Orangorang yang beriman dan berhijrah serta berjihad di
Orang-orang yang beriman dan berhijrah serta berjihad di jalan Alloh dengan harta dan jiwa mereka, lebih besar derajadnya di sisi Alloh, dan mereka itulah orang-orang yang mendapat kemenangan. [TQS. AT TAUBAH(9): 20]
GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL OLEH NURUL SAILA PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA MARGA 26 DAN 27 DESEMBER 2011
“Gradien” Definisi: Ø Operator Diferensial Vektor Del ( ) = / x i+ / y j+ / z k atau = i / x + j / y + k / z Operator disebut juga ‘nabla’
Ø Gradien Misal (x, y, z) terdefinisi dan diferensiabel pd setiap titik (x, y, z) dlm suatu daerah tertentu dari ruang ( medan skalar). Gradien ditulis: atau grad , didefinisikan: = ( / x i+ / y j+ / z k) = / x i+ / y j+ / z k Ø . dr=0, shg adalah sebuah vektor yg tegaklurus pd permukaan (x, y, z)= c, dimana c sebuah konstanta. Ø Komponen dlm arah vektor satuan a adalah . a yaitu laju perubahan pd (x, y, z) dlm arah a.
Contoh: 1. Jika (x, y, z) = 3 x 2 y – y 3 z 2, carilah grad ( ) pada titik (1, -2, -1). 2. Carilah normal satuan terhadap permukaan x 2 y + 2 xz = 4 pada titik (2, -2, 3). 3. Carilah persamaan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2 xz 2 -3 xy-4 x = 7 pada titik (1, -1, 2). 4. Carilah turunan berarah dari =x 2 yz+4 xz 2 pada (1, -2, -1) dalam arah 2 i-j-2 k. 5. Carilah sudut antara permukaan-permukaan x 2+y 2+z 2=9 dan z=x 2+y 2 -3 pd titik (2, 1, 2)
“Divergensi” Definisi: Misalkan V(x, y, z)= V 1 i+ V 2 j+ V 3 k terdefinisi dan diferensiabel dlm suatu daerah tertentu dari ruang (V medan vektor). Divergensi dari V, ditulis: . V atau div V, didefinisikan: . V = ( / x i+ / y j+ / z k). (V 1 i+ V 2 j+ V 3 k) = ( V 1/ x+ V 2/ y+ V 3/ z)
Contoh: 1. Jika A=x 2 z i – 2 y 3 z 2 j +xy 2 z k , maka carilah div A (. A) pada titik (1, -1, 1). 2. Diketahui = 2 x 3 y 2 z 4. Carilah: a. . (div grad ) b. 2 2 = 2/ x 2 + 2/ y 2 + 2/ z 2 disebut operator Laplacian. 3. Tentukan konstanta a sehingga vektor V=(x+3 y)i+(y-2 z)j+(x+az)k adalah solenoidal [sebuah vektor V adalah solenoidal jika divergensinya 0].
“Curl” Definisi: Jika V(x, y, z) adalah suatu medan vektor yg diferensiabel maka curl atau rotasi V, ditulis: curl V atau rot V, didefinisikan: x V = ( / x i+ / y j+ / z k) x (V 1 i+ V 2 j+ V 3 k) =
Contoh: 1. Jika A=x 2 z i – 2 y 3 z 2 j +xy 2 z k , maka carilah curl A ( x A) pada titik (1, -1, 1). 2. Jika A=x 2 y i-2 xz j+2 yz k, carilah curl A. 3. Jika adalah suatu medan skalar dan A suatu medan vektor, buktikan: a. Curl grad = 0 b. Div curl A = 0
Rumus-rumus yang Mengandung 1. 2. 3. Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yg diferensiabel dan fungsi-fungsi skalar dari kedudukan (x, y, z) yg diferensiabel maka: ( + ) = + atau grad( + )= grad + grad . (A + B) = . A + . B atau div (A+B)= div A + div B x(A + B) = x A + x B atau curl (A+B) = curl A + curl B
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. . ( A) = ( ). A + (. A) x( A) = ( )x A + ( x. A) . (Ax. B) = B. ( x A) – A. ( x. B) x(Ax. B) = (B. )A – B(. A)-(A. )B+A(. B) (A. B) = (B. )A + (A. )B+B x( x. A)+A x( x. B) . ( ) = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2 dimana 2= 2/ x 2+ 2/ y 2+ 2/ z 2 disebut operator laplace x( ) = 0 curl dari gradien adalah 0 . ( x A)= 0 divergensi dari curl A adalah 0. x( x A)= (. A)- 2 A
TERIMAKASIH TELAH MENGIKUTI PERKULIAHAN INI DENGAN BAIK SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES NURUL SAILA
- Slides: 12