Osnovi analognih telekomunikacija Predava Prof dr Zoran Veljovi

Osnovi analognih telekomunikacija Predavač: Prof. dr Zoran Veljović Saradnici: dr Uglješa Urošević, mr Slavica Tomović

Sadržaj • Uvod. Priroda poruka i signala. Analiza periodičnih signala • Analiza aperiodičnih signala. Slučajni signali. Uloga i značaj harmonijske analize signala. • Prenos signala kroz linearne sisteme. Izobličenja signala • Uticaj propusnog opsega sistema na oblik primljenog signala. • Modulacije. Amplitudska modulacija. • AM-KAM modulacija. AM-2 BO modulacija. • AM-1 BO modulacija. Demodulacija AM signala. • KOLOKVIJUM (40 poena) • Ugaona modulacija. Spektar UM signala. • FM modulatori. Demodulacija FM signala

Sadržaj (nastavak) • Slučajan šum. Karakteristike uskopojasnog šuma. • Uticaj šuma na prenos amplitudski modulisanih signala • Uticaj šuma na prenos ugaono modulisanih signala LABORATORIJA (12 poena) AKTIVNOST (8 poena) ZAVRŠNI ISPIT (40 poena)

UVOD ISTORIJSKI RAZVOJ TELEKOMUNIKACIJA Telekomunikacije predstavljaju naučnu oblast koja se bavi prenosom informacija. Poruke koje treba prenijeti sa jednog mjesta (njihovog izvora) do udaljene tačke (mjesta prijema) mogu da budu u različitim formama: pisani tekst, govor, muzika, nepokretna i pokretna slika, podaci, . . . Potreba za komuniciranjem među ljudima stara je koliko i svijet, pa su ljudi koristili razne načine kako bi ostvarili komunikaciju: glasnici, golubovi pismonoše, paljenje vatre i dimni signali, heliograf u Grčkoj, sistemi megafonskog prenosa u Egiptu. . . • Prvo ozbiljno rješenje predstavlja organizovan sistem optičke telegrafije, koga je pronašao C. Chappe (1763 -1805) u Francuskoj. Na visokom stubu bila je pričvršćena prečka koja je mogla da se okreće oko svog centra, a na njenim krajevima, dvije pokretne ruke davale su mogućnost da se različitim položajima prečke i ruke obilježi 196 različitih znakova koji su predstavljali slova, brojke i znakove interpunkcije.

Prva vijest ovim sistemom je poslata u avgustu 1794. od Lila do Pariza. Ukupno, u Francuskoj je postojalo oko 500 relejnih stanica a dužina veza cijelog sistema iznosila je oko 5 000 km. Optički telegraf

• Dvadeset četvrti maj 1844. god. može se smatrati danom početka elektronskih komunikacija. Tog dana Morse je ostvario prvi telegrafski prenos između Vašingtona i Baltimora. Već 1851. godine 50 preduzeća u SAD eksploatisalo je Morseov patent. Iste godine položen je prvi podmorski telegrafski kabl između Francuske i Engleske, a 1866. god. je položen prvi transatlantski kabl između Nove Zemlje i Irske. Morzeov telegraf

• Savršeniji vid prenosa poruka predstavlja telefonija čijim se začetnikom smatra Graham Bell (1876. god. ). Zvučna energija govora se pretvara u električni signal koji se prenosi do drugog aparata u kome se vrši konverzija električne energije u zvučni signal. Godine 1892. postavljena je prva automatska telefonska centrala. Modeli prvih telefona

• Neophodnost da se mjesto predaje poruke i mjesto njenog prijema povežu fizičkom linijom veze predstavljala je kočnicu u stvaranju globalnog sistema veza. Krajem 19. vijeka dolazi do genijalnih otkrića u oblasti elektromagnetike. Radovi I. Henryja (1797. -1878. ), J. C. Maxwella (1831. 1879. ) i H. Hertza (1857. -1894. ) predstavljaju naučnu osnovu na kojoj su izgrađene radio-komunikacije. Ruski fizičar A. S. Popov (1859. -1906. ) je 1896. izveo demonstraciju radio-veze šaljući telegram sadržine "Heinrich Hertz" napisan Morseovom azbukom, i G. Marconi koji je prvi prijavio patent za bežičnu telegrafiju 1897. godine, ostvarivši takvu vezu na rastojanju od 1000 metara. Tako su počeli prvi koraci u radio-komunikacijama. 1904. godine je ostvarena prva radio-telegrafska veza na trasi Volujica (Bar)-Italija. Sedmog januara 1927. godine ostvarena je prva radio-veza u javnom telefonskom saobraćaju između Njujorka i Londona. Od tada se radiokomunikacije kao služba javljaju u dva vida: 1. profesionalnog karaktera: povezuju se dva korespondenta. 2. tzv. "masovne komunikacije“- radio-difuzija: sa jednog mjesta poruka se prenosi velikom broju korisnika. Radio-difuzija danas predstavlja jedno od najznačajnijih sredstava u informisanju javnosti.

• Daljim razvojem nauke i tehnike javlja se potreba za prenosom poruka ne samo u vidu pisane riječi i govora već i u obliku slika, pokretnih slika, a kasnije, razvojem računara, i prenos podataka između njih. 1927. god. je ostvaren prvi prenos televizijskog signala između Njujorka i Vašingtona.

• 1956. godine postavljen prvi telefonski podmorski kabl između Amerike i Engleske kojim se moglo prenijeti istovremeno 36 govornih signala. • U avgustu 1960. bio je lansiran prvi telekomunikacioni, pasivni satelit "Echo 1", a oktobra iste godine prvi aktivni satelit "Courier IB“. 1965. god. ostvaren je prvi eksperimentalni televizijski prenos slike u boji preko satelita, a nešto kasnije iste godine u komercijalne svrhe mogao je da se ostvari prenos 240 telefonskih razgovora ili dva TV programa preko satelita. Lansiranjem telekomunikacionih satelita otvara se nova era u oblasti telekomunikacija. Prvi pasivni satelit Echo 1 Satelit “Молния” sa koga je ostvaren prvi eksperimentalni prenos TV slike u boji

• Druga polovina 20. vijeka donosi intenzivan razvoj mobilnih radio komunikacija i optičkih komunikacija. Prvi pokušaji na tom polju su bili radiofoni (voki-toki), zatim dispečerski sistemi, radio-pejdžing sistemi, mobilni radio-telefonski sistemi koji obezbjeđuju sve što i fiksni telefonski sistemi. Osnovni trend današnjih telekomunikacija je ostvarivanje komunikacije bilo gdje, bilo kad sa bilo kim, nezavisno od terminala koji posjedujemo.

MODEL KOMUNIKACIONOG SISTEMA (MREŽE) Svaka telekomunikaciona mreža može generalno da se predstavi različitim modelima. Jedan od uobičajenih modela za predstavljanje telekomunikacionih sistema je Shannon-ov model prikazan na slici.

1. Izvor poruke - bilo kakav objekat, operator, . . . koji generiše poruke (zvuk, slika, podaci) koje treba prenijeti korisniku 2. Predajnik - dio telekomunikacionog sistema u kome se vrši konverzija poruke u njen električni ekvivalent koji se naziva električni signal 3. Linija veze (prenosni put, transmisioni medijum) - sredina kroz koju se signal prenosi od predajnika do prijemnika 4. Šum - smetnje slučajnog karaktera koje se mogu superponirati sa signalom duž linije veze, i na taj način uticati na oblik signala koji dolazi do prijemnika 5. Prijemnik - uređaj koji obavlja operaciju inverznu predajniku: transformiše primljeni signal u poruku 6. Korisnik - osoba, mašina ili objekat kome je poruka namijenjena

Nakon Shannon-a, koji je dao opšti model telekomunikacionih sistema, predloženi su i drugi, nešto detaljniji modeli. 1. Koder izvora – sastavni dio predajnika koji treba da pretvori poruku u odgovarajući kod (niz simbola iz konačnog skupa različitih simbola) 2. Kanalni koder – pretvara koderom izvora kodirnu poruku u signal 3. Kanalni dekoder – primljeni signal pretvara u kodiranu poruku 4. Dekoder izvora – poruku predstavljenu odgovarajućim kodom prevodi u odgovarajući oblik pogodan za korisnika Cilj je da se projektuje sistem tako da primljena poruka odgovara poslatoj sa maksimalnom vjerodostojnošću.

PRIRODA PORUKA I KARAKTERISTIKE PRENOŠENIH SIGNALA Osnovni zadatak telekomunikacionog sistema je da se poruka u vidu signala prenese na udaljeno mjesto, a da pri tome primljeni signal što je moguće više odgovara poslatom signalu. Stoga je neophodno detaljno proučiti i analizirati sve osobine signala kojima se prenose poruke izmedju korisnika. § PRIRODA PORUKA - Sve poruke koje šalje neki izvor poruka možemo svrstati u dvije grupe: 1. diskretne poruke – one koje se pojavljuju kao nizovi odvojenih elemenata koji imaju konačan broj različitih vrijednosti. Ti elementi nazivaju se simbolima i pripadaju jednom konačnom skupu zvanom alfabet. Primjer ovakvih poruka su poruke koje se prenose u telegrafiji i računarskim komunikacijama. Slika: Signal koji odgovara diskretnoj poruci.

2. kontinualne poruke - javljaju se kao neke funkcije vremena koje imaju sve moguće vrijednosti koje se nalaze između nekih određenih granica. Takve su, npr. poruke koje se prenose u telefoniji. Slika: Signal koji odgovara kontinualnoj poruci U zavisnosti od tipa poruke imamo i dvije vrste signala: 1. analogne 2. digitalne a time i dvije vrste sistema za prenos: 1. analogni telekomunikacioni sistemi 2. digitalni telekomunikacioni sistemi

§ PRIRODA SIGNALA Pored navedene klasifikacije signala uslovljene tipom poruke, postoje i: 1. deterministički signali - proizvoljni signali koji se mogu potpuno opisati nekim analitičkim izrazom. Slika: Primjer determinističkog signala

2. slučajni signali – nije moguće definisati anlitički izraz kojim se opisuje. Takav signal možemo da predstavimo nekom vremenskom funkcijom, ali vrijednosti te funkcije su poznate u prošlosti, a nepoznate u budućnosti. • Pošto su u potpunosti određeni i opisani u svakom trenutku, deterministički signali ne nose nikakvu informaciju. Stoga je jasno da se telekomunikacionim sistemima prenose slučajni signali. • Deterministički signali se koriste kao pomoćni signali, neophodni u postupku obrade signala.

ANALIZA DETERMINISTIČKIH SIGNALA Deterministički signali se mogu podijeliti u dvije grupe: 1. Periodični 2. Aperiodični U ispitivanju osobina determinističkih signala koristi se harmonijska analiza. Harmonijska analiza ima za cilj da prikaže signal u domenu učestanosti, a zasniva se na teoriji Fourierovih redova i Fourierove transformacije. Za periodične signale se primjenjuje analiza pomoću Fourierovih redova, a za aperiodične Fourierova transformacija.

HARMONIJSKA ANALIZA PERIODIČNIH SIGNALA Periodičan je svako signal koji zadovoljava uslov: f(t)=f(t+T) T je perioda signala f(t). Slika: Primjeri periodičnih funkcija

Da bi se periodična funkcija razvila u Fourier-ov red mora biti zadovoljen Dirichletov uslov: Fourierov red je tada oblika: 1. T=2 / 0 je perioda, 0=2 f 0 osnovna kružna učestanost, ani bn Fourierovi koeficijenti.

2. 3. Kako je: To je:

Veza između amplituda harmonika Cn i modula kompleksne veličine Fn data je izrazom: Fourierova transformacija Fn naziva se još i kompleksnim spektrom funkcije f(t). Moduo Fn se naziva amplitudski, a njen argument n fazni spektar funkcije f(t). • Fazorska predstava:

Uobičajeno je da se vrši grafičko prikazivanje signala u domenu frekvencija, i to posebno amplitudskog i faznog spektra. Postoje dva načina: 1. i za pozitivne i negativne učestanosti 2. samo za pozitivne učestanosti, s tim što je amplituda odgovarajućeg harmonika 2 puta veća. Kompleksni spektri periodičnih signala su diskretni, pa se nazivaju diskretnim ili linijskim spektrima. Slika: Dvostrani amplitudski spektar Slika: Jednostrani amplitudski spektar

• Bitna karakteristična veličina signala f(t) je njegova efektivna vrijednost. Poslednja relacija je poznata kao Paservalova teorema za periodične signale. • Kvadrat efektivne vrijednosti brojno je jednak snazi koju taj signal razvija na otporniku od jednog oma. • Ukupna srednja snaga složenog signala jednaka je sumi snaga svih njegovih harmonika.

KORELACIJA PERIODIČNIH SIGNALA U opštoj harmonijskoj analizi periodičnih signala poseban značaj ima pojam korelacije koja povezuje dva analitička izraza za periodične signale. Neka su signali opisani funkcijama f 1(t) i f 2(t) koje imaju istu periodu T=2π/ω0. Fourierove transformacije ovih funkcija su: Njihova korelacija se definiše na sledeći način: τ predstavlja kontinualan pomjeraj u vremenu u intervalu od - do , pri čemu τ ne zavisi od t.

Traženje korelacije dva signala podrazumijeva tri koraka: 1. Pomjeranje jedne funkcije u vremenu za τ 2. Množenje te pomjerene funkcije drugom funkcijom iste periode 3. Izračunavanje srednje vrijednosti tog proizvoda u toku jedne periode Funkcija R 12(τ) je periodična funkcija po τ, sa periodom T=2π/ω0 i njen kompleksni spektar je proizvod Fn 1*Fn 2. Stoga važi: R 12(τ) i Fn 1*Fn 2 obrazuju Fourierov transformacioni par. Ovaj stav se naziva teoremom o korelaciji periodičnih funkcija. Uvedena funkcija R 12(τ) se naziva korelaciona funkcija.

Posmatrajmo specijalan slučaj korelacije dva identična signala f 1(t)=f 2(t)=f(t). Ovako definisana korelaciona funkcija se naziva autokorelaciona funkcija. Njena vrijednost za τ=0 je: Ovo je analitički izraz za Paservalovu teoremu. Kako je |Fn|2 snaga n-tog harmonika na jediničnom otporniku, veličina se naziva spektar snage signala f(t).

Shodno navedenim izrazima, dobija se: Odnosno: Autokorelaciona funkcija R 11(τ) i spektar snage S 11(nω0) funkcije f(t) čine Fourierov transformacioni par. Ovaj stav se naziva teorema o autokorelaciji periodičnih funkcija.

Neke osobine autokorelacione funkcije R 11(τ): - Iz izraza za spektar snage S 11(nω0) vidimo da on ne zavisi od početnog faznog stava pojedinih harmonika. Pošto je S 11(nω0) istovremeno i kompleksni spektar autokorelacione funkcije R 11(τ), to znači da sve periodične funkcije koje imaju iste amplitude harmonika a međusobno se razlikuju po početnim faznim stavovima, imaju istu autokorelacionu funkciju. - R 11(τ) je periodična funkcija čija je perioda jednaka periodi funkcije f(t), tj. T=2π/ω0. - R 11(τ) je parna funkcija, što se lako dokazuje:

Funkcija R 12(τ) nazvana je korelacionom funkcijom, a nekada se, da bi se istaklo da je riječ o dvije periodične funkcije istih perioda, za razliku od autokorelacione funkcije, ona naziva i unakrsnom (kroskorelacionom) funkcijom. Njen kompleksni spektar: se naziva spektrom unakrsne snage. Neke osobine kroskorelacione funkcije R 12(τ): - Za kroskorelacionu funkciju bitan je redosled indeksa, tj. važi: Kao i: - U opštem slučaju S 12(nω0) je kompleksna veličina za razliku od S 11(nω0) koja je uvijek realna veličina.

KONVOLUCIJA PERIODIČNIH SIGNALA Ako imamo dva periodična signala f 1(t) i f 2(t) iste periode T=2π/ω0, tada se integral: Zove konvolucija signala f 1(t) i f 2(t). Lako se pokazuje da važi: Teorema o konvoluciji periodičnih funkcija: Konvolucija ρ12(τ) funkcija f 1(t) i f 2(t) i proizvod njihovih kompleksnih spektara Fn 1 Fn 2 obrazuju Fourierov transformacioni par.

Slično korelaciji i kod konvolucije imamo tri operacije: 1. Pomjeranje funkcije f 2(t) u vremenu za i njeno preslikavanje simetrično u odnosu na ordinatnu osu 2. Množenje tako dobijene funkcije sa periodičnom funkcijom f 1(t) 3. Izračunavanje srednje vrijednosti tog proizvoda u toku jedne periode Osobine konvolucije: - Konvolucija periodičnih funkcija je periodična funkcija čija je perioda jednaka periodi signala f 1(t) i f 2(t), a njen kompleksni spektar je jednak proizvodu Fn 1 Fn 2. - Važi relacija:

HARMONIJSKA ANALIZA APERIODIČNIH SIGNALA • Aperiodični deterministički signali mogu se opisati vremenskim aperiodičnim funkcijama, za koje ne važi f(t)=f(t+T). • Periodična funkcija izražena Fourierovim redom može da predstavlja aperiodičnu funkciju ako njena prioda teži beskonačnosti. • Periodična funkcija f(t), periode T=2 / 0, u slučaju kada T , tada 0 d , n 0 i Uz navedene uslove dobija se: Ovaj izraz predstavlja Fourierov integral za aperiodičnu funkciju. Osnovni uslov za njegovu egzistenciju je:

Analogno predstavljanju periodične funkcije u obliku Fourierovog reda, možemo dobiti Fourierov transformacioni par za aperiodičnu funkciju f(t). F(jω) je Fourierova transformacija aperiodične funkcije f(t), i ona je kontinualna funkcija po učestanosti ω. Funkcija f(t), je inverzna Fourierova transformacija funkcije F(jω). |F(jω)| - spektralna gustina amplituda aperiodičnog signala f(t), parna funkcija ( ) - spektralna gustina faza aperiodičnog signala f(t), neparna funkcija. Za razliku od periodičnih funkcija, ove dvije veličine su kontinualne.

KORELACIJA APERIODIČNIH SIGNALA Za dvije aperiodične funkcije f 1(t) i f 2(t) izraz: se naziva korelacionom funkcijom aperiodičnih signala f 1(t) i f 2(t). Traženje korelacije dva signala podrazumijeva tri koraka: 1. Pomjeranje jedne funkcije u vremenu za τ 2. Množenje te pomjerene funkcije drugom funkcijom 3. Izračunavanje integrala tog proizvoda Pretpostavimo da funkcije f 1(t) i f 2(t) imaju Fourierove transformacije F 1(jω) i F 2(jω). Prema definiciji korelacije dobija se:

Teorema o korelaciji aperiodičnih funkcija: Korelaciona funkcija R 12(τ) i proizvod F 1*(j )F 2(j ) predstavljaju Fourierov transformacioni par. • Specijalni slučaj korelacije kada je f 1(t)=f 2(t)=f(t): Ovaj izraz se naziva autokorelacionom funkcijom aperiodične funkcije f(t). Kako je |F(jω)|2 = S 11(ω) spektralna gustina energije aperiodičnog signala f(t), to je: Teorema o autokorelaciji aperiodičnih funkcija: Spektralna gustina energije aperiodičnog signala f(t) i autokorelaciona funkcija R 11(τ) obrazuju Fourierov transformacioni par.

• za τ=0: Ovo je Paservalova teorema za aperiodične signale. • autokorelaciona funkcija je parna R 11(τ)= R 11(-τ) • da bi se istakla razliku između autokorelacione funkcije i korelacione funkcije, ona se često naziva i unakrsna korelaciona funkcija, a veličina: spektralna gustina unakrsne energije, ili spektar funkcije R 12(τ). Važe relacije:

KONVOLUCIJA APERIODIČNIH SIGNALA Izraz čiji je oblik: naziva se konvolucijom aperiodičnih funkcija f 1(t) i f 2(t) ili konvolucionim integralom. U njemu se obavljaju tri operacije: 1. jedna od funkcija se pomjera se u vremenu za τ i uzima umjesto njen lik simetričan u odnosu na ordinatnu osu 2. tako dobijena funkcija množi se drugom funkcijom 3. računa se integral u neograničenom intervalu Teorema o konvoluciji aperiodičnih funkcija: Konvolucija dvije aperiodične funkcije ρ12(τ) i proizvod F 1(jω) F 2(jω) obrazuju Fourierov transformacioni par.

ANALIZA SLUČAJNIH SIGNALA Slučajne signale nije moguće opisati preciznim analitičkim izrazom u vremenu, pa nije moguće koristiti Fourierovu analizu. Opisivanje ovakvih signala se vrši aparatom statističke teorije. Da bi izveli zaključke vezane za slučajne signale, posmatrajmo samo jedan dio (-T, T). Ovakva funkcija je aperiodična, ograničena, pa je Fourierova transformacija:

Srednju snagu slučajnog signala definišemo na sledeći način: - za ograničenu funkciju f. T(t) snaga je definisana kao: - kako je f(t)=f. T(t) kada T , to je: Shodno prethodnim razmatranjima ako označimo veličinu: Spektralna gustina srednje snage slučajnog signala f(t)

• Autokorelaciona funkcija slučajnog signala Za granični slučaj: Uz uvedenu oznaku za spektralnu gustinu srednje snage slučajnog signala f(t), važi (Viner-Hinčinova teorema): Autokorelaciona funkcija slučajnog signala i njena spektralna gustina srednje snage predstavljaju Fourierov transformacioni par.

ULOGA I ZNAČAJ HARMONIJSKE ANALIZE DETERMINISTIČKIH SIGNALA • Osnovna uloga analize je da se vremenska funkcija, koja opisuje signal, predstavi u domenu učestanosti podesno izabranim parametrima kako bi se omogućilo proučavanje deformacija signala koje nastaju u njihovom prenosu telekomunikacionim sistemima. Te deformacije se mogu odrediti kada se zna u kakvom odnosu se nalaze izlazni i ulazni signal (pobuda i odziv mreže na tu pobudu). Primjena harmonijske analize na relativno jednostavan način omogućava pronalaženja tih odnosa.

Veliki broj sklopova telekomunikacionih sistema su po svom opštem karakteru linearne mreže sa konstantnim parametrima. • konstantni parametri - mreže koje imaju osobinu: ako pobudnom signalu x(t) odgovara izlazni signal y(t), onda pobudnom signalu x(t+τ) odgovara izlazni signal y(t+τ). (Ove mreže se nazivaju i vremenski invarijantne mreže). • linearne mreže - mreže koje imaju osobinu da, ako pobudni signal xi(t) daje izlazni signal yi(t), onda ulazni signal oblika daje izlazni signal: Osnovna osobina ovakvih mreža je da se u njima ne generišu novi harmonici, tj. sve promjene se dešavaju na amplitudama i fazama signala, ali ne i na učestanostima.

• Prenosna (transfer) funkcija linearnih kola sa konstantnim parametrima Članom: • modeluju se promjene amplitude signala • modeluju se promjene faze signala Nalaženje odziva sistema može da se izvrši u: 1. 2. domenu učestanosti domenu vremena U oba slučaja se primjenjuje harmonijska analiza.

1. NALAŽENJE ODZIVA SISTEMA U DOMENU UČESTANOSTI • ako je ulazni signal x(t) neka periodična funkcija složenog talasnog oblika, ona se Fourierovom analizom može predstaviti Fourierovim redom kao suma sinusoida. Pošto za ovakve mreže važi zakon superpozicije, to se uticaj mreže na svaku sinusoidalnu komponentu može zasebno posmatrati. Funkcija prenosa H(jω), za sve odgovarajuće vrijednosti ω, omogućava da se pronađu spektralne komponente izlaznog signala.

• neka je x (t) neki aperiodični pobudni signal, a Fourierova transformacija ove funkcije X(jω). Tada se signal x(t) može izraziti inverznom transformacijom kompleksnog spektra X(jω): Izlazni signal u domenu učestanosti je: Analitički izraz u domenu vremena je:

Zaključak: ako je poznat odziv linearne mreže u ustaljenom stanju čitavom skupu sinusoidalnih pobuda svih mogućih učestanosti, tada se odziv te iste mreže na bilo koji drugi pobudni signal može jednoznačno odrediti. Za obje klase determinističkih signala, periodične i aperiodične, zahvaljujući harmonijskoj analizi, proučavanje njihovog prenosa svodi se u suštini na poznavanje odziva mreže sinusoidalnoj pobudi, odnosno poznavanje njenih karakteristika u stacionarnom režimu. Kod nalaženja odziva sistema u domenu učestanosti imamo tri koraka: 1. Odredimo sliku pobude u domenu učestanosti Xn ili X(jω) 2. Odredimo proizvod funkcije prenosa i pobude H(jω)Xn ili H(jω)X(jω) čime se dobija slika odziva u domenu učestanosti Yn ili Y(jω) 3. Inverznom Fourierovom transformacijom određuje se analitički oblik izlaza u domenu vremena

2. NALAŽENJE ODZIVA SISTEMA U DOMENU VREMENA Transfer funkcija H(jω) može da se definiše kao odziv sistema na pobudu u vidu Dirakovog impulsa.

Zaključak: odziv linearne mreže h(t) impulsnoj aperiodičnoj pobudi u vidu delta funkcije i funkcija prenosa mreže H(jω) obrazuju Fourierov transformacioni par. h(t) se naziva impulsni odziv sistema. Ukoliko je on poznat može se naći odziv mreže y(t) na bilo koju pobudu x(t). Izlazni signal je konvolucija ulaznog signala i impulsnog odziva sistema.

OSNOVNE KARAKTERISTIKE SIGNALA KOJI PREDSTAVLJAJU REALNE PORUKE 1. SIGNAL GOVORA - Opseg učestanosti od 300 Hz do 3400 Hz usvojen je od strane CCITT-a za standardnu širinu kanala za prenos govora. - Opsezi (300 -2400)Hz i (300 -2700)Hz primjenjuju se u vezama redukovanog kvalieta. 2. SIGNAL muzike -Propisana potrebna širina opsega za prenos muzičkog signala je 30 -15000 Hz. -Postoje sistemi čija je širina opsega 50 Hz-10 000 Hz, ali je u njima kvalitet prenosa nešto niži 3. SIGNALI PODATAKA I TELEGRAFSKI SIGNALI -Spektar je povezan sa brzinom signaliziranja (više u Osnovama digitalnih komunikacija). 4. TELEVIZIJSKI SIGNAL (SIGNAL POKRETNE SLIKE) - Opseg koji zauzima video signal je od 10 Hz do 5 MHz

PRENOS SIGNALA KROZ LINEARNE SISTEME - Telekomunikacioni sistemi su sastavljeni od sklopova od kojih svaki za sebe predstavlja funkcionalnu cjelinu. - Za svaki sklop mogu se odrediti dva kraja koja predstavljaju ulaz i dva koja predstavljaju izlaz iz sklopa (generalno se predstavlja četvorokrajnikom ili četvoropolom). - Niz ovakvih sklopova, čije su funkcije različite, a koji su vezani kaskadno, obrazuju sistem za prenos. Cijeli sistem za prenos može da se ekvivalentira jednim četvoropolom.

- Transfer funkcija matematički modeluje promjene (amplitude i faze) koje nastaju pri prenosu signala kroz sistem. - Linerana kola ne izazivaju promjene učestanosti. - Četvoropol, koji predstavlja sistem za prenos, karakteriše funkcija prenosa H(jω). - Ako je ulazni signal x(t) i njegova Fourierova transformacija X(jω), onda je Fourierova transformacija izlaznog signala y(t): Kako je funkcija prenosa kompleksna veličina, može se napisati u obliku: A(ω) modeluje promjene amplitude, a (ω) promjene faze ulaznog signala. Slično, ako predstavimo i spektre ulaznog i izlaznog signala na sličan način: Dobija se da je:

- Modulom A(ω) funkcija prenosa modifikuje spektralnu gustinu amplituda prenošenog signala, a svojim argumentcm χ(ω) modifikuje fazne stavove pojedinih njegovih komponenata. Stoga se A(ω) naziva amplitudska, a χ(ω) fazna karakteristika linearnog sistema. - Za kaskadnu vezu više četvoropola, funkcija prenosa cijelog sistema će biti: Amplitudska karakteristika A(ω) cijelog sistema jednaka je proizvodu amplitudskih karakteristika pojedinih elemenata, dok je fazna karakteristika χ(ω) cijelog sistema jednaka sumi faznih karakteristika pojedinih elemenata.

IDEALNI SISTEMI PRENOSA - Idealni sistem prenosa - izlazni signal y(t) je identičan ulaznom signalu x(t). - Definicija je proširena, pa se pod idealnim sistemom podrazumijeva onaj sistem čiji je odziv oblika: y(t)=Ax(t-t 0) - Sistem je unio konstantno kašnjenje i promijenio je amplitudu u nekom konstantnom iznosu, a preneseni signal nije pretrpio nikakvu deformaciju koja bi učinila da takav izlazni signal nije vjeran ulaznom signalu.

- Funkcija prenosa H(jω) idealnog sistema za prenos: θ(ω)= –χ(ω) se zove karakteristika faznog kašnjenja. Prenos će biti idealan kroz linearni sistem koji ima amplitudsku karakteristiku koja ne zavisi od učestanosti: A(ω)=A=const. i faznu karakteristiku koja je linerana funkcija učestanosti: χ(ω)= – ωt 0

Navedeni uslov za idealan sistem prenosa može da se proširi, tako da se idealnim smatra sistem čija je funkcija prenosa oblika: Za A>1 sistem unosi pojačanje, a za A<1 slabljenje. - Pri traženju uslova za idealan prenos nismo postavili nikakva ograničenja u pogledu širine spektra prenošenog signala x(t). U tom slučaju, za prenos signala bez izobličenja, izvedeni uslovi moraju biti zadovoljeni u cijelom opsegu učestanosti (- < < ). - Sistemi za prenos se realizuju kao sistemi ograničenog opsega. Širina tog spektra se naziva propusnim opsegom sistema za prenos ili širinom kanala. - U takvim uslovima cijeli sistem se ponaša kao neki filtar, tj. komponente signala određenih učestanosti koje se nalaze u njegovom propusnom opsegu propušta sa malim slabljenjem (ili ih u nekim slučajevima i pojačava), dok za ostale komponente van njegovog propusnog opsega unosi veliko slabljenje.

- Idealan sistem za prenos u propusnom opsegu ima karakteristike idealnog sistema a sve komponente van tog opsega beskonačno slabi. - Sisteme za prenos dijelimo u tri grupe: 1. propusnike opsega učestanosti (opseg je od ωN do ωV) 2. propusnike niskih učestanosti (opseg je od ωN=0 do ωV) 3. propusnike visokih učestanosti (opseg je od ωN do ωV ) Slika: Amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja idealnog sistema za prenos. A - propusnik opsega; B - propusnik niskih učestanosti; C - propusnik visokih učestanosti

Fukcija prenosa idealnog filtra je: Prelaz sa propusnog na nepropusni opseg je trenutan (amplitudska karakteristika sa A na 0), pa se javlja problem konstrukcije ovakvog sistema. ü Zaključak: Linearni sistemi koji bi imali idealnu funkciju prenosa (kao na slici) ne mogu se fizički realizovati. - Ne mogu se postići istovremeno oba uslova za idealan prenos, pa se zbog toga javljaju izvjesna izobličenja. - Iako se mogu samo teorijski analizirati, idealni sistemi prenosa imaju značaj za analizu realnih sistema. Ako se napravi sistem čija amplitudska karakteristika približno zadovoljava uslov za prenos bez izobličenja, dodavanjem nekog određenog sklopa moći će se korigovati fazna karakteristika da ukupno fazno kašnjenje sistema zadovolji uslov za prenos bez izobličenja (važi i obrnuto).

LINEARNA IZOBLIČENJA Signal koji se prenosi sistemom prenosa trpi izobličenja zbog: - neidealne funkcije prenosa - nepoklapanja opsega signala i propusnog opsega sistema - kombinacije prethodna dva slučaja Sistem koji ima idealnu funkciju prenosa i čiji se propusni opseg poklapa sa opsegom signala na ulazu nije moguće realizovati (ne mogu se postići istovremeno oba uslova za idealan prenos). - Odstupanja od uslova idealnog prenosa uvijek dovode do pojave izobličenja.

LINEARNA IZOBLIČENJA - Razlikujemo tri vrste linearnih izobličenja: 1. amplitudska izobličenja – nastaju u linearnim sistemima u kojima amplitudska karakteristika odstupa od idealne (zavisi od učestanosti), dok karakteristika faznog kašnjenja ne odstupa od uslova za prenos bez izobličenja: 2. fazna izobličenja - karakteristika faznog kašnjenja odstupa od idealne, dok amplitudska karakteristika zadovoljava uslov za prenos bez izobličenja: 3. kombinovana izobličenja – i amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kašnjenja odstupaju od idealne:

ANALIZA AMPLITUDSKIH IZOBLIČENJA METODOM UPARENIH ODJEKA - Posmatrajmo sistem propusnik niskih učestanosti. - Pošto želimo da proučimo samo amplitudska izobličenja, neka amplitudska karakteristika odstupa od idealne, tj. zavisi od učestanosti a karakteristika faznog kašnjenja je linearna. - Neka je: - Amplitudska karakterisitika je uvijek parna.

- Pretpostavimo da ulazni signal ima ograničen spektar u opsegu učestanosti od ω=0 do ω=ωN (onoliki koliki je i propusni opseg sistema). Tada će izobličenja izlaznog signala biti isključivo uzrokovana neidealnošću amplitudske karakteristike. - Kompleksni spektar izlaznog signala je: - pa se dobija izlazni signal y(t):

- Izraz za izlazni signal se sastoji iz tri člana: 1. poslati signal koji u vremenu kasni za t 0 2. drugi i treći član predstavljaju nove signale koji su se pojavili na izlazu iz sistema zbog amplitudskog izobličenja. Njihov talasni oblik je sličan originalnom, samo je amplituda pomnožena koeficijentom (1/2)ΔA, a fazno su pomjereni za t 0 -τ/2 i t 0+τ/2. Javljaju se u paru, lijevo i desno oko prenošenog signala x(t-t 0), pa se nazivaju upareni odjeci. Slika: Pojava uparenih odjeka nastalih usled amplitudskih izobličenja prenošenog signala x(t) u sistemu sa navedenom funkcijom prenosa

Pretpostavili smo jedan specifičan oblik amplitudske karakteristike A(ω). Kako je amplitudska karakteristika parna funkcija, bilo koji drugačiji oblik zavisnosti A od učestanosti može da se razvije u Fourierov red u kome će se javiti kosinusni članovi. Kako je riječ o linearnim sistemima, važiće princip superpozicije, tj. svaki kosinus iz razvoja će izazvati pojavu po dva uparena odjeka lijevo i desno od signala x(t-t 0).

ANALIZA FAZNIH IZOBLIČENJA METODOM UPARENIH ODJEKA - Posmatrajmo sistem propusnik niskih učestanosti čija amplitudska karakteristika ne zavisi od učestanosti, a karakteristika faznog kašnjenja nije linearna (kao na slici). - Pošto je θ(ω) uvijek neparna funkcija od ω, to se θ(ω) može razviti u Fourierov red u kome će biti samo sinusni članovi. - Neka je:

- Uz pretpostavku da se spektar ulaznog signala poklapa sa širinom propusnog opsega sistema (izobličenja nastaju samo usled nelinearnosti fazne karakteristike), spektar izlaznog signala će biti: - Iz teorije Besselovih funkcija važi: i Jn(m) je Besselova funkcija prve vrste reda n od argumenta m. Za mali argument m<<1 Besselova funkcija se može zapisati u obliku:

Konačno se dobija, uz pretpostavku da je Δθ<<1 da je spektar izlaznog signala: Inverznom Fourierovom transformacijom se dolazi do izlaznog signala y(t): Koristeći aproksimacije za malo Δθ:

Uz učinjene pretpostavke dobija se odziv koji ima tri komponente: 1. Komponenta x(t-t 0) koja bi postojala u slučaju idealnog sistema prenosa 2. Dva člana – upareni odjeci, lijevo i desno od glavne komponente, pri čemu desni odjek ima fazni pomeraj od π. Slika: Pojava uparenih odjeka nastalih usled faznih izobličenja prenošenog signala x(t) u sistemu za navedenu funkciju prenosa - Ovaj slučaj se može generalizovati za proizvoljnu funkciju faznog kašnjenja. Kako je ona uvijek neparna, može da se razvije u Fourierov red koji sadrži samo sinusne članove, i svaki od njih će dati par odjeka. Njihovom superpozicijom se dobija talasni oblik izobličenog izlaznog signala y(t).

UTICAJ ŠIRINE PROPUSNOG OPSEGA IDEALNOG SISTEMA ZA PRENOS NA TALASNI OBLIK PRENOŠENOG SIGNALA - Osnovna pretpostavka u razmatranjima idealnih sistema za prenos bila je da signal ima ograničen spektar i da se granice učestanosti u kome se on nalazi poklapaju sa graničnim učestanostima sistema za prenos. - Razmatrajmo slučaj kada se signal prenosi kroz idealan linearni sistem u slučaju da ovaj uslov nije ispunjen (propusni opseg sistema je uži od širine spektra signala). 1. PROPUSNIK NISKIH UČESTANOSTI - Posmatrajmo idealan sistem za prenos koji propušta samo komponente niskih učestanosti. Njegova funkcija prenosa je data izrazom:

Neka na ulaz sistema dolazi pravougaoni impuls:

Integral funkcije sinx/x ne može da se riješi u zatvorenoj formi. Označimo sinus integral od x funkciju definisanu izrazom:

Sada možemo zapisati: Za tri različite vrijednosti granične učestanosti f. N =ωN/2π (f. N<<1/τ, f. N=1/τ i f. N>>1/τ), talasni oblici izlaznog signala prikazani su na slici. Slika: Uticaj ograničenog propusnog opsega sistema propusnika niskih učestanosti na prenošeni pravougaoni impuls x(t) i njegov odziv y(t) za razne granične učestanosti

Na osnovu dobijenog rezultata sa slike mogu se izvesti neki zaključci: - U sva tri slučaja odziv kasni u vremenu za veličinu t 0 određenu faznim kasnjenjem koje unosi sistem za prenos - U slučaju kada je širina propusnog opsega znatno manja od recipročne vrijednosti trajanja impulsa (f. N<<1/τ), dobijeni odziv veoma malo liči na poslati impuls (izobličenje je vrlo veliko). - U slučaju kada je širina propusnog opsega jednaka recipročnoj vrijednosti trajanja impulsa (f. N=1/τ), dobijeni odziv omogućava da se prepozna da je bio poslat impuls i, relativno uzevši, liči na njega. Njegov talasni oblik je daleko od toga da bude pravougaon. - U slučaju kada je širina propusnog opsega znatno veća od recipročne vrijednosti trajanja impulsa (f. N>>1/τ), dobijeni odziv znatno više liči na poslati pravougaoni impuls. - Trenutak u kome se pojavljuje ulazni signal je t=τ/2, dok je trenutak u kome počinje da se javlja izlazni signal t . Ovakav rezultat ukazuje na neku nepravilnost. Ne može da postoji odziv na izlazu a da sistem nije bio pobuđen. ü Zaključak: Idealan sistem propusnik niskih učestanosti sa proizvoljno odabranom amplitudskom i faznom karakteristikom ne može se realizovati.

Korisni linkovi • http: //www. jhu. edu/~signals/index. html • http: //www. jhu. edu/%7 Esignals/ctftprops/index. CTFTprops. htm •