OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILIT CHAPITRE 3 OPTIMISATION

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ CHAPITRE 3 OPTIMISATION § § Concepts de base: recherche opérationnelle Programmation linéaire Programmation en nombre entier Logiciel LINDO

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ CONCEPTS DE BASE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § § § Définitions Origines Applications Méthodes Modèles

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § DÉFINITIONS • Application de méthodes, techniques, instruments scientifiques pour modéliser et résoudre les problèmes dans tous les domaines • Application de la méthode scientifique pour modeler et résoudre les problèmes dans tous les domaines • Art de donner des mauvaises réponses à des problèmes auxquels autrement de pires réponses seraient données

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § ORIGINES • Développement durant la seconde guerre mondiale § applications aux opérations militaires • • répartition des troupes, du matériel, des ressources approvisionnement en vivres, en pièces, en armement • Scientifiques et ingénieurs: applications civiles § § programmation linéaire (1ère publication en 1939) développement du simplexe par G. Dantzig (1947) développement des techniques classiques en programmation linéaire, non-linéaire, dynamique, théorie des files d’attente, etc. ralentissement des recherches généré par le manque d’outils de calcul

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § APPLICATIONS • Applications aux problèmes réels de grande envergure § § § arrivée des processeurs rapides développement des bases de données techniques d ’optimisation appliquées à de nombreux domaines • Domaines d’utilisation § § militaire transport • • • § contrôle des réseaux • § aéroport route, trajet, livraison horaire etc. infrastructures, distribution

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § 2 importants centres de recherche à Montréal • CRT: Centre de Recherche sur les Transports • GÉRAD: Groupe d’Étude et de Recherche en Analyse des Décisions

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § CONCEPT DE SYSTÈME • Système § Agrégat ou assemblage d’objets joints par des interactions ou interdépendances régulières • Activité § Processus qui crée un changement de l’état du système • Entité § Objet d’intérêt dans un système • Attribut § Propriétés relatives à une entité

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE EXEMPLE DE SYSTÈME ACTIVITÉ ENTITÉATTRIBUT circulation mouvements véhicules vitesse trajets routes distances banque dépôts clients état de crédit communications transmission message priorité

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § MÉTHODES • • • Techniques mathématiques Techniques statistiques Modèles de gestion des stocks Modèles d’affectation Modèles de programmation dynamique Modèles de files d’attente Modèles séquentiels Modèles de remplacement Modèles de compétition Techniques de simulation Méthodes heuristiques

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § MODÈLE • Moyen pour mieux comprendre la réalité utilisée pour représenter les propriétés fondamentales d’un certain phénomène • Problèmes de gestion souvent complexes • Nécessité fréquente d’ignorer certains paramètres pour tirer une version idéale, épurée: c’est un modèle

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § CLASSIFICATION DES MODÈLES • Modèles physiques § Modèles iconiques • • § Pour visualiser une solution pratique Modèles réduits, maquettes Modèles analogiques • • Phénomène qu’on étudie pour représenter un autre Analogie électrique en hydraulique • Modèles symboliques § Modèles mathématiques • • § Déterministiques Probabilistes ou stochastiques Modèles verbaux

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § Modèles mathématiques • Modèles déterministiques § § Incertitude négligeable Résultats du phénomène prévu avec certitude • Modèles probabilistes ou stochastiques § Incertitude considérée comme facteur important du phénomène ou système analysé § Classe de modèles déterministiques • Modèles de programmation linéaire § § Équations ou inéquations du premier degré représentant les contraintes du problème Fonction économique qui traduit l’objectif de l’entreprise

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § Méthode scientifique 1. Expériences vécues 2. Critères qui permettent de juger si le problème est résolu 3. Principaux aspects de la réalité 4. Paramètres du modèle 5. Méthodes appropriées 6. Conclusions obtenues versus opinions des personnes 7. Implantation de la décision

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RECHERCHE OPÉRATIONNELLE § Formulation du modèle mathématique • Définir le problème § § § Quelle est la nature exacte du problème? Quel est l’objectif recherché? Quelles sont les conditions d’opération? Quels sont les paramètres à considérer? Quelle influence? Quel est le degré de précision requis?

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMME LINÉAIRE § PL • • problème d’optimisation consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaire de n variables de décision soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires § La terminologie est due à George B. Dantzig, inventeur de l’algorithme du simplexe (1947)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE § Hypothèses: • La linéarité des contraintes et de la fonction objectif • La proportionnalité des gains/coûts et des consommation de ressources • La divisibilité des variables • Le déterminisme des données § Lors de la modélisation d'un problème réel, l'impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié § Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique, . . . ) et essentielle pour la phase d'interprétation des résultats fournis par le modèle

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MISE EN FORME MATHÉMATIQUE § Définir les variables de décision • ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser • variables réelles, entières, binaires § Préciser la fonction objectif • fonction mathématique composée des variables de décision qui représente le modèle physique modélisé • fonction linéaire, non-linéaire § Préciser les contraintes du problème • ensemble des paramètres qui limitent le modèle réalisable • équations ou inéquations composées des variables de décision § Préciser les paramètres du modèle • constantes associées aux contraintes et à la fonction objective

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE § Validation du modèle et des résultats • S’assurer § § que le modèle développé est conforme à la réalité que les résultats sont valides dans toutes les conditions § Conception du système d’application • Possibilité d’utiliser des logiciels spécialisés § Implantation

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FORMULATION MATHÉMATIQUE D’UN PROGRAMME LINÉAIRE § FONCTION OBJECTIF • Maximiser ou minimiser • z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + + cnxn § Contraintes • a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1 nxn ( , =, ) b 1 • a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + … + a 2 nxn ( , =, ) b 2 • am 1 x 1 + am 2 x 2 + am 3 x 3 + … + amnxn ( , =, ) bm § Contraintes de non-négativité • xj 0 ; j = 1, 2, 3, … n § avec • xj variables de décision (inconnues) • aij, bi, cj paramètres du programme linéaire

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ TERMINOLOGIE DU MODÈLE § Activités • Ensemble des actes et opérations à effectuer • j = 1, …n activités § Ressources • Moyens disponibles pour effectuer les activités • bi, i = 1, …m ressources § Quantité requise de ressource • Quantité unitaire de ressources consommées pour chaque activité aij § Niveau activation • Quantité de ressources affectée à une activité • xj = niveau d’activation de l’activité j § Coût ou profit • Mesure de performance de l’allocation des ressources aux activités cj

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ TERMINOLOGIE DE LA SOLUTION § Solution réalisable • Solution où toutes les contraintes du modèle sont satisfaites § Zone de solution • Ensemble de toutes les solutions réalisables § Solution optimale • Solution réalisable où la fonction objectif atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum • Plusieurs solutions optimales possibles

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ EXEMPLE: PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES Vous disposez de • 8 kg de pommes • 2, 5 kg de pâte • 6 plaques pour confectionner des chaussons et des tartes Pour faire un chausson, il vous faut: • 150 g de pommes • et 75 g de pâte Chaque chausson est vendu 3 $ Pour faire une tarte, il vous faut • 1 kg de pommes • 200 g de pâte • et 1 plaque Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues chacune 2 $ Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre d'affaires de la vente ?

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES Définissons 2 variables de décision • x 1 : le nombre de chaussons confectionnés • x 2 : le nombre de tartes confectionnées Le chiffre d’affaires associé à une production (x 1; x 2) est z = 3 x 1 + (6 x 2)x 2 = 3 x 1 + 12 x 2 Il ne faut pas utiliser plus de ressources que disponibles • 150 x 1 + 1000 x 2 8000 (pommes) • 75 x 1 + 200 x 2 2500 (pâte) • x 2 6 (plaques) On ne peut pas cuisiner des quantités négatives : x 1 et x 2 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MODÈLE: PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCES Pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente, il faut déterminer les nombres x 1 et x 2 de chaussons et de tartes a cuisiner, solution du problème Max z = 3 x 1 + 12 x 2 Sujet à § § 150 x 1 + 1000 x 2 8000 75 x 1 + 200 x 2 2500 x 2 6 x 1 ; x 2 0 En fait, il faudrait également imposer à x 1 et x 2 de ne prendre que des valeurs entières

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ EXEMPLE: PROBLÈME DE RECOUVREMENT DONNÉES : Les demandes journalières en chauffeurs dans une entreprise de transport Lu Ma Me Je Ve Sa Di 13 18 21 16 12 25 9 Les chauffeurs travaillent 5 jours d'affilée (et peuvent donc avoir leurs 2 jours adjacents de congé n'importe quand dans la semaine) OBJECTIFS : Déterminer les effectifs formant les 7 équipes possibles de chauffeurs de manière à: • couvrir tous les besoins • engager un nombre minimum de chauffeurs

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE RECOUVREMENT MODÉLISATION Variables de décision : On associe une variable de décision à chacune des 7 équipes possibles • x 1 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du lundi (repos le samedi et le dimanche), • x 2 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du mardi, . . . • x 7 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du dimanche. Fonction objectif : On veut minimiser le nombre total de chauffeurs engagés z = x 1 + … + x 7

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE RECOUVREMENT CONTRAINTES Contraintes : Le nombre de chauffeurs présents chaque jour doit être suffisant • • x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 13 (lundi) x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 18 (mardi) … x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 9 (dimanche) Contraintes de bornes : Le nombre de chauffeurs dans chaque équipe doit non seulement être non négatif mais également entier • xi 0 et entier; i = 1; …; 7

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE RECOUVREMENT : FORMULATION Min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 § Sujet à: • • x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 13 x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 18 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 21 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 16 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 12 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 25 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 9 x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ; x 6 ; x 7 0 entiers § Ce problème n'est pas un PL mais un programme linéaire en nombres entiers (PLNE)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MODÉLISATION § Exemple: production de portes et fenêtres • 3 usines: § § § #1 #2 #3 cadres d ’aluminium cadres de bois vitres et assemblages des produits • 2 produits § § A B portes vitrées avec cadrage d ’aluminium fenêtres avec cadrage en bois • demande illimitée pour les produits • profits par lot: A: 3000$ B: 5000$ • temps de production pour chaque lot produit par heure § § § #1 #2 #3 A: 1 A: 0 A: 3 B: 0 B: 2 • temps de production disponible par semaine § #1: 4% #2: 12% #3: 18%

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FORMULATION DU PROBLÈME PRODUCTION DE PORTES ET FENÊTRES Temps de production Usine 1 2 Temps disponible par semaine 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Profit 3000 5000

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FORMULATION DU PROBLÈME § Objectif • Maximiser les profits § Variables de décision • x 1: • x 2: quantité du produit A fabriquée quantité du produit B fabriquée § Fonction objectif • MAXIMISER z = 3 x 1 + 5 x 2 § Contraintes • usine 1: 1 x 1 + 0 x 2 4 • usine 2: 0 x 1 + 2 x 2 12 • usine 3: 3 x 1 + 2 x 2 18 § Contraintes de non-négativité • x 1 0 • x 2 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE § Résolution selon les techniques appropriées • Exemple § § MAXIMISER z = 3 x 1 + 5 x 2 SUJET À • • x 1 4 2 x 2 12 3 x 1 + 2 x 2 18 x 1 0 ; x 2 0 • Solutions optimales § § § programmation linéaire: simplexe programmation en nombre entier: branch-and-bound programmation dynamique • Solutions sous-optimales: heuristiques

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE Zone limitée par l’ensemble des équations de contraintes du problème et par les limites des variables de décision x 2 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x 1

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FONCTION OBJECTIVE Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum x 2 8 Solution x 1 = 2 x 2 = 6 z = 36 (2, 6) 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x 1

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE § PHASES D’UNE ÉTUDE DE R. O. • Formulation du problème • Construction du modèle mathématique § § § • • Identification des variables associées au problème Formulation des contraintes qui délimitent les valeurs que peuvent prendre les variables Formulation de la mesure d’efficacité associée aux variables (fonction linéaire dite fonction objectif) Obtention d’une solution optimale à partir du modèle Vérification du modèle et de la solution Établissement de contrôles sur la solution Mise en œuvre de la solution

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RÉSULTAT D’UNE OPTIMISATION LINÉAIRE Le domaine admissible d’un PL peut être • vide: dans un tel cas, le problème est sans solution admissible (pas de solution optimale) • borné (et non vide): le problème possède toujours au moins une solution optimale • non borné: dans ce cas, selon la fonction objectif § § § le problème peut posséder des solutions optimales il peut exister des solutions admissibles de valeur arbitrairement grande (ou petite) dans un tel cas, le PL n'admet pas de solution optimale finie et est dit non borné

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FORMULATION DU PROBLÈME PROGRAMMATION LINÉAIRE Ressources par activité Activités Ressources 1 2 … n disponible 1 a 12 … a 1 n b 1 2 a 21 a 22 … a 2 n b 2 … …. …. m am 1 am 2 … amn bm Contribution c 1 c 2 … cn Ressource

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE MAXIMISATION § Maximiser Z = x 1 + 2 x 2 Sujet à 2 x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 -x 1 + x 2 4 x 1 5 x 1 0, x 2 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE MAXIMISATION x 2 X 1 = 2 -x 1 + x 2 = 4 X 2 = 6 8 Z = 14 6 x 1 = 5 4 x 1 + x 2 = 8 2 2 x 1 + x 2 = 4 0 2 4 6 8 10 x 1

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE MINIMISATION § Minimiser Z = x 1 - x 2 Sujet à ½x 1 + x 2 8 -x 1 + 8 x 2 40 x 1 8 x 2 8 x 1 0, x 2 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE MINIMISATION X 1 = 8 x 2 X 2 = 6 Z = 2 x 2 = 8 8 6 -x 1 + 8 x 2 = 40 4 x 1 = 8 2 0 ½x 1 + x 2 = 8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 1

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § INTRODUCTION • développée initialement par George Dantzig en 1947 • seule méthode exacte pour solutionner des problèmes linéaires de grande taille • méthode itérative algébrique où l’on circule séquentiellement sur les sommets à l’intérieur de la zone de solution jusqu’à l’obtention de la solution optimale

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROPRIÉTÉS DU SIMPLEXE § Zone de solution du problème linéaire toujours convexe • une surface est convexe si elle est située toute entière du même coté d ’un plan tangent § S’il existe une seule solution optimale au problème linéaire, elle est obligatoirement localisée sur un sommet de la zone de solution § S’il existe de multiples solutions optimales, au moins deux d’entre elles doivent être localisées sur des sommets adjacents § Le nombre de sommets de la zone de solution est fini § Si la solution réalisable localisée à un sommet donné n’a pas de voisin adjacent dont la solution est supérieure, ce sommet est la solution optimale

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ ALGORITHME DU SIMPLEXE 1. Déterminer une solution de base réalisable 2. Vérifier si la solution actuelle est optimale 3. Déterminer la variable hors base qui va devenir variable de base 4. Déterminer la variable de base qui sortira de la solution 5. Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon la technique de Gauss-Jordan

ALGORITHME DU SIMPLEXE

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONS § Systèmes d’équations équivalents • Systèmes qui possèdent le même ensemble de solutions § Variable de base • Variable qui a un coefficient unitaire positif dans une des équations du système et un coefficient nul partout ailleurs § Opérations pivot • Opération de Gauss-Jordan pour transformer un système d’équations équivalent dans lequel une variable devient de base § Système canonique • Système d’équations où il y a une variable de base par équation § Solution de base • Système d’équations où les variables hors base sont fixées à zéro résolu pour les variables de base

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FORME CANONIQUE § PROBLÈME DE MAXIMISATION § PROBLÈME DE MINIMISATION

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ FORME NORMALISÉE § PROBLÈME DE MAXIMISATION § PROBLÈME DE MINIMISATION

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § FORME CANONIQUE Max Z = 3 x 1 + 5 x 2 sujet à x 1 4 2 x 2 12 3 x 1 + 2 x 2 18 et x 1 0, x 2 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § FORME NORMALISÉE Max Z Z - 3 x 1 - 5 x 2 x 1 + x 3 2 x 2 + x 4 = 12 3 x 1 + 2 x 2 + x 5 = 18 avec xj 0, pour j =1, 2, 3, 4, 5 = 0 = 4 (2) (3) (0) (1)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § ÉTAPE D’INITIALISATION • • Déterminer une solution de base réalisable Porter les variables hors base à zéro Solutionner les variables de base Exemple: § § z, x 3, x 4 et x 5 sont les variables de base x 1 et x 2 sont les variables hors base • On obtient: § § § x 1 = 0 et x 2 = 0 x 3 = 4, x 4 = 12 et x 5 = 18 z = 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § VARIABLE ENTRANT DANS LA BASE • Variable hors base entrant dans la base • Celle qui sera choisie fera augmenter la valeur de la fonction objective le plus rapidement possible • Variable ayant le plus grand coefficient négatif (cas de maximisation)de l’équation (0) • Exemple: § X 2 devient variable de base

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § VARIABLE SORTANT DE LA BASE • Variable qui limitera le plus rapidement la progression de la nouvelle variable de base • Exemple § § si x 2 entre dans la base équation (2) • • § équation (3) • • § 2 x 2 + x 4 = 12 x 2 max = 6 3 x 1 + 2 x 2 + x 5 = 18 x 2 max = 9 limite maximale de x 2 égale 6 sinon x 4 devient négatif

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § OPÉRATIONS PIVOT • Système d’équations original (variables de base en gras) Z - 3 x 1 - 5 x 2 2 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 = 4 = 12 = 18 (0) (1) (2) (3) • Pour revenir à la forme canonique, il faut que les variables de base aient un coefficient unitaire dans une équation et nul dans les autres • Équation (2) multipliée par ½ 2 x 2/2 x 2 + x 4/2 = 12 /2 (2) + ½ x 4= 6 (2) • Il faut éliminer les termes x 2 des autres équations

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § OPÉRATIONS PIVOT (suite) • Équation (0) = ancienne (0) + 5 équation (2) Z Z - 3 x 1 - 5 x 2 + 5/2 x 4 = 30 + 5/2 x 4 = 0 (2) = 30 (0) • Équation (3) = ancienne (3) – 2 équation (2) 3 x 1 + 2 x 2 - 2 x 2 + x 5 - x 4 + x 5 = 18 = -12 = 6 (3) (2) (3)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § OPÉRATIONS PIVOT (suite) • Nouveau système équivalent d’équations Z - 3 x 1 x 2 + x 3 - 5/2 x 4 = 30 + ½ x 4 - x 4 + x 5 (0) = 4 = 6 (1) (2) (3)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § CRITÈRE D’OPTIMALITÉ • Optimalité assurée lorsqu’il est impossible de faire augmenter (cas de maximisation) la valeur de z • Exemple: § § § x 1 peut faire augmenter z Variable entrante x 1 Variable sortante x 5 • équation (1) • • • x 1 + x 3 = 4 x 1 max = 4 équation (3) • • 3 x 1 – x 4 + x 5 = 6 x 1 max = 2

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § SOLUTION OPTIMALE • Système équivalent d’équations Z x 1 x 2 • Variables hors base § x 4 = 0, x 5 = 0 • Variables de base § x 1 = 2, x 2 = 6, x 3 = 2 • Fonction objective § z = 36 x 3 + 3/2 x 4 + x 5 + 1/3 x 4 - 1/3 x 5 + ½ x 4 - 1/3 x 4 +1/3 x 5 = 36 = 2 = 6 = 2 (0) (1) (2) (3)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE § Méthode essentiellement identique § Informations • Coefficients des variables • Constantes des équations • Variables de base de chaque équation

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE § Initialisation § Critère d’optimalité • Coefficients de l’équation (0) non négatifs ? § Itération # 1 • Variable entrante x 2 § Entourer la colonne pivot • Variable sortante x 4 § Entourer la ligne pivot § Point pivot à l’intersection • Transformation de Gauss-Jordan

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE § Itération #1 (suite) • Diviser la ligne pivot par le nombre pivot

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE § Itération #1 (suite) l Appliquer les transformations l Nouvelle solution l z = 30 l Solution (0, 6, 4, 0, 6)

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE § Itération # 2 § Solution • (2, 6, 2, 0, 0) • z = 36

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE § Ensemble complet

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE § Forme canonique

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE § Forme normalisée

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE § Problème

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE § Itération 0 § X 2 entre § X 4 sort

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE § Itération 1 § X 1 entre § X 5 sort

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ SIMPLEXE SOUS FORME MATRICIELLE § Itération 2

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RÉSOLUTION AVEC MICROSOFT EXCEL

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ RÉSOLUTION AVEC LINDO

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § SITUATIONS PARTICULIÈRES • Égalité des profits relatifs § Choix aléatoire de la variable • Égalité des ratios § § Choix aléatoire Situation de dégénérescence: remonter à l’étape des ratios identiques • Solution non bornée § En pratique, une contrainte est absente • Solutions multiples § Variables hors base avec des coefficients nuls dans la fonction objective

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § VARIABLES ARTIFICIELLES • Cas § § § ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + ai 3 x 3 + … + ain xn bi Ajout d’une variable d’écart ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + ai 3 x 3 + … + ain xn – xm = bi Coefficient de la variable d’écart négatif ne peut servir comme variable de base Ajout d’une variable artificielle ai 1 x 1 + ai 2 x 2 + ai 3 x 3 + … + ain xn – xm + xa = bi

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ MÉTHODE DU SIMPLEXE § VARIABLES ARTIFICIELLES • Cas = § § L’ajout d’une variable artificielle permet l’insertion d’une variable de base dans la solution de départ Les variables artificielles sont éliminées de la solution en leur assignant une pénalité importante dans la fonction objective § RÉSOLUTION • Méthode du grand M • Méthode des deux phases

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ DUALITÉ PROBLÈME PRIMAL PROBLÈME DUAL

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ EXEMPLE DE DUALITÉ Le problème dual du programme Max z = x 1 + 4 x 2 Sujet à : § § x 1 – x 2 2 2 x 1 + x 2 5 x 2 3 x 1, x 2 0 est Min w = 2 y 1 + 5 y 2 + 3 y 3 Sujet à : § § § y 1 + 2 y 2 1 -y 1 + y 2 + y 3 4 y 1, y 2 , y 3 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ DUALITÉ

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ EXERCICE § Utiliser la méthode du simplexe • Max Z = 4 x 1 + 3 x 2 + 6 x 3 • Sujet à § § 3 x 1 + x 2 + 3 x 3 30 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 40 • et § x 1 0, x 2 0, x 3 0

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE TRANSPORT § EXEMPLE • • Une municipalité possède 3 serres pour fournir 4 parcs Capacité de production des serres C 1, C 2 et C 3 Demande hebdomadaire D 1, D 2 et D 3 Coût unitaire de transport Cij

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROBLÈME DE TRANSPORT § FORMULATION DU PROBLÈME

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ EXERCICE § 3 serres: • S 1 = 3 • S 2 = 7 • S 3 = 5 § 4 parcs: • • P 1 = 4 P 2 = 3 P 3 = 4 P 4 = 4 § Coûts d’expédition:

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ EXERCICE § 4 usines et 3 centres de distribution Distribution M 1 M 2 M 3 Disponibilité W 1 4 3 7 140 W 2 5 2 10 100 W 3 13 8 17 60 W 4 9 3 11 40 Demande 120 20 200 Usines

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER § Max Z = 10 x 1 + 50 x 2 • Sujet à § § § -x 1 + 2 x 2 5 x 1 + 2 x 2 14 x 1 8 • et § § x 1 0, x 2 0 x 1, x 2 entiers

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER

OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABILITÉ PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIER § Méthode de séparation et d’évaluation progressive (Branch-and-Bound Technique) • Choix de la variable de séparation § § Critère de la variable la plus distante Critère du meilleur cj