OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN Oleh Hafidh Munawir

OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN Oleh : Hafidh Munawir

BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a 1 X 1 + a 2 X 2 Contoh: Y = 50 + 0, 50 X 1 + 0, 60 X 2 II. Bentuk Non- Linier: 2. 1. Fungsi Kuadrat : Y = 12 X 1 + 18 X 2 - 2 X 12 - X 1. X 2 – 2 X 22 2. 2. Fungsi Eksponen : Y = 5. 0, 8 X 1. 0, 4 X 2 Y = ao. a 1 X 1. a 2 X 2

Lanjutan: 2. 3. Fungsi Pangkat : Y = ao. X 1 a 1. X 2 a 2 Contoh: Y = 50. X 10, 7. X 20, 4 2. 4. Fungsi Transedental : Y = ao. X 1 a 1. X 2 a 2. eb 1 X 1. eb 2 X 2 Y = 50. X 10, 7. X 20, 4. e 0, 6 X 1. e. 0, 5 X 2

BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA Ø Fungsi Tak Berkendala Ø Fungsi Berkendala

PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA Contoh : Fungsi Keuntungan : π = Keuntungan Q 1 = Output Q 1 Q 2 = Output Q 2

Dari fungsi ini : ØVariabel Q 1 dan Q 2 independen (tidak saling tergantung) ØBesaran Q 1 dan Q 2 tidak ada pembatas ØTitik optimum fungsi adalah titik ”Optimum Bebas”

Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0

Substitusi (1) & (2), didapat :

PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA Fungsi Berkendala: ……… Fungsi Tujuan Q 1 + Q 2 = 950 …Pers. pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q 1&Q 2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan;

Lanjutan: Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q 1 dan Q 2 untuk mencapai keuntungan maksimum. . ?

Lanjutan: Keuntungan Maksimum tersebut disebut ‘Titik Optimum Terkendala” atau “Maksimum Terkendala” Salah satu Cara menentukan titik optimum terkendala yaitu dengan Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)

Persamaan lagrange Persamaan dengan kendala U = f (x, y)………Fungsi Tujuan ax + by = c…. . . Pers. Kendala. Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange Persamaan Lagrange: Z = f(x, y) + λ (c – ax – by)

Langkah 2 metode lagrange Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx = 0, Zy = 0, dan Zλ = 0 Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga mendapatkan nilai x 0, y 0, dan λ 0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x 0, y 0, λ 0 ke dalam persamaan awal f(x, y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle point a. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum b. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0 maksimum c. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)

Contoh Soal : Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6 x 2 + 3 y 2 Dengan Kendala: x + y = 18 Tentukan : a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.

Jawaban: Fungsi Lagrange: C = 6 x 2 + 3 y 2 + λ ( 18 – x – y) Turunan Pertama = 0 d. C/ dx = Zx = 12 x – λ = 0………. (1) d. C/ dy = Zy = 6 y - λ = 0…………(2) d. C/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0. . . …(3)

MENENTUKAN TITIK KRITIS Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4): (1) Zx=0=12 x-λ (2) Zy=0=6 y-λ Jadi : 12 x-6 y=0. . . (4) (3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6 x – 6 y = 0 (4) 12 x-6 y = 0 x 1 12 x – 6 y = 0 Jadi : 108 -18 x = 0 x = 6 ; y = 12, λ = 72 f(x, y) = 6 x 2 + 3 y 2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648 Titik kritis (6, 12, 648)

Menentukan maks/min/saddle Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 – 0*0 = 72 Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6, 12, 648)

Lanjutan: Fungsi Utilitas Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : U = Q 1. Q 2 + 2 Q 1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q 1 dan Q 2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P 1. Q 1 + P 2. Q 2 = M. . . . 4 Q 1 + 2 Q 2 = 60. Tentukan Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas. . ?

Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): Q 2 BL: Pers. Kendala (garis Anggaran) Q 2* 0 I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu) Q 1* Q 1

Metode Pengali Lagrange Menentukan Fungsi Lagrange: U = Q 1. Q 2 + 2 Q 1 + λ ( 60 – 4 Q 1 - 2 Q 2). Turunan Petama Fungsi = 0. d. U/d. Q 1 = f 1 = Q 2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1) d. U/d. Q 2 = f 2 = Q 1 - 2 λ = 0. . . …. (2) d. U/d λ = f λ = 60 – 4 Q 1 – 2 Q 2 = 0…. (3)

Subtitusikan (1) ke (2): Eliminasi pers. (1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : (1). . d. U/d. Q 1 = Q 2 + 2 – 4 λ = 0 …. . . ( x 1) (2). . d. U/d. Q 2 = Q 1 - 2 λ = 0 ……. . . (x 2) Jadi : (1). . Q 2 + 2 – 4 λ = 0 (2). . 2 Q 1 - 4 λ = 0. jadi: Q 2 + 2 – 2 Q 1 = 0 Q 2 = 2 Q 1 – 2 ……………(a)

Substitusikan (a) ke Persamaan kendala: Substitusikan (a) ke persamaan (3): d. U/d λ = 60 – 4 Q 1 – 2 Q 2 = 0……. (3) Jadi: 60 – 4 Q 1 – 2 (2 Q 1 – 2) = 0 60 – 8 Q 1 + 4 = 0………Q 1* = 8. (3)…. . 60 – 4(8) – 2 Q 2 = 0 28 – 2 Q 2 = 0 ……. . Q 2* = 14.

II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL Formulasi Masalahnya adalah: Meminimisasi biaya: C = P 1. X 1 + P 2. X 2………Fungsi Tujuan (Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost) Dengan Kendala Quota Produksi: Q 0 = f ( X 1, X 2 )…………Pers. Kendala (Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)

Fungsi Lagrange: C = P 1. X 1 + P 2. X 2 + λ [ Qo – f (X 1, X 2)] Menentukan Turunan Pertama Fungsi: d. C/d. X 1 = f 1 = 0 …………. . (1) d. C/d. X 2 = f 2 = 0 …………. . (2) d. C/d λ = f 3 = 0 …………. (3)

SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA 1. Minimisasi biaya dengan kendala output: Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4 Q 12 +5 Q 22 -6 Q 2; dan persamaan kendala: Q 1 + 2 Q 2 = 18; Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan 2. Minimisasi Biaya Kendala Output: Diketahui TC = 6 Q 12 + 3 Q 22; dengan kendala : Q 1 + Q 2 =18; Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan 3. Minimisasi Biaya kendala output: Diketahui fungsi tujuan: TC=Q 12+2 Q 22 -Q 1. Q 2; dengan kendala: Q 1+Q 2=8. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: Soal latihan 4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5 X 12 +10 X 1. X 2 -7 X 22+40 X 1; kendala X 1+X 2=1. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 5. Maksimisasi produksi kendala Biaya: Diketahui fungsi tujuan: TP=X 12+5 X 1. X 2 -4 X 22, dengan kendala: 2 X 1+3 X 2=74. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab 6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Diketahui fungsi utilitas U=Q 1. Q 2; dengan kendala: 15 Q 1+5 Q 2=150. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab 7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 4 Q 1. Q 2 – Q 22 ; dan Kendala: 2 Q 1 + 5 Q 2 = 11. Tentukan : a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 8. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6 Q 1. Q 2 – 2 Q 12 – Q 22. dengan kendala: Q 1+Q 2 = 9. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 9. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan : U = 16 Q 1 + 26 Q 2 – Q 12 – Q 22. Kendala: 3 Q 1 + 4 Q 2 = 26. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab 10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan : U = Q 12 +2 Q 22 +5 Q 1. Q 2. Dengan kendala: 5 Q 1 + 10 Q 2 = 90. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Tentukan U optimum; c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.

Lanjutan: soal latihan 11. Optimasi utilitas kendala anggaran: Fungsi Utilitas : U = 4 Q 1 Q 2 – Q 12 – 3 Q 22 Fungsi Anggaran : 2 Q 1 + 3 Q 2 = 45 Tentukan: a. Q 1 dan Q 2 yang memaksimumkan utilitas b. Tentukan U optimum, buktikan bahwa U optimum adalah optimum maksimum.

Selamat mengerjakan dan berdiskusi