OTIMIZAO DE SISTEMAS DISCRETOS PROGRAMAO DIN MICA 29

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OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS PROGRAMAÇÃO DIN MICA 29 de novembro de 2016

OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS PROGRAMAÇÃO DIN MICA 29 de novembro de 2016

Considere um sistema constituido de N estágios em série. xo 1 x 1 2

Considere um sistema constituido de N estágios em série. xo 1 x 1 2 x. N-2 N -1 x. N-1 N x. N Exemplos: baterias de extratores, permutadores, reatores. . . O dimensionamento deste sistema é um problema com G = N graus de liberdade. Logo, é um problema de Otimização. As variáveis de projeto são x 1. . . x. N Uma forma de conduzir a otimização consiste um realizar uma busca multivariável por um dos métodos conhecidos (analítico ou H&J, por exemplo).

Exemplo: resultado da otimização de um sistema de 2 extratores em série (Método Analítico

Exemplo: resultado da otimização de um sistema de 2 extratores em série (Método Analítico ou Hooke&Jeeves) W 1 = 1. 184 kg. B/h x 1 = 0, 01357 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 = 1. 184 kg. B/h 1 x 2 = 0, 00921 kg. AB/kg. A 2 y 1 = 0, 05428 kg. AB/kg. A Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a y 2 = 0, 03824 kg. AB/kg. A 1 2 64, 28 1. 184 13, 87 43, 62 1. 184 5, 61 Total 107, 90 2. 368 19, 48

O resultado foi obtido manipulando as duas variáveis de projeto presentes durante todo o

O resultado foi obtido manipulando as duas variáveis de projeto presentes durante todo o processo de otimização. 0, 020 0, 018 8, 0 0, 016 10 0, 014 16 0, 012 X 2 0, 010 0 4, 0 2, 0 6, 0 19, 5 0, 00921 14 18 0, 006 12 0, 004 0, 01357 0, 002 0, 005 0, 010 0, 015 0, 020 X 1 0, 025 0, 030 0, 035

Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis: (a) otimizar o

Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis: (a) otimizar o primeiro estágio (b) utilizar o valor ótimo x 1 o na otimização do segundo.

O primeiro estágio é otimizado sem tomar conhecimento do segundo. W 1 = 1.

O primeiro estágio é otimizado sem tomar conhecimento do segundo. W 1 = 1. 972 kg. B/h x 2 kg. AB/kg. A x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 kg. B/h 1 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 2 kg. AB/kg. A O segundo será otimizado com um valor compulsório na entrada, de cuja escolha não participou

Otimizado o 1º estágio A busca de x 2 o ficou restrita a x

Otimizado o 1º estágio A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0, 01118 = 0 x 1 = 0, 01118

O primeiro estágio foi otimizado sem tomar conhecimento do segundo. O segundo é otimizado

O primeiro estágio foi otimizado sem tomar conhecimento do segundo. O segundo é otimizado com um valor compulsório na entrada, de cuja escolha não participou W 1 = 1. 972 kg. B/h x 2 = 0, 008359 kg. AB/kg. A x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 = 843 kg. B/h 1 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 2 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Resultado: Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 1 2 64, 28 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 116, 41 2. 815 18, 40

Otimizado o 1º estágio A busca de x 2 o ficou restrita a x

Otimizado o 1º estágio A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0, 01118 = 0 x 2 = 0, 008359 x 1 = 0, 01118 Obviamente, não é a solução ótima

Comparando as duas soluções. . .

Comparando as duas soluções. . .

Solução Simultânea Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 64, 28

Solução Simultânea Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 64, 28 1. 184 13, 87 2 43, 62 1. 184 5, 61 Solução Sequencial Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 2 88, 20 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 107, 90 2. 368 19, 48 Saldo desfavorável Total 116, 41 2. 815 18, 40 Na solução sequencial, o primeiro estágio consome mais solvente, recupera mais soluto e contribui mais para o Lucro. Mas obriga o segundo a recuperar menos soluto consumindo menos solvente, e contribuir menos para o Lucro.

Solução Simultânea Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 64, 28

Solução Simultânea Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 64, 28 1. 184 13, 87 2 43, 62 1. 184 5, 61 Solução Sequencial Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 2 88, 20 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 107, 90 2. 368 19, 48 Saldo desfavorável Total 116, 41 2. 815 18, 40 A solução simultânea se passa como se os estágios se “consultassem” sobre como melhor contribuir para o Sistema como um todo. Eles abrem mão da sua melhor performance em favor da solução ótima do Sistema

PROGRAMAÇÃO DIN MICA Método criado por Richard Bellman para a otimização de sistemas em

PROGRAMAÇÃO DIN MICA Método criado por Richard Bellman para a otimização de sistemas em estágios. 1 x*o x 1 2 x. N-2 N -1 x. N-1 N x. N Aplicações na Engenharia Química baterias de reatores, extratores, torres de destilação, etc. . .

Base do Método PRINCÍPIO DO ÓTIMO “Optimality Principle” (Bellman) "Para que um sistema em

Base do Método PRINCÍPIO DO ÓTIMO “Optimality Principle” (Bellman) "Para que um sistema em estágios em série seja ótimo é necessário que ele seja ótimo de qualquer estágio em diante". 1 x*o x 1 o 2 x 2 o x. N-2 o N -1 x. N-1 o Todo xi está com o seu valor ótimo N x. No

A PROGRAMAÇÃO DIN MICA permite que uma busca multivariável se transforme em N buscas

A PROGRAMAÇÃO DIN MICA permite que uma busca multivariável se transforme em N buscas univariáveis. Ela promove a “consulta” aos elementos do Sistema em busca da solução ótima.

Exemplo: 3 extratores em série W 1 kg. B/h 1 X 3 kg. AB/kg.

Exemplo: 3 extratores em série W 1 kg. B/h 1 X 3 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 kg. AB/kg. A W 3 kg. B/h X 2 kg. AB/kg. A X 1 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 kg. B/h y 2 kg. AB/kg. A y 3 kg. AB/kg. A

Na Programação Dinâmica, pode-se distinguir 2 etapas: - Etapa Preparatória - Etapa Decisiva

Na Programação Dinâmica, pode-se distinguir 2 etapas: - Etapa Preparatória - Etapa Decisiva

Na Etapa Preparatória o sistema é percorrido no sentido inverso do fluxo material. W

Na Etapa Preparatória o sistema é percorrido no sentido inverso do fluxo material. W 1 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h 1 x 2 = kg. AB/kg. A x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A W 2 = kg. B/h y 2 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A pavimentando o caminho de volta que vai produzir a solução ótima.

A pavimentação consiste em pré-otimizar o sistema no sentido inverso do fluxo “consultando” previamente

A pavimentação consiste em pré-otimizar o sistema no sentido inverso do fluxo “consultando” previamente os elementos sobre a participação de cada um na solução ótima W 1 xo* xo* 1 W 2 x 1 2 W 3 x 2 3 x 3 y 1 y 2 y 3 W 1 W 2 W 3 1 x 1 2 x 2 3 x 3 y 1 y 2 y 3 W 1 W 2 W 3 1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3

W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg.

W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h x 2 = kg. AB/kg. A 1 xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A y 2 = kg. AB/kg. A Na Etapa Decisiva, partindo de variáveis especificadas do Estágio 1, informações são propagadas no sentido do fluxo aproveitando o terreno pavimentado na Etapa Preparatória. Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A 1 2 3

W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg.

W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h x 2 = kg. AB/kg. A 1 xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A y 2 = kg. AB/kg. A Na Etapa Decisiva, partindo de variáveis especificadas do Estágio 1, informações são propagadas no sentido do fluxo aproveitando o terreno pavimentado na Etapa Preparatória. Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 o = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 o = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 o = 0, 03344 kg. AB/kg. A Garante-se, assim, que o sistema fica otimizado a partir de qualquer estágio.

EXEMPLO DE EXECUÇÃO DO MÉTODO

EXEMPLO DE EXECUÇÃO DO MÉTODO

3 extratores em série W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1

3 extratores em série W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 Explicitando o lucro proporcionado por cada estágio: L (xo, x 1, x 2, x 3) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) L 1 (xo, x 1) = 105 – 4. 000 x 1 – 0, 5 / x 1 L 2 (x 1, x 2) = 25 + 4. 000 x 1 – 4. 000 x 2 – 25 x 1 / x 2 L 3 (x 2, x 3) = 25 + 4. 000 x 2 – 4. 000 x 3 – 25 x 2 / x 3 Início: “consulta” ao Estágio 3 sobre seus valores ótimos para qualquer valor x 2# que vier do Estágio 2 na Etapa Decisiva: d. L 3/dx 3 = - 4. 000 + 25 x 2# / x 32 = 0 x 3 o = 0, 0791 x 2# L 3 o = 25 + 4. 000 x 2# - 632, 46 x 2# Esta é a resposta do Estágio 3 à consulta feita pelo Método.

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 Do passo anterior: x

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 Do passo anterior: x 3 o = 0, 0791 x 2 L 3 o = 25 + 4. 000 x 2 - 632, 46 x 2 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 Passo 2: “consulta” aos Estágios 2 e 3 sobre seus valores ótimos para qualquer valor x 1# que vier do Estágio 1 na Etapa Decisiva: L 23 = L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Mas, ao invés de efetuar uma otimização em x 2 e x 3, utiliza-se o máximo de L 3: L 3 o. L 23 = L 2 (x 1, x 2) + L 3 o = = [25 + 4. 000 x 1# – 4. 000 x 2 – 25 x 1# / x 2] + [25 + 4. 000 x 2 - 632, 46 x 2 ] Assim, a otimização fica univariável apenas em x 2: L 23 = 50 + 4. 000 x 1# - 25 x 1# / x 2 – 632, 46 x 2

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 L 23 = 50 + 4. 000 x 1# - 25 x 1# / x 2 – 632, 46 x 2 d. L 23/dx 2 = 25 x 1# / x 22 – (1/2)(632, 46 / x 2#) = 0 x 2 o = 0, 1843 x 1# 2/3 L 23 o = 50 + 4. 000 x 1# – 407, 2 x 1# 1/3 Esta é a resposta dos Estágios 2 e 3 à consulta feita pelo Método

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 Do passo anterior: x

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 Do passo anterior: x 2 o = 0, 1842 x 12/3 L 23 o = 50 + 4. 000 x 1 – 407, 2 x 11/3 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 Passo 3: “consulta” aos Estágios 1, 2 e 3 sobre seus valores ótimos para o único valor xo conhecido na Etapa Decisisva: L 123 (xo, x 1, x 2, x 3) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Mas, ao invés de efetuar uma otimização em x 1, x 2 e x 3, utiliza-se a expressão ótima de L 23 o. L 123 = L 1 (xo, x 1) + L 23 o = [105 – 4. 000 x 1 – 0, 5 / x 1] + [50 + 4. 000 x 1 – 407, 2 x 11/3 ] Assim, a otimização fica univariável apenas em x 1: L 123 = 155 – 0, 5/x 1 – 407, 2 x 11/3

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 L 123 = 155

W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 L 123 = 155 – 0, 5/x 1 – 407, 2 x 11/3 d. L 123/dx 1 = 0, 5 / x 12 – 135, 7 x 1 -2/3 = 0 x 1 o = 0, 015 L 123 o = 21, 2 $/a Já se tem Lo = L 123 o = 21, 2 $/a Já se pode calcular W 1 o = 843, 7 kg/h 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3

W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg.

W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h x 2 = kg. AB/kg. A 1 xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A y 2 = kg. AB/kg. A Retornando no sentido do fluxo. Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 o = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 o = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 o = 0, 03344 kg. AB/kg. A

DESENVOLVIMENTO LITERAL

DESENVOLVIMENTO LITERAL

ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W

ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x x 22# y 2 3 x 3 y 3 L (x 1, x 2) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Primeiro passo: otimiza-se o estágio 3 para um valor hipotético x 2#. A função objetivo a maximizar é L 3 (x 2#, x 3 ) e a variável de projeto é x 3. Busca univariável em x 3. Obtem-se x 3 o (x 2# ) e L 3 o (x 2# ) , ambos função de x 2#. L 3 o (x 2# ) será usado no passo seguinte. x 3 o (x 2# ) fica aguardando o resultado x 2 o a ser determinado na etapa na volta.

ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 xx 11# y 1 2 W

ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 xx 11# y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 L (x 1, x 2) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Segundo passo: otimizam-se os estágios 2 e 3, em conjunto, para um valor hipotético x 1#. A função objetivo a maximizar é L 23 (x 1#, x 2, x 3 ) = L 2 (x 1#, x 2) + L 3 (x 2, x 3). Porém, para qualquer valor de x 2, já se conhece o valor máximo de L 3. Então, a função objetivo fica: L 23 (x 1#, x 2 ) = L 2 (x 1#, x 2) + L 3 o(x 2) e a variável de projeto fica sendo x 2. Busca univariável em x 2. Obtém-se x 2 o (x 1# ) e L 23 o (x 1# ) , ambos função de x 1#. L 23 o (x 1# ) será usado no passo seguinte. x 2 o (x 1# ) fica aguardando x 1 o (x 1# ) a ser determinado na etapa de na volta.

ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W

ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 L (x 1, x 2) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Terceiro passo: otimizam-se os estágios 1, 2 e 3, em conjunto, para o valor fixo xo*. A função objetivo a maximizar é L 123 (xo , x 1 , x 2, x 3 ) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3). Porém, para qualquer valor de x 1, já se conhece o valor máximo de L 23. Então, a função objetivo fica: L 123 (xo, x 1 ) = L 1 (xo, x 1) + L 23 o (x 1) e a variável de projeto fica sendo x 1. Busca univariável em x 1. Obtém-se x 1 o e L 123 o , ambos função de xo. Quarto passo: regenera-se a solução final voltando com os valores de x 1 o e x 2 o e x 3 o

A solução analítica se torna inviável para problemas de grande porte. Procedimento numérico alternativo

A solução analítica se torna inviável para problemas de grande porte. Procedimento numérico alternativo A pré-otimização de cada estágio se dá para um conjunto discreto de valores da variável de entrada. Os resultados intermediários de Lo e xio são lançados em gráficos ou tabelas. Os de Lo são usados durante a pré-otimização Os de xio são usados no caminho de volta

Solução Analítica (Simultânea) W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o

Solução Analítica (Simultânea) W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Incorporando as equações ordenadas ao Lucro: L (xo, x 1, x 2, x 3) = 4. 000 (0, 02 – x 3) – 25 (0, 02 / x 1 – x 1 / x 2 – x 2 / x 3 – 3) A solução ótima pode ser obtida pelo método analítico, maximizando o Lucro do processo completo. L / x 1 = 0 x 2 = 50 x 12 L / x 2 = 0 x 3 = x 22 / x 1 L / x 3 = 0 x 1 o = 0, 01495 x 2 o = 0, 01118 x 3 o = 0, 008359 W 1 o = W 2 o = W 3 o = 843, 7 Lo (xo, x 1, x 2, x 3) = 21, 3 $/h

A outra Solução: cada Estágio busca o seu lucro máximo ignorando os Estágios seguintes.

A outra Solução: cada Estágio busca o seu lucro máximo ignorando os Estágios seguintes. W 1 = 1. 972 kg. B/h x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = 843, 7 kg. B/h 1 W 2 = 391, 2 kg. B/h x 2 = 0, 008359 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A x 3 = 0, 007228 kg. AB/kg. A y 3 = 0, 02891 kg. AB/kg. A y 2 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Lo' (xo, x 1, x 2, x 3) = L 1 o' (xo, x 1) + L 2 o' (x 1, x 2) + L 3 o' (x 2, x 3) = 15, 6 + 2, 8 + 0, 6 = 19 $/h Solução Ótima: cada Estágio abre mão do seu lucro máximo em favor do lucro máximo do sistema Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Lo = L 1 o + L 2 o + L 3 o = 11, 8 + 6, 7 + 2, 8 = 21, 3 $/h