Ortogonal Tmleyen V Rn in bir alt uzay

Ortogonal Tümleyen V, Rn ‘in bir alt uzayı olsun. V’ye dik tüm vektörlerin oluşturduğu uzay V’nin ortoganal tümleyenidir ve V┴ ile gösterilir. Dört temel uzaya bir daha bakalım…… 5. ders sütun uzayının boyutu+sıfır uzayının boyutu=sütun sayısı dim(R(A))+dim(N(A))=n satır uzayının boyutu+ sol sıfır uzayının boyutu=satır sayısı dim(R(AT))+dim(N(AT))=m

Hatırlatma Dört temel alt uzay N(A) ve R(AT), Rn ‘in alt uzayları N(AT) ve R(A), Rm ‘in alt uzayları N(A) R(AT) (Rn de); N(AT) R(A) (Rn de);

Hatırlatma ve ise olduğunu gösteriniz

Boyutlara bir daha dikkat edelim…. . dim(R(AT))+dim(N(A))=n r+(n-r)=n N(A) R(AT) (Rn de) yeni öğrendiklerimize göre …. . N(A) = (R(AT))┴

Benzer şekilde…. . dim(R(A))+dim(N(AT))=m r+(m-r)=m N(AT) R(A) (Rm de) yeni öğrendiklerimize göre …. . N(AT) = (R(A))┴

Hatırlatma Lineer cebrin temel teoremi-kısım 1 Amxn A’nın sütun uzayı= R(A); boyutu r A’nın sıfır uzayı=N(A); boyutu n-r A’nın satır uzayı=R(AT) ; boyutu r A’nın sol sıfır uzayı=N(AT); boyutu m-r

Sonuç Lineer cebrin temel teoremi-kısım 2 Amxn Sıfır uzayı Rn’de satır uzayının ortogonal tümleyenidir. Sol sıfır uzayı Rm’de sütun uzayının ortogonal tümleyenidir.

Ax=b’nin çözümünün varlığı için yeni bir koşul…. Ax=b denklem takımının çözümü vardır ATy=0 iken b. Ty=0 sağlanır Bunu bilmenin faydası ne?

Her ortogonal altuzay ortogonal tümleyen midir? V ve W hangi uzayın alt uzayları? R 3 W V V ve W ortogonal tümleyen mi? Hayır V ve ortogonal tümleyen mi? Evet W V

xr x Axr=Ax x Ax Ax ı ay Sa xr uz n tu ) Sü R(A tır R( uza AT y ı ) Ax ’e biraz daha dikkatli bakalım… O xn xn ı Axn=0 y a z u r ı ıf (AT ) s ol N Sı fır N( uza A) yı O S Rn Rm

bu durumda ne olacak? Boyuta S, Rn’in bir alt uzayı olsun; b’de Rn’de bir nokta olsun. S’in b’ye en yakın noktası p ise bu noktayı nasıl dikkat!! belirleriz? xn b S p x 2 x 1

İki boyuta geri dönelim… x 1 b=[b 1 b 2] a=[a 1 a 2] θ β Biraz trigonometri …. . α x 2

Son yazılan bağıntıya biraz daha dikkatli bakalım… Amacımız neydi? xn p’yi bulmak b p a x 2 S x 1

p nerede? a vektörünün belirlediği doğru üstünde b’den a’ya olan en kısa mesafe b’den a’ya dik olan doğru ile belirlenir

Önemli bir sonuç Schwartz eşitsizliği