Osnovne vrste naprezanja Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje Savijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje Savijanje Izvijanje 1

SAVIJANJE GREDE SILAMA Greda je opterećena na desnom kraju silom F paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi). poprečni presek štapa Мx=F l F A T Z x F l y F y Da bi levi kraj bio u ravnoteži potrebno je da se na tom kraju jave: Sila –F da uravnoteži silu F Momenat Mx =F l da uravnoteži momenat usled sile F Usled spoljašnje sile F u gredi se javljaju unutrašnje sile: Transverzalna sila F i momenat Mx 2

Unutrašnje sile u poprečnom preseku MOMENAT SAVIJANJA Мx Z y Momenat savijanja u nekom preseku jednaka je zbiru svih momenata savijanja levo ili desno od posmatranog preseka Momenat savijanja je pozitivan kada zateže donju stranu 3

TRANSVERZALNA SILA - sila koja je upravna na osu štapa Z F l y Transverzalna sila u nekom preseku jednaka je zbiru svih transverzalnih sila levo ili desno od posmatranog preseka Transverzalna sila je pozitivna kada suprotan kraj štapa obrće u smeru kazaljke časovnika (sa leva udesno) 4

NORMALNA (AKSIJALNA) SILE sila pritiska svoj kraj štapa sila zatezanja zateže svoj kraj štapa F sila je pozitivna F F sila je negativna F POZITIVNI SMEROVI UNUTRAŠNJIH SILA T levo desno M N N M T 5

Rekapitulacija – gredni nosač 1. Gredni nosač se sastoji od štapova, koji su međusobno spojeni zglobno ili kruto i oslonaca. 2. Gredni nosač je opterećen sa spoljašnjim opterećenjem. 3. Usled spoljašnjeg opterećenja u osloncima se javljaju reakcije oslonaca F M q 4. Usled svih spoljnjih sila nosača (spoljašnjeg opterećenja i reakcija oslonaca) u štapovima grednog nosača se javljaju unutrašnje sile

Unutrašnje sile su 1. Normalne sile 2. Transverzalne sile 3. Momenti savijanja Unutrašnje sile se predstavljaju dijagramima unutrašnjih sila Prosta greda To je nosač koji je na svojim krajevima vezan nepokretnim i pokretnim osloncem L 7

Prosta greda opterećena silom u sredini Nacrtati dijagrame presečnih sila F (k. N) A B L Postupak rešavanja 1. Odredimo reakcije oslonaca -Zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca F A B HB L/2 VA L/2 VB 8

Postavimo uslove ravnoteže za sistem sila u ravni bez zajedničke napadne tačke 1) Hi=0 -Suma svih horizontalnih sila jednaka je nuli 2) Vi=0 3) Mi=0 -Suma svih vertikalnih sila jednaka je nuli -Suma momenata u nekoj tački jednaka je nuli F A VA L/2 B L/2 HB VB 9

Iz treće jednačine dobijamo Vratimo u drugu VB Iz prve jednačine se vidi da je HB=0 Određeni zaključci Ako nema horizontalnog opterećenja tada nema ni horizontalnih reakcija Ako je nosač simetričan i opterećenje simetrično tada su i reakcije simetrične (iste) 10

Crtanje dijagrama Dijagrami se crtaju upravno na osu nosača L D Dijagram normalnih sila je nula –nema ih Dijagram transverzalnih sila Krenemo sa leve strane i analiziramo z sile redom F Prva sila je reakcija F/2. Ona je A B pozitivna (pogledati znak sile) F/2 Nanosimo silu na dijagram na gore F/2 L/2 jer se pozitivne transverzalne sile 0 N crtaju sa gornje strane nulte linije. Sve do sile F nema drugih transverzalnih sila tako da je Tz=F/2 F + F/20 T Na mestu koncentrisane sile javlja se skok transverzalnih sila u negativnom pravcu za vrednost sile F 11

z F A F/2 Vrednost transverzalne sile posle preseka gde duluje sila F je: L/2 B L/2 N 0 F/2 F/2 + F/2 - T F/2 Fz levo=+F/2 -F=-F/2 Sve do sile VB nema promene transverzalnih sila Na kraju sila VB=F/2 deluje u pozitivnom pravcu gledajući sa leve strane i zatvara dijagram (vraća ga u nulu). Svaki dijagram mora biti zatvoren. Za crtanje dijagrama transverzalnih sila usvojimo pravilo: Krenemo sa leve strane i nanosimo sile u pravcu njihovog delovanja. 12

Crtanje dijagrama momenata savijanja L D z F A F/2 L/2 B L/2 Krenemo sa leve strane i analiziramo karakteristične preseke F/2 Oslonac A je pokretni oslonac i u njemu nema momenta. M Na delu gde je 0 z L/2 vrednost 0 + momenta je M=F/2 z. To je linearna funkcija (kriva prvog reda jer je FL/4 promenljiva z prvog stepena). Za z=L/2 imamo M=F/2 L/2=FL/4 Na delu gde je L/2 z L vrednost momenta je: za z 1=L/2 imamo dijagram se vraća u nulu 13

Uporedimo sada dijagrame momenata i dijagram transverzalnih sila F A F/2 L/2 0 B L/2 F/2 M + FL/4 F/20 F/2 + F/2 - T F/2 Na delu gde je 0 z L/2 vrednost momenta je: M=F/2 z (kriva prvog stepena) a vrednost transverzalne sile je Tz=F/2 (kriva nultog stepena) Vidimo da je: Moment je funkcija za stepen viša od transverzalne sile. To pravilo važi uvek

Prosta greda opterećena jednako podeljenim opterećenjem Nacrtati dijagrame presečnih sila q (k. N/m) A B L Postupak rešavanja 1. Odredimo reakcije oslonaca -Zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca A B L VA HB VB 15

Postavimo uslove ravnoteže za sistem sila u ravni bez zajedničke napadne tačke 1) Hi=0 -Suma svih horizontalnih sila jednaka je nuli 2) Vi=0 3) Mi=0 -Suma svih vertikalnih sila jednaka je nuli -Suma momenata u nekoj tački jednaka je nuli q A VA B Q L/2 HB VB 16

Iz treće jednačine dobijamo zamenimo u drugu jednačinu Iz prve jednačine se vidi da je HB=0 q A q L/2 B L/2 q L/2 17

Crtanje dijagrama Dijagrami se crtaju upravno na osu nosača L D Dijagram normalnih sila je nula –nema ih Dijagram transverzalnih sila z Krenemo sa leve strane i analiziramo sile redom Prva sila je reakcija q. L/2. Ona je A B pozitivna (pogledati znak sile) q L/2 L q L/2 Na delu gde je 0 z L/2 vrednost transverzalne sile je T=q. L/2 -q z. To 0 N je linearna funkcija (kriva prvog reda jer je promenljiva z prvog stepena). q L/2 Za z=L/2 imamo T=q. L/2 -q. L/2=0 T Sila od oslonca A linearno opada jer 0 je pravac kontinualnog opterećenja u negativnom smeru sa leve strane + 18

z Vrednost transverzalne sile posle polovine raspona je ista funkcija: A q L/2 L 0 q L/2 + 0 - levo=+q L/2 -q z F z B za z=L imamo q L/2 Fz levo=+q L/2 -q L=-q L/2 Na kraju sila VB=q L/2 deluje u N pozitivnom pravcu gledajući sa leve strane i zatvara dijagram (vraća ga u nulu). Svaki dijagram mora biti T zatvoren. q L/2 Za crtanje dijagrama transverzalnih sila usvojimo pravilo: Krenemo sa leve strane i nanosimo sile u pravcu njihovog delovanja. 19

Crtanje dijagrama momenata savijanja z A q. L/2 0 B L/2 + q. L 2/8 Za z=L/2 imamo: L D Krenemo sa leve strane i analiziramo karakteristične preseke q. L/2 Oslonac A je pokretni oslonac i u njemu nema momenta. M Na delu gde je 0 z L vrednost momenta je : To je kvadratna jednačina (kriva drugog stepena- kvadratna parabola) 20

Uporedimo sada dijagrame momenata i dijagram transverzalnih sila z Na delu gde je 0 z L vrednost momenta je: A B q. L/2 0 L/2 M + q. L 2/8 q L/2 + 0 q. L/2 Kriva drugog stepena Na delu gde je 0 z L vrednost transverzalne sile je: Kriva prvog stepena - T Vidimo da je: Moment je funkcija za stepen viša od q L/2 transverzalne sile. To pravilo važi uvek 21

Uvedimo sada još jedno pravilo koje važi za sve dijagrame z Za vrednost z=L/2 momenat ima maksimalnu vrednost A B q. L/2 0 M + q. L 2/8 q L/2 + 0 q. L/2 - Odgovarajuća vrednost transverzalne sile je: Vidimo da važi: T Gde transverzalna sila ima vrednost nula, momenat savijanja ima q L/2 ekstremnu vrednost (min ili max). To pravilo važi uvek 22

Konzola opterećena koncentrisanom silom To je nosač koji je na svom jednom kraju uklješten a na drugom nema oslonac 1) Hi=0 F Uslovi ravnoteže 2) Vi=0 A 3) Mi=0 L MA HA A L VA Pretpostavljeni smer oslonačkog momenta je pogrešan. Potrebno je samo obrnuti smer 23

MA Crtanje dijagrama z A HA L F Normalne sile - nema normalnih sila L VA N + F - F L D F T M Transverzalne sile Oslonac A Tz=VA=F konstantno do sile F koja vraća u nulu Momenti savijanja Oslonac A Mz=-F L Na 0 z L Mz=-F L+F z dijagram momenat linearno opada (odnosno ide u pozitivnom smeru) za z=L Mz=-F L+F L=0 24

Konzola opterećena jednakopodeljenim opterećenjem Uslovi ravnoteže q A 1) Hi=0 2) Vi=0 3) Mi=0 L q MA HA L Pretpostavljeni smer oslonačkog momenta je pogrešan. Potrebno je samo obrnuti smer VA 25

MA Crtanje dijagrama z L q z Normalne sile - nema normalnih sila HA L VA N + q L D T Transverzalne sile Oslonac A Tz=VA=q L na delu O z L Tz=q L-q z za z=L T=0 Momenti savijanja Oslonac A Mz=-q L 2/2+q z z/2 Na 0 z L M =-q L z f=q. L 2/8 dijagram momenat opada (odnosno q L 2/2 M ide u pozitivnom smeru) po zakonu kvadratne parabole Strela parabole je uvek f=q. L 2/8 Za z=0 Mz=-q L 2/2+q L L/2=0 - 26

Složeni nosači Greda sa prepustom je spoj proste grede i konzole greda sa jednim prepustom L a =M + L F konzola R M F a R 27

Greda sa prepustom i prosta greda L L 1 a = prosta greda R greda sa jednim prepustom L + L 1 R R a 28

Spoj proste grede i konzole L L 1 = + Konzola prosta greda R L 1 R L 29

6. 1 Za zadati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame presečnih sila 10 k. Nm 45 A 2 G 2 B 2 2 a) Određivanje reakcija zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca imamo četri nepoznate reakcije MA HA 10 k. Nm 10 k. N G VA VB Uslovi ravnoteže 1) Hi=0 2) Vi=0 3) Mi=0 Potreban je još jedan uslov ravnoteže 30

MA HA 10 k. Nm G 10 k. N 45 Uslovi ravnoteže osnovni 1) Hi=0 2) Vi=0 VA VB 3) Mi=0 2 2 Dodatni uslov je momenat u zglobu jednak nuli. Možemo uzeti sumu momenata sa leve ili desne strane u odnosu na zglob Četri jednačine iz kojih izračunavamo četri nepoznate reakcije 31

Iz četvrte jednačine imamo Iz treće jednačine imamo Iz druge jednačine imamo Iz prve jednačine imamo 32

Crtanje dijagrama presečnih sila 10 k. N A 10 k. Nm 45 7, 07 B G 4, 10 2 7, 07 3, 54 2 + 2 2 7, 07 - 3, 54 N L D Normalne sile NA=-7, 07 k. N (pritiska kraj štapa) Sve do sile FH nema promene i sila F cos 45 zatvara dijagram Transverzalne sile VA=3, 54 k. N (pozitivna) T Sve do sile FV nema promene sila 3, 54 F sin 45 deluje u negativnom smeru Dalje je dijagram konstantan i sila BV zatvara dijagram 33

L A 10 k. N 45 10 k. Nm 7, 07 4, 10 C B G 3, 54 2 2 - 7, 07 D 2 - 2, 98 Paralelne linije + 7, 07 U čvoru C MClevo=-4, 10+3, 54 2=2, 98 k. Nm MCdesno=2, 98 -10=-7, 02 k. Nm U čvoru G (zglob) T M levo=-4, 10+3, 54 4 -10=0 k. Nm G 3, 54 MGdesno=0 U čvoru D MDlevo=-4, 10+3, 54 6 -10=7, 07 k. Nm M M desno=3, 54 2=7, 07 k. Nm D U čvoru B MB=0(pokretan oslonac) 34 7, 07 7, 02 4, 10 N 7, 07 - Momenti savijanja U čvoru A deluje momenat 3, 54 MA=-4, 10 k. Nm(negativan levo) 2 + 3, 54 D