112 x 78828779891066788738776115 y 1331481341541621951391 58152162159173 Jadvalda q – oila guruxlari; y – bir kunlik o’rtacha maosh, x – ish bilan band bo’lganlar uchun bir kunlik minimum xarajat. Berilgan ma’lumotlarga qarab 6 ta savolga javob beramiz 1. 2 – jadvalni to’ldiramiz xyyx. X 2 y 2 yxy-yx 1234567891781331037460841768914916928214812136672421904152 -412, 038713411658756917956157232, 74791541216662412371615042, 65891621441879212624415931, 966713993 1344891932113900, 071061952067011236380251742110, 8888158139904774424 96415800, 09731521109653292310414485, 310871621409475692624415753, 1 123456789
§ § § 117615912084577625281147127, 512115173198951322529929183105, 8 J 10271869161808899072943771869068, 9 O’ 85, 6155, 8134847492, 324531, 4 -5, 712, 8416, 05 ------164, 94257, 76 -----Jadvalda j- jami O’ – o’rta qiymatni anglatadi. Endi a 0 va b 0 larni hisoblaymiz Chiziqli regressiya tenglamasini yozamiz: yx=79, 62+0, 89 x Bundan kelib chiqadiki, jon boshiga zarur minimal xarajat 1 so’mga ortsa, O’rtacha hisobda 0, 89 so’mga ortar ekan. 2. Bog’lanish zichligini anglatuvchi korrelasiya koeffisentini hisoblaymiz: Bu maoshning (y) 51% variasiyasi jon boshiga zarur minimal xarajat faktori x bilan tushuntirilishini anglatadi. Approksimasiya o’rtacha xatoligi model sifatini aniqlaydi: Ushbu 5, 74%<8% tengsizlik o’rinli bo’lgani uchun qurilgan model sifati yaxshi deb baxolanadi. 3. regressiya tenglamasining ma’nodorligini ko’pincha, Fisherning F – belgisi yordamida baholanadi. F – belgining asl qiymati (Ffakt) ni hisoblaymiz: F – belgining ma’nodorlik darajasi 5% va erkinlik darjalari k 1=1 va k 2=12 -2=10 bo’lgandagi jadval qiymati Ffakt=4, 96 shunday qilib, Ffakt=10, 41>Ffakt=4, 96
§ § § tengsizlik bajariladi. Shuning uchun regressiya tenglamasi statistik ma’nodor deb hisobga olinadi. Endi regressiya perametrlarining statistik ma’nodorligini Styudentning t – belgisi yordamida baholaymiz. t – belgining ma’nodorlik darajasi 5%() va erkinlik darajasi n-2=12 -2=10 bo’lgandagi qiymati Fjadv=2, 23 bo’ladi. tasodifiy hatoliklarni topamiz: t – belgining qiymatini topamiz: Ko’rinadiki t – belgining qiymatlari uning jadval qiymatidan katta: >tjadv=2, 23 >tjadv=2, 23 Shunday qilib a , b va rxy parametrlar statistik ma’nodor ekan. Raeressiyaning a va b parametrlari uchun ishonchlilik intervallarini topamiz. Buning uchun xar bir ko’rsatkich uchun limit xatolikni hisoblaymiz: Ishonchlilik intervallarining yuqori va quyi chegaralarining analizi shunday xulosaga olib keladiki, a va b parametrlar gat eng ehtimollik bilan ko’rsatilgan chegaralarda nolga teng qiymatlarni qabul qilmaydi, ya’ni statistik ma’nodor va noldan anchagina farq qiladi
§ § § § 4. regressiya tenglamasi uchun olingan baxolar undan bashorat qilishda foydalanish mumkinligini bildiradi. Agar zarur minimum xarajatning bashorat qiymati ming so’m bo’lsa, Maoshning bashorat qiymati ming so’m bo’ladi. 5. Bashorat xatoligi: Bashoratning limit xatoligi Bashoratning ishonchlilik intervali ming so’m Bashoratning limit xatoligi 95% holatlarda 29, 48 dan ortmaydi. O’rtacha oylik maoshning topilgan bashorati ishonchli deb hisoblanadi va 131, 66 ming so’m bilan 190, 62 ming so’m orasida bo’ladi. 6. Masalalar yechishning nihoyasida bitta koordinata sistemasida berilgan 12 ta nuqta va chiziqli regressiya to’g’ri chizig’ni qurish qiyin emas. Adabiyotlar. Гнаденко ия вероятностей. Гнаденко Б. В Курс теори вероятностей. М. Наука. 1987 Боровков А. А Теори и я вероятностей. Теор вероятностей. М. Наука. 1985 Сирожиддинов С. Х. , Маматов М. М. “Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика” Т. Укитувчи. 1980 й Севастьянов Б. А Курс теория вероятностей и математической статистики М. Наука. 1982 й Абдушукуров А. А ва бошқалар. Эхтимоллар назарияси ва математик статистикадан масалалар туплами. Т. 2003. Севастьянов Б. А Чистяков В. П. Зубков. А. М. Сборник задач по теорея вероятностей. М. Наука. 1980
- Slides: 19