OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN Fungsi kontinu Min

OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN Fungsi kontinu Min f(x) Kendala gj = 0, di mana j = 1, 2, . . . m Vektor Rn, syarat m n. . .

Penyelesaian dengan 3 cara : 1. Metode Substitusi Langsung a. nyatakan n variabel dengan (n-m) variabel lain b. substitusikan m kendala ke fungsi tujuan, fungsi tujuan mengandung n-m variabel c. selesaikan optimasi n-m variabel tanpa kendala Contohnya

Contoh: Minimumkan f(x 1, x 2, x 3)= ½(x 12+ x 22+ x 32) Kendala g 1= x 1 - x 2 = 0 g 2= x 1+x 2+x 3 -1 Jawab: g 1= 0 x 1= x 2 g 2= 0 x 1+x 3 -1=0 x 3=1 -2 x 1 f(x 1, x 2, x 3)= ½(x 12+ (1 -2 x 1)2)=½(2 x 12+(1 -2 x 1)2) f(x 1) = ½(4 x 1+2(1 -2 x 1)(-2)) = 2 x 1 -2(1 -2 x 1) = 0 x 1 -(1 -2 x 1)= 0 x 1 -1+2 x 1= 0 3 x 1= 1/3, x 2= 1/3 x 3= 1 -2/3 = 1/3 = 2+4=6>0, f(1/3, 1/3)= 1/6 Optimum Minimum

2. Metode Constrained Variation a. Untuk n = 2, m = 1 agar f(x 1*, x 2*) merupakan optimum x 1*, x 2* harus memenuhi b. Syarat perlu agar f(x*) merupakan optimum . . . Contohnya

Minimumkan f = 9 -8 x 1 - 6 x 2 - 4 x 3+ 2 x 12+2 x 22+ x 32+ 2 x 1 x 2+2 x 1 x 3 Kendala x 1+x 2+2 x 3= 3 Jawab: n = 3, m = 1, Ambil y 3 = x 3, y 2 = x 2 sehingga y 1= x 1 k=m+1=2 -6+4 x 2+ 2 x 1 1 -8+ 4 x 1+2 x 2+2 x 3 1 = -6+4 x 2+2 x 1+8 -4 x 1 -2 x 2 -2 x 3 = 2+2 x 1 -2 x 3 = 0 x 1 – x 2 + x 3 – 1 = 0. . . (1) Lanjutkan

k=m+2=3=n -4+2 x 3+2 x 1 2 -8+ 4 x 1+2 x 2+2 x 3 1 = -4+2 x 3+2 x 1+16 -8 x 1 -4 x 2 -4 x 3 = 12 -2 x 3 -6 x 1 -4 x 2 = 2(6 -x 3 -3 x 1 -2 x 2)= 0 3 x 1+2 x 2+x 3 -6= 0. . . (2) 3 x 1+2 x 2+x 3 -6 = 0. . . (2) x 1 – x 2+x 3– 1 = 0. . . (1) (-) 2 x 1+ 3 x 2 - 6 = 0 x 2= 5 - 2 x 1 3

x 1 – x 2+x 3– 1 = 0 5 - 2 x 1 – 3 +x 3– 1 = 0 3 x 1– 5+2 x 1+3 x 3– 3= 0 5 x 1+3 x 3– 8= 0 x 3 = 8 - 5 x 1 3 x 1 – x 2+2 x 2 = 3 5 - 2 x 1 8 - 5 x 1 – +2 =3 3 3 3 x 1 + 5 - 2 x 1 + 16 - 10 x 1 = 9 9 x 1= 12 x 1 = 4 3 ; x 2 = 7 ; x 3 = 4 9 9

3. Metode Multiplikator Jika titik-titik ekstrem dari fungsi Z = f(x; y) harus ditentukan dengan restriksi (x; y)=0, maka berlaku persyaratan sebagai berikut: (x; y)=0; Penentuan Titik Ekstrem < 0 max > 0 min Catatan: Metode tersebut juga berlaku untuk n variabel bebas dan m restriksi (n + m persamaan) Contohnya

Contoh: Fungsi Z = f(x; y) = x 2 + xy + y 2 Restriksi : (x; y) = xy – 9 = 0 Tentukan titik ekstrimnya! Jawab : Xy – 9 = 0 2 x + y= 0 x + 2 y + x= 0 x 1; 2 = 3 y 1; 2 = 3 = - 3 Nilai ekstrem adalah P 1 (3; 3; 27) & P 2 (-3; -27)

Penentuan Jenis Titik Ekstrem : Oleh karena itu: Untuk P 1 berlaku: = 2*9 – 2(1 -3)*3*3 + 2*9 = 72 > 0 Minimum Untuk P 2 berlaku: = 2*9 – 2(1+3)*(-3) + 2*9 = -36 > 0 Maksimum

Metode Lagrange 1. Prinsipnya adalah menambahkan satu variabel Syarat perlu agar f(x 1*, x 2*) merupakan jawaban masalah optimasi Minimasi f(x 1*, x 2*) Kendala g(x 1, x 2) = 0 adalah

2. Misalkan x suatu vektor masalah optimasi f(x) terhadap 3. kendala g(x) = 0 didapat dengan f(x) = g(x), dan g(x) = 0 L(xi, ) = f(xi) + g(xi) Vektor x, y memenuhi persamaan tersebut = titik kritis Syarat cukup agar f(x*) merupakan minimum relatif Definit Positif 4. Optimasi multivariabel dengan kendala pertidaksamaan 5. Prinsipnya adalah menambah variable slack tak negatif yj 2 sehinggaminimum f(x) dan kendala gj(x) 0, j = 1, 2, . . . m menjadi Gj(x, y) = gj(x) + yj 2 = 0, j = 1, 2, . . . m 6. Titik x* dimana f(x*) minimum dengan syarat Kuhn. Tucker Dimana i = 1, 2, . . . n, j 0, j ji J 1 = kendala aktif J 2 = kendala tidak aktif

Jika kumpulan kendala aktif tidak diketahui, maka: , i = 1, 2, . . . n , j = 1, 2, . . . m Contoh: 1. Minimasi f(x 1, x 2, x 3) = x 12+x 22+ x 3+40 x 1+20 x 2 -3000 2. Kendala g 1= x 1 -50 0 3. g 2= x 1+x 2 -100 0 4. g 3= x 1+x 2+x 3 -150 0

1. 2. 3. 4. Contoh: Minimasi f(x 1, x 2, x 3) = x 12+x 22+ x 3+40 x 1+20 x 2 -3000 Kendala g 1= x 1 -50 0 g 2= x 1+x 2 -100 0 g 3= x 1+x 2+x 3 -150 0 Syarat Kuhn-Tucker 2 x 1+40+ 1+ 2+ 3 = 0 2 x 2+20+ 2+ 3 = 0 2 x 3+ 3 = 0 jgj = 0, j = 1, 2, 3 1(x 1 -50) = 0 2(x 1+x 2 -100) = 0 3(x 1+x 2+x 3 -150) = 0 j 0, j = 1, 2, 3, 1 0, 2 0, 3 0 Dari 1(x 1 -50) = 0 1 = 0 atau x 1 = 50

(i) Jika x 1 = 50 2 x 1+40+ 1+ 2+ 3 = 0 2 x 2+20+ 2+ 3 = 0 2 x 3+ 3 = 0 3 = -2 x 3 2 = -20 -2 x 2 - 3 = -20 -2 x 2+2 x 3 1 = -40 -2 x 1 - 2 - 3 = -120+2 x 2 Substitusi: Sehingga: 2(x 1+x 2 -100) = 0 (-20 -2 x 2+2 x 3)(x 1+x 2 -100) 3(x 1+x 2+x 3 -150) = 0 -2 x 3 (x 1+x 2+x 3 -150) = 0 Sistem ini mempunyai 4 jawaban, yaitu: 1. -20 -2 x 2+2 x 3 = 0, x 1+x 2+x 3 -150 x 3 = 150 -x 1 -x 2 2. -10 -x 2+x 3 = 0 x 3 = 150 -50 -45 = 55 3. 50+x 2+x 3 -150 = 0 x 1= 50, x 2= 45, x 3 = 55 4. 90 -2 x 2= 0 5. x 2= 0 6. x 1= 50, x 2= 45 melanggar x 1+x 2 100

2. -20 -2 x 2+2 x 3 = 0, -2 x 3 = 0 x 3 = 0, x 2 = -10 x 1= 50, x 2= -10, x 3 = 0, melanggar x 1+x 2 100 3. x 1+x 2 -100 = 0, -2 x 3 = 0 x 3 = 0, 50+x 2 = 100 x 2 = 50 4. x 1= 50, x 2= 50, x 3 = 0, melanggar x 1+x 2+x 3 150 4. x 1+x 2 -100 = 0, x 1+x 2+x 3 – 150 = 0 5. 50+x 2 = 100, 50+50+x 3 =150 6. x 2 = 50 x 3 = 50 7. x 1= 50, x 2= 50, x 3 = 50 Jawaban ini memenuhi kendala 3 = -2 x 3 = 100, 2 = -20 -100+100= -20, 1 = -120+100 = -20 1 = -20, 2 = -20, 3 = -100 x 1 = 50, x 2 = 50, x 3 = 50 Sehingga titik optimum : x 1* = x 2* = x 3* = 50

2. Maksimumkan f(x 1, x 2) = x 1 x 2, x 1>0, x 2>0 Kendala g(x 1, x 2)= x 12+x 22 -4 = 0 Jawab: L(x 1, x 2, ) = x 1 x 2 + (x 12+x 22 -4) (1) dan (2) -x 2/x 1 = -x 1/x 2 x 22 = x 12 (3) x 12+x 22 -4 = 0 2 x 12 = 4 x 1 2 = 2 x 1 = 2, x 2 = 2 = 1/2