Orgenes del clculo I Newton La obra magna

Orígenes del cálculo

I. Newton La obra magna obra de Newton: Los Principia, están considerados como una de la obras científicas más importante de todos los tiempos y una hazaña intelectual incomparable por sus logros y sus consecuencias. En dicha obra Newton establece los fundamentos de la mecánica y enuncia las tres célebres leyes del movimiento, así como la ley de la gravitación universal. En los dos primeros libros, se estudia el movimiento de los cuerpos en el vacío y en un medio resistente. Newton deduce matemáticamente las tres leyes que Kepler había obtenido empíricamente.

I. Newton desarrolló una serie de algoritmos y redujo muchos problemas como determinación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y supeficies, curvaturas longitudes da arcos, centros de gravedad a dos problemas fundamentalesque pueden formularse tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos. Introdujo una a técnica básica para integrar ( para él el cálculo de antiderivadas) funciones algebraicas y funciones trascendentes que consistía en representar las funciones en serie e integrar término a término. Newton fue capaz de dar desarrollos en serie de las funciones trigonométricas.

El otro actor

Leibniz A los quince años entró en la Universidad de su ciudad natal donde estudió una gran variedad de materias incluyendo derecho, teología, filosofía y matemáticas. Se doctoró a la edad de 21 años en la Universidad de Altdorf, en Nuremberg, donde le fue ofrecido un puesto de profesor que él rechazó. A lo largo de su vida, Leibniz realizó múltiples actividades. Como abogado y diplomático trabajó para el Príncipe elector arzobispo de Maguncia y, desde 1676 hasta su muerte, para los Duque de Brunswick -Luneburgo (conocidos como príncipes electores de Hanover desde 1692), lo que le llevó a viajar por gran parte de Europa. Inventó una máquina de calcular, la primera máquina de este tipo capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas.

G. Leibniz En 1672, estando en París en misión diplomática, Leibniz se dedicó intensamente al estudio de la matemática superior teniendo como guía al matemático y físico Christian Huygens (1629 - 1695). En los años 1673 y 1676 realizó, también en misión diplomática, dos viajes a Londres donde tuvo acceso al manuscrito de Newton “De Analysi”, circunstancia que se usó para acusar, hoy sabemos que sin motivo alguno, a Leibniz de plagio cuando se produjo la agria controversia sobre la prioridad en el descubrimiento del Cálculo. Los progresos matemáticos realizados por Leibniz en estos cuatro años fueron extraordinarios. Leibniz fue un pensador profundo. Como filósofo se propuso la creación de un álgebra del pensamiento humano, algo así como un lenguaje simbólico universal para escribir los razonamientos con símbolos y fórmulas, cuyas reglas de combinación permitieran reducir todo discurso racional a cálculos rutinarios.

Cociente diferencial

Cociente diferencial

Calculus summatorius La suma de las ordenadas es una aproximación de la cuadratura de la curva (del área bajo la curva) la diferencia entre las ordenadas es aproximadamente igual a la pendiente de las correspondientes tangentes. Cuanto más pequeña sea la unidad tanto mejor serán estas aproximaciones. Leibniz razonaba que si la unidad pudiera ser tomada infinitamente pequeña estas aproximaciones se harían exactas.

Calculus summatorius La cuadratura sería igual a la suma de las ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de dos ordenadas sucesivas. Como las operaciones de tomar diferencias y sumar son recíprocas entre sí , dedujo Leibniz que el cálculo de cuadraturas y de tangentes también eran operaciones inversa una de la otra.

Leibniz Para la integración de una función también Leibniz usó el método de descomposición en fracciones simples. En la correspondencia con Jean Bernouilli, aplicaron dicho método a la integral de 1/ax^2+bx+c. Dicha ecuación puede ser irreducible (si no tiene raíces reales), pero él considera también factores correspondiente a cada raíz compleja, para los que utiliza el hecho conocido de que 1/1+x es la “antiderivada” del logaritmo. Aparecen así logaritmos de números complejos. La confusión existente acerca de los números complejos en seguida suscitó una viva polémica acerca de la naturaleza de los logaritmos de los números negativos y de los propios números complejos. En varios artículos, afirma que los logaritmos de números negativos son inexistentes (el decía imaginarios).

Leibniz El argumento de Leibniz era que los logaritmos de positivos eran may 0 r que uno y los logaritmos negativos están entre 0 y 1, con lo que no pueden existir logaritmos para los números negativos. Si además -1 tuviese logaritmo, el logaritmo de raíz de -1 tendría que valer la mitad, pero era evidente de raíz de -1 no puede tener logaritmo. Que Leibniz argumentase de esa manera después de haber introducido los logaritmos de números complejos en integración resulta inexplicable.

G. Leibniz

G. Leibniz

G. Leibniz demostró un gran interés en desarrollar una notación matemática apropiada para su cálculo; de hecho, su notación, muy superior a la de Newton, es la que usamos actualmente. Leibniz fundó la Academia de Ciencias de Berlín en 1700 y fue su primer presidente; Fue uno de los fundadores de la primera revista científica alemana, el Acta Eruditorum.

Inventores del cálculo Isaac Newton (1642 -1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) .

. Situación de las matemáticas en el siglo XVIII En el siglo XVIII las matemáticas son consideradas una Ciencia de la Naturaleza: Las teorías matemáticas deben reflejar la realidad física, son una herramienta para formular y descubrir las Leyes de la Naturaleza. Elaboraron un tratamiento puramente formal del cálculo infinitesimal. Su habilidad técnica fue insuperable, aunque no fue guiada por un elaborado pensamiento matemático sino por agudas percepciones de carácter físico e intuitivo. Las definiciones matemáticas eran descriptivas; no creaban objetos matemáticos sino que describían algo que se suponía debía imitar una realidad externa. Pese a que los conceptos que se manejan son oscuros e imprecisos fueron capaz de desarrollar algoritmos de cálculo eficaces y de gran poder heurístico

Concepto de número en el siglo XVIII Los números reales estaban asociados con magnitudes y se interpretaban geométricamente. Eran algo dado en la realidad física. El cero y los números negativos eran vistos aún por muchos matemáticos como algo de naturaleza diferente a los números positivos. Descartes había introducido el término “imaginario” para referirse a aquellas soluciones de una ecuación polinómica que solamente están en “nuestra imaginación”. Como era costumbre, llamaba “soluciones falsas a las soluciones negativas. Las “raíces verdaderas” eran las positivas. Con respecto al infinito: La distinción entre un número muy grande y un «número» infinito difícilmente se hacía: si un teorema era cierto para todo n parecía claro que también lo era para infinito. La suma de un número finito de términos difícilmente se distinguía de una integral. Se era consciente de que para precisar un número irracional se deben dar todas sus cifras decimales en su orden. Así, la idea de número irracional lleva consigo asociada la del infinito, y por tanto está pendiente de la elaboración los fundamentos de una teoría matemática del infinito.

Concepto de función en el siglo XVIII El concepto de función fue formulado por J. Bernouilli. La idea de función está entremezclada con las relaciones entre variables, es decir con las ecuaciones. La correspondencia entre variables se interpretaban en términos geométricos. No existía la idea de dominio de una variable. Había que identificar como tales nuevas funciones de una variable así como funciones de dos o más variables; había que extender las técnicas de derivación y de integración a ciertas funciones conocidas El concepto de continuidad era considerado desde un punto de vista filosófico, más como una ley de la naturaleza que como un concepto propiamente matemático. Las ideas sobre el concepto de límite eran confusas debido al uso de los infinitésimos, algo así como variables con límite cero. Ellos no distinguían entre álgebra y análisis. Al no apreciar la necesidad del concepto de límite y, en consecuencia, los problemas que se introducían por el uso de series infinitas, contemplaban el cálculo infinitesimal, de un modo ingenuo, como una extensión del álgebra

Concepto de función en el siglo XVIII La función logaritmo, originada como relación entre los términos de una progresión geométrica y una aritmética, y que fue tratada en el siglo XVII como la serie resultante de la integración de 1/1+x. El estudio de Wallis, Newton, Leibniz y J. Bernouilli mostró la función logaritmo como la inversa de la función exponencial. A medida que Leibniz, y los hermanos Bernouilli abordaban problemas como el movimiento del péndulo, el perfil de una cuerda suspendida en dos puntos fijos, el movimiento a lo largo de trayectorias curvilíneas, no sólo empleaban funciones algebraicas elementales, sino que se llegaban a formas más complicadas.

El Cálculo Diferencial Con todo el mayor logro del siglo XVII fue el cálculo infinitesimal: De ese manantial brotaron nuevas e importantes ramas de la matemática: e. d. o. , series, geometría diferencial, cálculo de variaciones, funciones de variable compleja. Así pues, Después de la invención del Cálculo el objetivo era usarlo para descubrir nuevos resultados. Al principio, nadie se preocupó mucho por la corrección matemática de los procedimientos empleados. La confianza en dichas técnicas descansaba en su extraordinaria eficacia para resolver multitud de problemas. Sin embargo, a finales del siglo XVIII, el uso continuado de los infinitésimos, que nadie sabía explicar, unido a la incomprensión que se tenía de los números irracionales y de los procesos de convergencia, propiciaron estudios críticos de los conceptos básicos del Cálculo.

El misterioso Cálculo Diferencial La dificultad no estribaba sólo en el mero concepto de infinitésimo ya de por sí difícilmente sostenible, sino en la forma en que los infinitésimos se manejaban en los cálculos. Además dependiendo del tipo de Cálculo eran tratados de una forma u otra. 1. - Con los infinitésimos podía operarse como cantidades finitas no nulas y, en particular, podía dividirse por ellos. 2. Los infinitésimos podían ser tratados como cantidades nulas. Así, si x es una cantidad positiva y Θun infinitésimo, entonces x+Θ=x

El misterioso Cálculo Diferencial Había infinitésimos de primer orden despreciables frente a cantidades finitas; de segundo orden que eran despreciables frente a los de primer orden, y así sucesivamente. Para acabar de empeorar las cosas, los infinitésimos no respetaban la propiedad arquimediana, pues el producto de cualquier cantidad finita por un infinitésimo seguía siendo un infinitésimo.

Uso de los infinitésimos Ejemplo : Consideremos dos cantidades x e y relacionadas por y-x^3=0. Cuando x cambia a x+dx e y cambia a y+dy, entonces 0=y+dy-(x+dx)^3=y+dy-x^3 -3 x^2 dx-3 x(dx)^2 -(dx )^3 Teniendo en cuenta que y-x^3=0, deducimos dy=x^2 dx+3 x(dx)^2+(dx )^3 Dividendo por dx la igualdad obtenida resulta: dy/dx=x^2+3 x(dx)+dx )^2 y como 3 xdx+(dx)^2 es infinitamente pequeño respecto de 3 x^2, conluimos que dy/dx=3 x^2.

Críticas El más duro de los ataques al uso del Cálculo infinitesimal fue el realizado por el obispo George Berkeley (1685 -1753), quien temía la creciente amenaza del mecanicismo y el determinismo. El mecanicismo es una doctrina filosófica nacida en el siglo XVII, que afirma que la única forma de causalidad es la influencia física entre las entidades que conforman el mundo material, cuyos límites coincidirían con el mundo real; R. Descartes lo describía como que el mundo (y todo objeto) es una máquina o como una máquina y (b) todo lo real es físico y una de sus derivaciones el reduccionismo afirma que la biología "no es más que" o "es en última instancia" química o física, Los correspondientes supuestos reduccionistas ontológicos serían que los organismos no son más que agregados de sustancias químicas y que las sustancias químicas no son más que átomos físicos. El determinismo es una doctrina filosófica que sostiene que todo acontecimiento físico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, están causalmente determinados por la irrompible cadena causa-consecuencia

Críticas En 1734 publicó The Analyst, Or A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. (El «infiel» era Edmond Halley. ) Señaló con razón que los matemáticos estaban procediendo más bien inductiva que deductivamente y que no daban la lógica o las razones de sus pasos. Berkeley dice que Newton da primero a x un incremento pero que después lo hace cero; esto, dice, es un desafío a la ley de contradicción y la fluxión obtenida es, en realidad, 0/0. Atacó también el método de diferenciales según lo presentaban L'Hôpital y otros en el continente: la razón de las diferenciales, decía, determinaría la secante y no la tangente; El error se anula al despreciar diferenciales de orden superior y así «en virtud de un doble error, aunque no a una ciencia, se llega a pesar de todo a la verdad» ,

Críticas «En cualquier otra ciencia los hombres demuestran las conclusiones a partir de los principios y no los principios a partir de las conclusiones. » Dudaba Berkeley que los principios y las inferencias del análisis moderno estuviesen concebidos más claramente ni deducidos más sólidamente que los misterios religiosos. Pese a varios intentos de réplica ninguna fue suficientemente consistente

Intentos de justificación Lo mismo que Newton, Maclaurin amaba la geometría, y por ello trató de fundamentar las fluxiones en la geometría de los griegos y en el método de exhaustivo, esperando de este modo evitar el concepto de límite; Su logro fue utilizar tan hábilmente la geometría que persuadió a otros a hacer lo mismo y abandonar el análisis. Los matemáticos continentales se fiaban más de las manipulaciones formales de expresiones algebraicas que de la geometría. Los representantes más importante de este enfoque fueron Euler, Lagrange y D´Alembert.

Leonhard Euler Leonhard Paul Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo 1783 Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos. Realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Leonhard Euler Su libro Introductio in Analysin infinitorum es considerado como el tercer libro más influyente en la historia de todas las matemáticas después de los Elementos de Euclides y de los Principia de Newton Introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático. Euler en el mismo comienzo de La Introductio, define una función como cualquier expresión analítica formada de modo arbitrario a partir de una cantidad variable y de constantes; incluye los polinomios, las series de potencias y las expresiones trigonométricas y logarítmicas; también define las funciones de varias variables.

Leonhard Euler comienza con la noción de función algebraica , en la que las operaciones que se hacen sobre la variable independiente son únicamente algebraicas. A continuación introduce las funciones trascendentes, a saber las funciones trigonométricas, la logarítmica, la exponencial, las potencias de exponente irracional y ciertas integrales. de que cualquier función La principal diferencia entre las funciones, escribe Euler, consiste en la combinación de variables y constantes que las componen. Así , añade, las funciones trascendentes se distinguen de las algebraicas en que aquellas se repiten un número infinito de veces las operaciones de éstas últimas. Es decir las funciones trascendentes estarían dadas por serie infinitas. Euler distingue entre funciones implictas y explícitas.

Concepto de función Por función continua , Euler como Leibniz y otros pensadores del siglo XVII, entendía una función especificada por una fórmula analíticas; su término continua significa en realidad analítica para nosotros, excepto en lo que se refiere a una discontinuidad esencial como 1/x^6 Sin embargo, no precisó que significaba “expresión analítica” aunque sin duda indicaba , series, fracciones, productos infinitos. Usó por primera vez la notación f(x). La Introductio de Euler fue la primera obra en que se estableció el concepto de función como una noción básica sobre la que ordenar el material de los dos volúmenes de aquella.

Afirma allí que cualquier función puede desarrollarse de serie de potencias, pero en seguida dice que : “si alguien duda de que cualquier función puede desarrollarse así , la duda quedará desechada , desarrollando de hecho la función. Sin embargo, con el fin de que la presente investigación abarque el dominio más amplio posible, además de las potencia enteras positivas de z, también se admitirán términos con exponentes arbitrarios. De este modo es ciertamente evidente que cualquier función puede expresarse en la forma Az^p+Az^q+…, donde los exponentes p, q pueden ser números cualesquiera. ” Para Euler la posibilidad de desarrollar en serie todas las funciones estaba confirmada por su propia experiencia y la de todos sus contemporáneos, … ciertamente en aquellos tiempos todas las funciones conocidas eran analíticas.

Euler Para 1947, Euler disponía ya de la suficiente experiencia con las relaciones entre exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas como para obtener resultados correctos sobre logaritmos de números complejos. Si la objección de Leibniz fuese correcta quebraría los fundamentos de todo el análisis, a saber, que las reglas y operaciones son válidas sea cual sea la naturaleza de los objetos a los que se aplican aquéllas. Leibniz había argumentado que dado que log(1+x)=x-1/2 x^2+1/3 x^3 -… entonces para x=-2 log(-1)=-2 -4/2 -8/3+… De donde se deduce que al menos log(-1) no es cero (ya había dicho que no existía ) La respuesta de Euler a este argumento fue que de 1/1+x =1 -x+x^2 -x^3, … entonces para x=-3 -1/2=1+3+9+27

Mientras que para x=1 resulta ½=1 -1+… Con lo que sumando miembro a miembro se obtiene 0=2+2+10 En consecuencia, afirma Euler, el argumento basado en series no prueba nada. Euler da el siguiente criterio x=e^y=(1+y/i)^i, para i un número infinitamente grande, entonces x^(1/i)=1+y/i, y en consecuencia y=i(x^(1/i)-1) como x^(1/i) toma infinitos valores complejos, eso ocurre con y, y como y=log x, lo mismo se puede afirmar de log x. En consecuencia, afirma Euler, para los números reales positivos, sólo un valor del logaritmo es real siendo imaginarios todos los demás valores; para los números reales negativos y para los imaginarios, sin embargo todos los valores del logaritmo son imaginarios. A pesar de esta brillante resolución del problema, el trabajo de Euler no fue aceptado. Dálembert formuló argumentos de carácter metafísico, analítico y geométrico para mostrar que log (-1)=0

Leonhard Euler Rechazó el concepto de infinitesimal como una cantidad menor que cualquier cantidad fijada y sin embargo no nula. En sus Institutiones de 1755 sostenía que : No hay duda de que cualquier cantidad puede disminuirse hasta tal punto que se anule completamente y desaparezca. Pero una cantidad infinitamente pequeña no es otra cosa que una cantidad evanescente y por tanto ella misma ha de ser igual a O. . . pues si no fuese igual a O se le podría asignar una cantidad igual, lo que es contrario a la hipótesis.

Leonhard Euler Obtiene la derivada de y =x^2 como sigue: da a x el incremento ω, así el correspondiente incremento de y es η=2 xω + ω^2 y la razón η/ω vale 2 x + ω dice entonces que esta razón se aproxima tanto más a 2 x cuanto más pequeño se toma ω, . Recalca que estas diferenciales, η y ω, son absolutamente cero y que no se puede deducir de ellas otra cosa que su razón mutua, la cual se reduce finalmente a una cantidad finita. Así acepta incondicionalmente que existen cantidades que son absolutamente cero pero cuyas razones son números finitos.

Leonhard Euler Puesto que había abominado de los infinitesimales, tenía que explicar cómo dy/ dx, que para él era O/O, podía ser igual a un número bien definido. Lo hizo de la siguiente manera: Dado que para cualquier número n se tiene que n. O == O, entonces n == O/O; Así las técnicas usadas simplemente son un método útil de determinar O/O;

Leonhard Euler Para derivar y =log x, reemplaza x por x + dx dy = log (x + dx)-log x =log ( 1 + dx/x ) Apela aquí a un resultado ya obtenido por él, log(1+z)=z-z^2/2+z^3/3 -…. con lo que obtiene dy=dx/x -1/2(dx/x)^2 + 1/3(dx/x)^3+… Y como todos los términos después del primero son evanescentes, tenemos d(log(x))=dx/x. Hay más «razonamientos» de esta naturaleza en su libro, donde alienta al lector , señalando que no hay tanto misterio oculto en la derivada como se piensa, [aunque] provoque sospechas sobre el cálculo infinitesimal en el espíritu de tantos.

Leonhard Euler Aceptó ∞ como número, por ejemplo, como la suma de “ 1 + 2 +3+. . . " y también distinguió órdenes de ∞. Así, a/dx=∞, pero a/(dx)2 es un infinito de segundo orden, y así sucesivamente.

Joseph Louis Lagrange, (Turín , 1736 - 1813 en París) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia y Francia. Trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Se le atribuye la demostración del teorema del valor medio ,

Joseph Louis Lagrange En su Théorie des fonctions analytiques, llevó a cabo el intento más ambicioso de reconstruir los fundamentos del cálculo infinitesimal. El subtítulo de su libro revela su ambiciosa pretensión: «Conteniendo los principales teoremas del cálculo diferencial sin hacer uso de lo infinitamente pequeño, ni de cantidades evanescentes ni de límites o fluxiones, y reducido al arte del análisis algebraico de cantidades finitas. »

Joseph Louis Lagrange Critica el enfoque de Newton señalando que, en lo que se refiere a la razón límite del arco a la cuerda, ya que considera iguales arco y cuerda no antes o después de desvanecerse sino cuando se desvanecen. Tampoco le satisfacen los ceros pequeños (infinitesimales) de Leibniz, ni los ceros absolutos de Euler, porque “ no son lo suficientemente claros como para servir de fundamento a una ciencia cuya certeza debe reposar en su propia evidencia”.

Joseph Louis Lagrange Estos métodos tiene el inconveniente de considerar cantidades en el estado en que, por así decirlo, cesan de ser cantidades; pues aunque siempre podemos concebir correctamente las razones de dos cantidades mientras ellas permanecen finitas, la mente no se hace una idea clara y precisa de esa razón cuando sus términos se convierten, ambos al mismo tiempo, en nada. » Para hacer rigurosas las demostraciones propuso lograr reducirlas al álgebra, la cual, incluía la series como extensiones de polinomios. La teoría de funciones es para él la parte del álgebra que se refiere a las derivadas de funciones.

Joseph Louis Lagrange propuso utilizar series de potencias, señalando con discreta modestia su extrañeza de que este método no se 10 hubiese ocurrido a Newton. Se propuso expresar f(x+h)= f(x)+ph+ qh^2+rh^3 +sh^4+. . . , en donde los coeficientes p, q, r, s. . . dependen de x pero son independientes de h; Pero …¿tal desarrollo en serie de potencias es siempre posible? Tanto Lagrange como Euler aceptaban sin reservas que era perfectamente posible un desarrollo en serie conteniendo potencias enteras y fraccionarias de h.

Joseph Louis Lagrange Lo sabe cierto para numerosos ejemplos, pero concedeque hay casos excepcionales (alguna derivada infinita). Estas excepciones sólo ocurren en puntos aislados y Lagrange no las tiene en cuenta; sin mayores miramientos hace frente a una segunda dificultad: Queriendo eliminar la necesidad de las potencias fraccionarias; dice que éstas surgen sólo si f(x) contiene radicales, con lo que también las descarta como casos excepcionales

Joseph Louis Lagrange Mediante un argumento un tanto complicado pero puramente formal prueba que: p = f’ (x), q = f’’(x)/2, r= f'“’ (x )/3!, … Lagrange concluye entonces que esta «expresión tiene la ventaja de mostrar cómo los términos de la serie dependen uno de otro, y especialmente cómo cuando se sabe formar la primera función derivada, se pueden formar todas las funciones derivadas que intervienen en la serie» .

Joseph Louis Lagrange Añade que: «Para quien conoce los rudimentos del cálculo diferencial es claro que estas funciones derivadas coinciden con dy/dx, d^2 y/dx^2, • • • . » Sin embargo, le queda mostrar cómo obtener p o f'(x) de f(x). Para ello, desprecia todos los términos después del segundo. Así pues, f(x + h) - f(x) = ph , Y dividiendo por h y concluye que p = f' (x).

Joseph Louis Lagrange A pesar de todos estos puntos débiles (convergencia de la serie de potencias) el enfoque de Lagrange del cálculo infinitesimal gozó de gran aceptación durante bastante tiempo y contribuyó como Euler a separar la fundamentación del análisis de la geometría y la mecánica ; Lagrange creyó que había prescindido del concepto de límite. Reconocía que el cálculo infinitesimal se podía fundamentar sobre una teoría de límites, pero afirmó que la clase de metafísica que era necesario emplear era ajena al espíritu del análisis.

Jean le Rond D'Alembert (París; 1717 - 1783) fue un matemático, filósofo y enciclopedista francés, uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado.

Jean le Rond D'Alembert D' Alembert pensaba que Newton había tenido la idea correcta y que él simplemente explicaba lo que había querido decir Newton. En su artículo «Différentiel» de la célebre Encyclopédie ou Dictionnaire Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers (1 751 -80), afirma: Newton nunca contempló el cálculo diferencial como un cálculo de infinitesimales, sino como un método … para encontrar el límite de [ciertas] razones. » D´Alembert formuló argumentos de carácter metafísico, analítico y geométrico para mostrar que log(-1)=0

Jean le Rond D'Alembert En otro artículo afirma : «La teoría de límites es la verdadera metafísica del cálculo. . . No es nunca cuestión de cantidades infinitesimales …es únicamente una cuestión de límites de cantidades finitas. Los infinitesimales eran simplemente una manera de hablar que evitaba las descripciones más extensas en términos de límites. Dio una aproximación a la definición de límite en términos de una cantidad variable que se aproxima a una cantidad fija con un error menor que cualquier cantidad fijada, aunque aquí también él dice que la variable nunca alcanza el límite.

Jean le Rond D'Alembert Con todo, no llevó a cabo una exposición formal del cálculo infinitesimal que incorporase y utilizase sus, en esencia, correctas opiniones. Fue también impreciso cuando definió la tangente a una curva como el límite de la secante cuando los dos puntos de intersección se hacen uno. Esta imprecisión, especialmente en su enunciado de la noción de límite, originó un debate sobre la cuestión de si una variable puede alcanzar su límite. D' Alembert aconsejaba a los estudiantes de cálculo infinitesimal, «Persistid y os llegará la fe» .