OPTIMASI MULTIVARIABEL Differensial ker dari f Jika semua

OPTIMASI MULTIVARIABEL

Differensial ke-r dari f Jika semua turunan parsial dari f sampai ke-r 1 ada kontinu di titik x* (x* sebagai vektor) maka : sebagai diferensial ke-r dari f di x* (vektor x*)

Deret Taylor f(x) disekitar vektor x* Sisa Jika f(x) mempunyai titik optimum di x = x* dan jika turunan pertama ada, maka :

Misalkan x* merupakan titik optimum dan H matriks turunan parsial kedua (matriks Hessian) f(x) di x= x* a. x* titik minimum, jika H definit positif b. x* titik maximum, jika H definit negatif c. Lainnya titik pelana atau tidak ada

Contoh Matriks a 1 n a n 1 . . a nm . . . . a 11

Penjelasan Matriks A definit positif, jika dan hanya jika A 1, A 2, . . . An positif Matriks A definit negatif, jika dan hanya jika tanda Aj sama dengan (-1)j untuk j = 1, 2, . . . n. Jika beberapa Aj positif dan lainnya nol matriks A semi definit positif

Lanjutan Bentuk Matriks Hessian Merupakan turunan parsial kedua dari f SD, bentuk kuadratiknya :

Contoh Soal Tentukan titik optimum dari :

Jawaban Syarat perlu untuk titik optimum Jadi Persamaan ini dipenuhi melalui titik (0, 0); (0, -8/3); (-4/3, 0); (-4/3, -8/3)

Turunan Parsial Kedua

Matriks Hessian

Kesimpulan Titik (x 1, x 2) J 1 J 2 J Sifat x f(x) (0, 0) 4 32 Definit Positif Min. Lokal 6 (0, -8/3) 4 -32 Titik Pelana 418/27 (-4/3, 0) -4 -32 Titik Pelana 194/27 (-4/3, 8/3) --4 32 Definit Negatif Max. Lokal 50/3

Latihan Soal 1. Tentukan nilai optimum dari :

Jawaban

Jawaban (Lanjutan)

Jawaban (Lanjutan) ; ; J 1 = -8 J 2 = 48 – 16 = 32 Titik optimum di (7, 9) dan f(7, 9) titik max definit negatif

2. Tentukan Matriks Hessian dari f(x) = sin x + sin y

3. Tentukan Matriks Hessian dari f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2