Optimisation sur les graphes et applications aux problmes

Optimisation sur les graphes et applications aux problèmes de routage et synthèse dans les réseaux Celso C. Ribeiro Universidade Federal Fluminense Brésil

Graphes Graphe G=(V, E) V: ensemble de sommets E: ensemble d’arêtes (arcs) n Données: n l Capacités (min, max) l Distances 2 5 l Coûts: Transport n Construction n Communication 1 3 n Orsay, Mars 2008 7 10 8 6 4 Colloque Franco-Brésilien 2008 9 2/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 3/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport: Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 4/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport: Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 5/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport: Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 6/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport: Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 7/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport: Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 8/67

Graphes n Applications aux réseaux de: l Transport: Urbain n Routier n l Communications l Energie l Internet Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 9/67

Problèmes classiques n Plus court chemin d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Distance entre chaque pair de sommets n 2 7 5 1 3 8 10 6 4 Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 9 10/67

Problèmes classiques n Plus court chemin d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Distance entre chaque pair de sommets n 4 1 6 3 6 7 2 8 4 4 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 3 3 5 2 4 3 10 3 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 11/67

Problèmes classiques n Plus court chemin d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Distance entre chaque pair de sommets n 4 1 6 3 6 7 2 8 4 4 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 3 3 5 2 4 3 10 3 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 12/67

Problèmes classiques n Arbre générateur de coût minimum l Donnés: n Coût de chaque arête 4 1 6 3 6 7 2 8 4 4 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 3 3 5 2 4 3 10 3 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 13/67

Problèmes classiques n Arbre générateur de coût minimum l Donnés: n Coût de chaque arête 4 1 6 3 6 7 2 8 4 4 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 3 3 5 2 4 3 10 3 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 14/67

Problèmes classiques n Flot maximum d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Capacité maximum (minimum) de chaque arête n Capacité max 6 1 3 2 2 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 6 3 5 2 7 2 8 4 6 6 4 3 10 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 15/67

Problèmes classiques n Flot maximum d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Capacité maximum (minimum) de chaque arête n Capacité max 6 Coupe min 1 3 2 2 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 6 3 5 2 7 2 8 4 6 6 4 3 10 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 16/67

Problèmes classiques n Flot maximum d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Capacité maximum (minimum) de chaque arête n Capacité max 6 Coupe min 1 3 2 2 5 4 Orsay, Mars 2008 5 4 6 3 5 2 7 2 8 4 6 6 4 3 10 4 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 17/67

Problèmes classiques n Flot maximum d’un sommet à l’autre l Donnés: Sommets de départ et de destination n Capacité maximum (minimum) de chaque arête n Capacité max 6, 5 1 3 2, 2 4 Orsay, Mars 2008 5 4 6, 2 3, 3 5, 5 2 2, 2 5, 2 7 2, 2 4, 1 6 6, 3 8 Flot 4, 3 3, 3 10 4, 3 9 Colloque Franco-Brésilien 2008 18/67

Problèmes classiques n Problème de transport p 1 l Donnés: Capacité de production de chaque usine n Demande de chaque entrepôt n Coûts unitaires de transport n Déterminer les quantités à envoyer de chaque usine vers chaque entrepôt n Orsay, Mars 2008 1 c 1 A A p 2 Colloque Franco-Brésilien 2008 2 B p 3 d. B 3 C p 4 d. A 4 d. C c 4 C 19/67

Problèmes classiques n Algorithmes polynomiaux: les temps de calcul croissent polynomialement avec la taille du problème (rapides) l O(n), O(n log n), O(n 2), O(n 3) Algorithmes rapides (efficients) → problèmes “faciles” (bien résolus) n Autres examples: n → l Problème d’afféctation l Problème du flot à coût minimum l Problème de couplage, etc. Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 20/67

Problèmes difficiles n Problème du voyageur de commerce l Données: Ensemble de n villes: graphe avec n sommets n Distance entre chaque paire de sommets n l Déterminer un cycle de longueur minimale qui visite chaque sommet exactement une seule fois Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 21/67

Problèmes difficiles n Problème du voyageur de commerce A 1 2 E 2 2 4 B 2 2 1 1 D Orsay, Mars 2008 1 C Colloque Franco-Brésilien 2008 22/67

Problèmes difficiles n Problème du voyageur de commerce A 1 2 E 2 2 4 B 2 2 1 1 D Orsay, Mars 2008 Coût minimum: 7 1 C Colloque Franco-Brésilien 2008 23/67

Problèmes difficiles n Problème du voyageur de commerce l Il ny a pas d’algorithme de complexité polynomiale connu pour le problème du voyageur de commerce l Les temps de calcul augmentent exponentiellement avec la taille du problème: O(n!), O(2 n) l Problèmes NP-complets et NP-difficiles Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 24/67

Problèmes difficiles n Autres examples: l Problème du postier chinois l Problème de Steiner l Problème de coloriage d’un graphe l Problème d’affectation quadratique, etc. Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 25/67

Méthodes éxactes de solution Programmation linéaire: minimiser une fonction linéaire de variables réelles, sous un ensemble de contraintes linéaires n Algorithmes: n l Simplexe l Points intérieurs (polynomial) Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 26/67

Méthodes éxactes de solution Programmation en nombres entiers: minimiser une fonction linéaire de variables qui prennent des valeurs entières, sous un ensemble de contraintes linéaires n Algorithmes exacts: n l Méthodes de coupes l Méthodes de recherche arborescente (branch & bound) l Problème NP-difficile Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 27/67

Méthodes éxactes de solution n Programmation en nombres entiers: l Problèmes en variables 0 -1 l Problèmes de décision l Problèmes d’optimisation combinatoire n Dans le cas général, il s’agit de problèmes très difficiles, pour lesquels il n’y a pas d’algorithme connu de complexité polynomiale Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 28/67

Méthodes éxactes de solution Les parallélisme permet d’accélérer les calculs, mais pas de réduire leur complexité: contribution limitée n Voyageur de commerce: n l Solution exacte pour 42 villes: Dantzig, Fulkerson & Johnson (1954) l 24. 978 villes suédoises: Applegate, Bixby, Chvátal, Cook & Helsgaun (2006) Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 29/67

Méthodes éxactes de solution 24. 978 villes suédoises (2006) Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 30/67

Méthodes approchées n Traveling tournament problem: déterminer les dates des matches d’un tournoi disputé par n équipes, de façon à minimiser la distance voyagé par les joueurs l Plus n grand problème déjà résolu: 8 équipes Méthodes approchées (heuristiques): recherche d’optima locaux très proches des solutions optimales (plus rapides que les méthodes éxactes) Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 31/67

Méthodes approchées n Heuristiques: l Constructives: construction d’une solution réalisable de départ l Recherche locale: amélioration de la solution courante jusqu’à ce qu’un optimum local soit trouvé l Metaheuristiques: recherche au delà du premier optimum local n Compromis entre qualité et temps de calcul Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 32/67

Méthodes approchées n Metaheuristiques: fondées sur différentes stratégies (principes) pour échapper des optima locaux l Récuit simulé l Recherche tabou l GRASP l Algorithmes génétiques l Collones de fourmis n Méthodes de trajéctoire Méthodes de populations “Méthodes inspirées par la nature” Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 33/67

Applications aux télécommunications Metaheuristiques n Calcul parallèle (grilles) n Problèmes de synthèse de réseaux → → problèmes de contrôle n Problèmes statiques → → problèmes dynamiques (temps réel) n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 34/67

Applications aux télécommunications n Applications: l Routage sous le protocole OSPF l Routage des circuits virtuels l Routage sur les réseaux optiques l Synthèse des réseaux d’accès l Réseaux ad-hoc et réseaux de senseurs Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 35/67

Routage sous le protocole OSPF Internet organisée en systèmes autonomes: routage à l’intérieur de chaque système n Protocole OSPF de routage interne sur l’Internet: Optimal Shortest Path First n Orsay, Mars 2008 SA 2 SA 1 Colloque Franco-Brésilien 2008 SA 4 SA 3 36/67

Routage sous le protocole OSPF Poids associés à chaque arête du réseau dans le système autonome n Chaque routeur détérmine la plus courte route vers chaque système adjacent n Chaque paquet réçu par un routeur est envoyé au suivant sur la plus courte route vers le système de destination n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 37/67

Routage sous le protocole OSPF Répartition du trafic sur multiples liens si les métriques sont identiques n Détérminer les poids optimaux de façon à minimiser la saturation des liens n Algorithme génétique hybride avec optimisation des croisements n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 38/67

AT&T Worldnet backbone network (90 routers, 274 links) GA cost MA generation Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 39/67

Routage des circuits virtuels Réseaux virtuels privés: circuits virtuels permanents (PVCs) entre chaque source et chaque destination de chaque client (la demande de chaque trafic est connue) n Routage: détérminer les routes et les capacités affectées à chaque trafic de chaque client n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 40/67

Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 41/67

Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 42/67

Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 43/67

Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 44/67

capacité maximale = 3 Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 45/67

chemin très long Orsay, Mars 2008 capacité maximale = 3 Colloque Franco-Brésilien 2008 46/67

chemin très long capacité maximale = 3 refaire le routage Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 47/67

capacité maximale = 3 Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 48/67

solution réalisable et optimale Orsay, Mars 2008 capacité maximale = 3 Colloque Franco-Brésilien 2008 49/67

Routage des circuits virtuels Algorithme GRASP pour routage optimal n Outil pour l’afféctation optimale des trafics sur routes uniques dans les réseaux capacités: minimisation des délais avec équilibrage des charges n Utilisation chez AT&T n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 50/67

Routage et afféctation des longueurs d’onde sur les réseaux optiques Ensemble de connexions: origine et destination connues pour chaque trafic n Chaque connexion doit utiliser la même longueur d’onde de l’origine à la destination (pas de conversion) n Plusieurs connexions peuvent utiliser la même longueur d’onde si elles n’ont pas d’arête commune n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 51/67

Routage et afféctation des longueurs d’onde sur les réseaux optiques Les connexions avec arêtes communes doivent utiliser des longueurs d’onde différentes n Déterminer les routes associées à chaque connexion, ainsi que la longueur d’onde utilisée pour chaque connexion n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 52/67

Routage et afféctation des longueurs d’onde sur les réseaux optiques n Différents critères d’optimisation, modèles de trafic et règles d’opération (conversions possibles ou non, etc. ): l Pairs origine-destination connues l Pas de conversion l Arêtes bidiréctionnelles l Minimiser le nombre de longueurs d’onde utilisées Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 53/67

Connexions c m d b e h a e b f Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 54/67

Connexions: (a e) (b f) (c m) (d b) (e h) longueur d’onde 1 Orsay, Mars 2008 longueur d’onde 2 Colloque Franco-Brésilien 2008 longueur d’onde 3 55/67

Routage et afféctation des longueurs d’onde sur les réseaux optiques Recherche tabou et algorithme génétique n Extensions aux modèles plus complets, en tenant compte e. g. des contraintes de fiabilité et de la multiplicité de chemins n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 56/67

Synthèse des réseaux d’accès Faire la synthèse d’un réseau optique pour donner accès aux communications à un ensemble de clients n Prendre en considération le compromis entre: n l coût de construction du réseau (installation des fibres optiques) l rémunération potentielle (ou perte de rémunération si un client n’est pas connecté) n Choisir les clients qui seront connectés Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 57/67

Synthèse des réseaux d’accès Choisir les clients qui seront connectés n Problème de Steiner avec récolte de primes n l Prime: rémuneration correspondante à un client n Application développée pour AT&T Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 58/67

Synthèse des réseaux d’accès n Graphe: rues et intersections l Arêtes: segments de rues n Coût d’une arête: installation de fibres optiques sur chaque segment de rue l Sommets: intersections des rues et locaux des clients potentiels n n Prime d’un sommet: rémunération correspondante à chaque client (pas de prime pour les intersections de rues) Minimiser une mesure de la somme des coûts de construction (fibres installées) et des primes non-recoltées (clients nonconnectés) Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 59/67

segment de rue rémunération nulle (intersection) rémunération (client potentiel) racine Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 60/67

Synthèse des réseaux d’accès Premier cas: tous les clients doivent être connectés n Problème de Steiner: n l Déterminer les connexions de façon à minimiser les coûts de construction Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 61/67

segment de rue Tous les clients sont connectés Orsay, Mars 2008 rémunération nulle (intersection) rémunération (client potentiel) racine Colloque Franco-Brésilien 2008 62/67

Synthèse des réseaux d’accès Deuxième cas: choisir les clients qui seront connectés n Problème de Steiner avec primes: n l Déterminer les connexions de façon à minimiser les coûts de construction et les primes non-recoltées Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 63/67

segment de rue rémuneration nulle (intersection) rémuneration (client potentiel) client connecté racine Les clients ne sont pas tous connectés Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 64/67

Synthèse des réseaux d’accès Algorithme GRASP n Taille typique des problèmes réels: n l 20. 000 Orsay, Mars 2008 à 100. 000 sommets Colloque Franco-Brésilien 2008 65/67

Recherche en cours: applications Réseaux ad-hoc: communication directe entre les sommets sans structure fixe n Réséaux de senseurs: noeuds (avec batteries de capacité limitée) capables de transmettre les informations obtenues sur un ou plusieurs phénomènes n Puissance nécéssaire pour la réception au sommet j d’un message envoyé du sommet i: pij ~ dij 2 n Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 66/67

Recherche en cours: applications Messages doivent arriver à tous les noeuds n Sessions: unique vs. multiples n On line vs. statique n Déterminer la puissance de chaque émetteur: n l Minimiser la consommation d’énergie en tenant compte des capacités des batteries l Assurer une certaine topologie (k chemins disjoints entre chaque paire de noeuds) Orsay, Mars 2008 Colloque Franco-Brésilien 2008 67/67