Ottimizzazione Combinatoria Argomento tesina A A 2009 2010

Ottimizzazione Combinatoria Argomento tesina A. A. 2009 -2010 Università di Roma“La Sapienza” Dipartimento di Informatica e Sistemistica Corso di Laurea in “Ingegneria Gestionale” 1

Informazioni Tutte le informazioni relative alla tesina si trovano nella sezione tesina della pagina del corso http: //www. dis. uniroma 1. it/~or/gestionale/OC Le tesine si svolgono a gruppi al più di tre persone. Il tema della tesina verrà illustrato a lezione. Per lo svolgimento della tesina ciascun gruppo potrà far uso di tutte le metodologie e gli algoritmi illustrati nell’arco del corso. L’implementazione della strategia di soluzione per il tema assegnato dovrà essere necessariamente nel linguaggio AMPL, che verrà interpretato dall’interprete AMPL. L’unico solutore che può essere impiegato nell’implementazione della strategia di soluzione è CPLEX. 2

Assegnazione tesina Per l’assegnazione della tesina, ciascun gruppo deve inviare un’e-mail di richiesta contenente: - nome, matricola, corso di laurea e indirizzo e-mail dei membri del gruppo; - il nome e l’indirizzo e-mail di un membro del gruppo indicato come referente. Per finalizzare l’assegnazione, ciascun gruppo riceverà un’e-mail di assegnazione contenente: - istanza di problema (dati) da risolvere - il formato dei dati Al momento della ricezione dell’e-mail di assegnazione, la tesina sarà considerata assegnata al gruppo. Ogni studente può far parte di un solo gruppo e ogni gruppo lavora su una sola istanza di problema. 3

Presentazione tesina Per presentare la tesina, ciascun gruppo deve inviare un’e-mail di presentazione della tesina contenente: - documento (minimo 2 pagine, massimo 8 pagine) o presentazione (minimo 3 slide, massimo 12 slide) che descriva: Ø algoritmo di soluzione Ø dettagli implementativi Ø risultati ottenuti per l’istanza di problema assegnata. - file di codice (. mod, . run, … ) dell’algoritmo di soluzione e file di dati (. dat, . txt, … ) dei dati in input e in output per l’istanza di problema assegnata. I file di codice e di dati devono essere corretti e coerenti tra loro. 4

Valutazione tesina La valutazione della tesina si baserà fondamentalmente su: - analisi di tutto il materiale inviato nell’e-mail di presentazione - colloquio (durata massima 30 minuti) con il docente, cui devono necessariamente partecipare tutti i membri del gruppo; I criteri di valutazione saranno: - valutazione dell’approccio di soluzione ( 40% ) - valutazione dell’implementazione ( 30% ) - valutazione dei risultati ( 20% ) - valutazione della presentazione ( 10% ) Il risultato della valutazione verrà comunicato tramite e-mail a tutti i membri del gruppo e i risultati verranno pubblicati sulla pagina del corso. La valutazione della tesina è condizione necessaria per sostenere l’esame di Ottimizzazione Combinatoria. 5

Tema della tesina Una grande azienda di produzione ha diverse sedi sul territorio nazionale. A fronte dell’esigenza di collegare rapidamente e in maniera sicura le diverse sedi, l’azienda ha deciso di realizzare una rete privata virtuale sulla rete Telecom (già esistente). Una rete privata virtuale garantisce una connessione sicura tra due siti della rete ed è una soluzione molto adottata in campo business. Una rete virtuale presenta diversi vantaggi ma ha un costo. 6

Tema della tesina Ogni collegamento punto-punto è caratterizzato da: - una capacità trasmissiva espressa in Mbit/s - un costo L’azienda ha un budget massimo B da spendere per la realizzazione della rete privata virtuale L’obiettivo dell’azienda è quello di realizzare una rete privata virtuale - rispettando il vincolo di budget - massimizzando la capacità trasmissiva della rete virtuale. La capacità trasmissiva della rete virtuale è definita come somma delle capacità trasmissive dei collegamenti che la compongono. (1. 1, 1. 5) (3. 1, 1. 7) (2. 6, 3. 4) (2. 6, 2. 4)(2. 1, 0. 8) (1. 6, 4. 6) (2. 6, 4. 4) (2. 7, 1. 1) (2. 7, 2. 1) (2. 3, 1. 3) (2. 1, 5. 9) (1. 6, 6. 4) (2. 2, 1. 6) (2. 2, 3. 4) (2. 6, 2. 4) (3. 5, 1. 7) (1. 5, 1. 6) (2, 5. 2) (2. 8, 2) (2. 1, 1. 2) (3. 6, 2. 4) (0. 6, 0. 4) 7

Tema della tesina Rappresentiamo la rete come un grafo G(N, A) connesso in cui ciascun arco ij A è caratterizzato dalla capacità trasmissiva cij e dal costo wij Vogliamo determinare il sottografo connesso il cui costo totale non superi il budget B e tale che la capacità trasmissima totale sia massima. costo totale = somma del costo degli archi capacità trasmissiva totale = somma delle capacità trasmissive degli archi Sia S l’insieme dei sottografi connessi ricoprenti di G. S = { x {0, 1} : x vettore di incidenza di un sottografo connesso ricoprente di G} |A| 8

Tema della tesina Il problema si può formulare come un problema di ottimizzazione combinatoria. vincolo di budget (knapsack) T max c x w. T x B x S qual è la formulazione di S = { x {0, 1} S? : x vettore di incidenza di un sottografo connesso ricoprente di G} |A| 9

“Grafo connesso ricoprente” Grafo connesso G(N, A) S = { insiemi di archi la cui rimozione non disconnette il grafo G(N, A) } v 3 v 8 v 2 v 1 v 6 v 4 v 9 v 5 G(N, A) TÎS connesso Circuiti = Tagli minimali v 7 Formulazione circuiti: 10

“Grafo connesso ricoprente” (II) Grafo connesso G(N, A) TÎS v 3 v 8 v 2 v 1 connesso ricoprente v 6 v 4 v 9 v 5 G(N, A) v 7 x vettore di incidenza degli archi di un sottografo connesso ricoprente Formulazione (“tagli” ) di : 11