OTIMIZAO DE SISTEMAS DISCRETOS PROGRAMAO DIN MICA 29
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OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS PROGRAMAÇÃO DIN MICA 29 de novembro de 2016
Considere um sistema constituido de N estágios em série. xo 1 x 1 2 x. N-2 N -1 x. N-1 N x. N Exemplos: baterias de extratores, permutadores, reatores. . . O dimensionamento deste sistema é um problema com G = N graus de liberdade. Logo, é um problema de Otimização. As variáveis de projeto são x 1. . . x. N Uma forma de conduzir a otimização consiste um realizar uma busca multivariável por um dos métodos conhecidos (analítico ou H&J, por exemplo).
Exemplo: resultado da otimização de um sistema de 2 extratores em série (Método Analítico ou Hooke&Jeeves) W 1 = 1. 184 kg. B/h x 1 = 0, 01357 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 = 1. 184 kg. B/h 1 x 2 = 0, 00921 kg. AB/kg. A 2 y 1 = 0, 05428 kg. AB/kg. A Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a y 2 = 0, 03824 kg. AB/kg. A 1 2 64, 28 1. 184 13, 87 43, 62 1. 184 5, 61 Total 107, 90 2. 368 19, 48
O resultado foi obtido manipulando as duas variáveis de projeto presentes durante todo o processo de otimização. 0, 020 0, 018 8, 0 0, 016 10 0, 014 16 0, 012 X 2 0, 010 0 4, 0 2, 0 6, 0 19, 5 0, 00921 14 18 0, 006 12 0, 004 0, 01357 0, 002 0, 005 0, 010 0, 015 0, 020 X 1 0, 025 0, 030 0, 035
Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis: (a) otimizar o primeiro estágio (b) utilizar o valor ótimo x 1 o na otimização do segundo.
O primeiro estágio é otimizado sem tomar conhecimento do segundo. W 1 = 1. 972 kg. B/h x 2 kg. AB/kg. A x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 kg. B/h 1 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 2 kg. AB/kg. A O segundo será otimizado com um valor compulsório na entrada, de cuja escolha não participou
Otimizado o 1º estágio A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0, 01118 = 0 x 1 = 0, 01118
O primeiro estágio foi otimizado sem tomar conhecimento do segundo. O segundo é otimizado com um valor compulsório na entrada, de cuja escolha não participou W 1 = 1. 972 kg. B/h x 2 = 0, 008359 kg. AB/kg. A x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 = 843 kg. B/h 1 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 2 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Resultado: Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 1 2 64, 28 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 116, 41 2. 815 18, 40
Otimizado o 1º estágio A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0, 01118 = 0 x 2 = 0, 008359 x 1 = 0, 01118 Obviamente, não é a solução ótima
Comparando as duas soluções. . .
Solução Simultânea Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 64, 28 1. 184 13, 87 2 43, 62 1. 184 5, 61 Solução Sequencial Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 2 88, 20 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 107, 90 2. 368 19, 48 Saldo desfavorável Total 116, 41 2. 815 18, 40 Na solução sequencial, o primeiro estágio consome mais solvente, recupera mais soluto e contribui mais para o Lucro. Mas obriga o segundo a recuperar menos soluto consumindo menos solvente, e contribuir menos para o Lucro.
Solução Simultânea Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 64, 28 1. 184 13, 87 2 43, 62 1. 184 5, 61 Solução Sequencial Estágio Soluto Recuperado (kg/h) Solvente Consumido (kg/h) Lucro ($/a) 1 2 88, 20 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 107, 90 2. 368 19, 48 Saldo desfavorável Total 116, 41 2. 815 18, 40 A solução simultânea se passa como se os estágios se “consultassem” sobre como melhor contribuir para o Sistema como um todo. Eles abrem mão da sua melhor performance em favor da solução ótima do Sistema
PROGRAMAÇÃO DIN MICA Método criado por Richard Bellman para a otimização de sistemas em estágios. 1 x*o x 1 2 x. N-2 N -1 x. N-1 N x. N Aplicações na Engenharia Química baterias de reatores, extratores, torres de destilação, etc. . .
Base do Método PRINCÍPIO DO ÓTIMO “Optimality Principle” (Bellman) "Para que um sistema em estágios em série seja ótimo é necessário que ele seja ótimo de qualquer estágio em diante". 1 x*o x 1 o 2 x 2 o x. N-2 o N -1 x. N-1 o Todo xi está com o seu valor ótimo N x. No
A PROGRAMAÇÃO DIN MICA permite que uma busca multivariável se transforme em N buscas univariáveis. Ela promove a “consulta” aos elementos do Sistema em busca da solução ótima.
Exemplo: 3 extratores em série W 1 kg. B/h 1 X 3 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 kg. AB/kg. A W 3 kg. B/h X 2 kg. AB/kg. A X 1 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 kg. B/h y 2 kg. AB/kg. A y 3 kg. AB/kg. A
Na Programação Dinâmica, pode-se distinguir 2 etapas: - Etapa Preparatória - Etapa Decisiva
Na Etapa Preparatória o sistema é percorrido no sentido inverso do fluxo material. W 1 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h 1 x 2 = kg. AB/kg. A x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A W 2 = kg. B/h y 2 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A pavimentando o caminho de volta que vai produzir a solução ótima.
A pavimentação consiste em pré-otimizar o sistema no sentido inverso do fluxo “consultando” previamente os elementos sobre a participação de cada um na solução ótima W 1 xo* xo* 1 W 2 x 1 2 W 3 x 2 3 x 3 y 1 y 2 y 3 W 1 W 2 W 3 1 x 1 2 x 2 3 x 3 y 1 y 2 y 3 W 1 W 2 W 3 1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3
W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h x 2 = kg. AB/kg. A 1 xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A y 2 = kg. AB/kg. A Na Etapa Decisiva, partindo de variáveis especificadas do Estágio 1, informações são propagadas no sentido do fluxo aproveitando o terreno pavimentado na Etapa Preparatória. Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A 1 2 3
W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h x 2 = kg. AB/kg. A 1 xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A y 2 = kg. AB/kg. A Na Etapa Decisiva, partindo de variáveis especificadas do Estágio 1, informações são propagadas no sentido do fluxo aproveitando o terreno pavimentado na Etapa Preparatória. Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 o = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 o = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 o = 0, 03344 kg. AB/kg. A Garante-se, assim, que o sistema fica otimizado a partir de qualquer estágio.
EXEMPLO DE EXECUÇÃO DO MÉTODO
3 extratores em série W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 Explicitando o lucro proporcionado por cada estágio: L (xo, x 1, x 2, x 3) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) L 1 (xo, x 1) = 105 – 4. 000 x 1 – 0, 5 / x 1 L 2 (x 1, x 2) = 25 + 4. 000 x 1 – 4. 000 x 2 – 25 x 1 / x 2 L 3 (x 2, x 3) = 25 + 4. 000 x 2 – 4. 000 x 3 – 25 x 2 / x 3 Início: “consulta” ao Estágio 3 sobre seus valores ótimos para qualquer valor x 2# que vier do Estágio 2 na Etapa Decisiva: d. L 3/dx 3 = - 4. 000 + 25 x 2# / x 32 = 0 x 3 o = 0, 0791 x 2# L 3 o = 25 + 4. 000 x 2# - 632, 46 x 2# Esta é a resposta do Estágio 3 à consulta feita pelo Método.
W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 Do passo anterior: x 3 o = 0, 0791 x 2 L 3 o = 25 + 4. 000 x 2 - 632, 46 x 2 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 Passo 2: “consulta” aos Estágios 2 e 3 sobre seus valores ótimos para qualquer valor x 1# que vier do Estágio 1 na Etapa Decisiva: L 23 = L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Mas, ao invés de efetuar uma otimização em x 2 e x 3, utiliza-se o máximo de L 3: L 3 o. L 23 = L 2 (x 1, x 2) + L 3 o = = [25 + 4. 000 x 1# – 4. 000 x 2 – 25 x 1# / x 2] + [25 + 4. 000 x 2 - 632, 46 x 2 ] Assim, a otimização fica univariável apenas em x 2: L 23 = 50 + 4. 000 x 1# - 25 x 1# / x 2 – 632, 46 x 2
W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 L 23 = 50 + 4. 000 x 1# - 25 x 1# / x 2 – 632, 46 x 2 d. L 23/dx 2 = 25 x 1# / x 22 – (1/2)(632, 46 / x 2#) = 0 x 2 o = 0, 1843 x 1# 2/3 L 23 o = 50 + 4. 000 x 1# – 407, 2 x 1# 1/3 Esta é a resposta dos Estágios 2 e 3 à consulta feita pelo Método
W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 Do passo anterior: x 2 o = 0, 1842 x 12/3 L 23 o = 50 + 4. 000 x 1 – 407, 2 x 11/3 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 Passo 3: “consulta” aos Estágios 1, 2 e 3 sobre seus valores ótimos para o único valor xo conhecido na Etapa Decisisva: L 123 (xo, x 1, x 2, x 3) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Mas, ao invés de efetuar uma otimização em x 1, x 2 e x 3, utiliza-se a expressão ótima de L 23 o. L 123 = L 1 (xo, x 1) + L 23 o = [105 – 4. 000 x 1 – 0, 5 / x 1] + [50 + 4. 000 x 1 – 407, 2 x 11/3 ] Assim, a otimização fica univariável apenas em x 1: L 123 = 155 – 0, 5/x 1 – 407, 2 x 11/3
W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 L 123 = 155 – 0, 5/x 1 – 407, 2 x 11/3 d. L 123/dx 1 = 0, 5 / x 12 – 135, 7 x 1 -2/3 = 0 x 1 o = 0, 015 L 123 o = 21, 2 $/a Já se tem Lo = L 123 o = 21, 2 $/a Já se pode calcular W 1 o = 843, 7 kg/h 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3
W 1 = kg. B/h W 2 = kg. B/h x 1 = kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h x 2 = kg. AB/kg. A 1 xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = kg. B/h x 3 = kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = kg. AB/kg. A y 3 = kg. AB/kg. A y 2 = kg. AB/kg. A Retornando no sentido do fluxo. Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 o = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 o = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 o = 0, 03344 kg. AB/kg. A
DESENVOLVIMENTO LITERAL
ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x x 22# y 2 3 x 3 y 3 L (x 1, x 2) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Primeiro passo: otimiza-se o estágio 3 para um valor hipotético x 2#. A função objetivo a maximizar é L 3 (x 2#, x 3 ) e a variável de projeto é x 3. Busca univariável em x 3. Obtem-se x 3 o (x 2# ) e L 3 o (x 2# ) , ambos função de x 2#. L 3 o (x 2# ) será usado no passo seguinte. x 3 o (x 2# ) fica aguardando o resultado x 2 o a ser determinado na etapa na volta.
ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 xx 11# y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 L (x 1, x 2) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Segundo passo: otimizam-se os estágios 2 e 3, em conjunto, para um valor hipotético x 1#. A função objetivo a maximizar é L 23 (x 1#, x 2, x 3 ) = L 2 (x 1#, x 2) + L 3 (x 2, x 3). Porém, para qualquer valor de x 2, já se conhece o valor máximo de L 3. Então, a função objetivo fica: L 23 (x 1#, x 2 ) = L 2 (x 1#, x 2) + L 3 o(x 2) e a variável de projeto fica sendo x 2. Busca univariável em x 2. Obtém-se x 2 o (x 1# ) e L 23 o (x 1# ) , ambos função de x 1#. L 23 o (x 1# ) será usado no passo seguinte. x 2 o (x 1# ) fica aguardando x 1 o (x 1# ) a ser determinado na etapa de na volta.
ETAPA PREPARATÓRIA W 1 xo* 1 W 2 x 1 y 1 2 W 3 x 2 y 2 3 x 3 y 3 L (x 1, x 2) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3) Terceiro passo: otimizam-se os estágios 1, 2 e 3, em conjunto, para o valor fixo xo*. A função objetivo a maximizar é L 123 (xo , x 1 , x 2, x 3 ) = L 1 (xo, x 1) + L 2 (x 1, x 2) + L 3 (x 2, x 3). Porém, para qualquer valor de x 1, já se conhece o valor máximo de L 23. Então, a função objetivo fica: L 123 (xo, x 1 ) = L 1 (xo, x 1) + L 23 o (x 1) e a variável de projeto fica sendo x 1. Busca univariável em x 1. Obtém-se x 1 o e L 123 o , ambos função de xo. Quarto passo: regenera-se a solução final voltando com os valores de x 1 o e x 2 o e x 3 o
A solução analítica se torna inviável para problemas de grande porte. Procedimento numérico alternativo A pré-otimização de cada estágio se dá para um conjunto discreto de valores da variável de entrada. Os resultados intermediários de Lo e xio são lançados em gráficos ou tabelas. Os de Lo são usados durante a pré-otimização Os de xio são usados no caminho de volta
Solução Analítica (Simultânea) W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Incorporando as equações ordenadas ao Lucro: L (xo, x 1, x 2, x 3) = 4. 000 (0, 02 – x 3) – 25 (0, 02 / x 1 – x 1 / x 2 – x 2 / x 3 – 3) A solução ótima pode ser obtida pelo método analítico, maximizando o Lucro do processo completo. L / x 1 = 0 x 2 = 50 x 12 L / x 2 = 0 x 3 = x 22 / x 1 L / x 3 = 0 x 1 o = 0, 01495 x 2 o = 0, 01118 x 3 o = 0, 008359 W 1 o = W 2 o = W 3 o = 843, 7 Lo (xo, x 1, x 2, x 3) = 21, 3 $/h
A outra Solução: cada Estágio busca o seu lucro máximo ignorando os Estágios seguintes. W 1 = 1. 972 kg. B/h x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB / kg. A W 2 = 843, 7 kg. B/h 1 W 2 = 391, 2 kg. B/h x 2 = 0, 008359 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A x 3 = 0, 007228 kg. AB/kg. A y 3 = 0, 02891 kg. AB/kg. A y 2 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Lo' (xo, x 1, x 2, x 3) = L 1 o' (xo, x 1) + L 2 o' (x 1, x 2) + L 3 o' (x 2, x 3) = 15, 6 + 2, 8 + 0, 6 = 19 $/h Solução Ótima: cada Estágio abre mão do seu lucro máximo em favor do lucro máximo do sistema Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 1 o = 843, 7 kg. B/h W 2 o = 843, 7 kg. B/h X 1 o = 0, 015 kg. AB/kg. A x 2 o = 0, 011 kg. AB/kg. A 1 x 3 o = 0, 0084 kg. AB/kg. A 3 2 y 1 = 0, 0598 kg. AB/kg. A W 3 o = 843, 7 kg. B/h y 2 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 3 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Lo = L 1 o + L 2 o + L 3 o = 11, 8 + 6, 7 + 2, 8 = 21, 3 $/h
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