Optimalni prijemnici za kanal sa aditivnim bijelim Gaussovim

Optimalni prijemnici za kanal sa aditivnim bijelim Gauss-ovim šumom Model primljenog signala koji je prosao kroz AWGN kanal

Primljeni signal u intervalu 0≤t≤T se može izraziti kao: gdje je n(t) aditivni bijeli Gauss-ov šum sa spektralnom gustinom srednje snage: N 0 je jednostrana spektralna gustina srednje snage bijelog Gauss-ovog šuma. Optimalni prijemnik je prijemnik koji u datim uslovima obezbeđuje prijem signala uz minimalnu vjerovatnoću greške. Prijem signala se obavlja u dva koraka. Prvi korak je demodulacija signala, a drugi korak je detekcija jednog od M mogućih talasnih oblika. Prijemnik

Funkcija demodulatora signala je da konvertuje primljeni talasni oblik r(t) u N-dimenzioni vektor: gdje je N dimenzija signala koji se prenosi. Funkcija detektora je da na bazi vektora r odluči koji je od M mogućih signala prenesen. Demodulator signala se može realizovati na principu korelatora ili na bazi podešenih filtara. Kako od signala r(t) dobiti N-dimenzioni vektor r? i. Demodulator sa korelatorom Projekcija signala r(t) na N baznih funkcija {fn(t)}se može prikazati kao:

gdje je: Korelator

Činjenica je da se signal r(t) u intervalu 0≤t≤T može izraziti kao: za svako n. Njihove kovarijanse su:

Prethodni izraz je različit od nule kada je m=k. Stoga, N komponenti šuma {nk} predstavljaju Gauss-ove slučajne promjenljive nulte srednje vrijednosti sa zajedničkom varijansom: Izlazi iz korelatora {rk} uslovljeni prenosom m-tog simbola su Gauss-ove slučajne promjenljive sa srednjim vrijednostima: i varijansom:

Pošto su komponente šuma {nk} nekorelisane Gauss-ove slučajne promjenljive, one su takođe i statistički nezavisne. Kao posljedica toga, izlazi korelatora {rk} uslovljeni prenosom m-tog simbola su statistički nezavisne Gauss-ove slučajne promjenljive, pa je: gdje je: pa je:

Demodulator sa podešenim filtrom Umjesto da se koristi N korelatora za generisanje promjenljivih {rk}, može se koristiti N linearnih filtara, pri čemu su impulsni odzivi tih filtara: gdje su {fk(t)} N baznih funkcija, dok je hk(t)=0 van intervala 0≤t≤T. Izlazi iz filtara su: Ako se izlaz iz filtra odabira u trenutku t=T dobija se odbirak: Dakle odbirci signala na izlazu iz pojedinih filtara predstavljaju koordinate Primljenog vektora r.

Demodulator sa podešenim filtrima

Na prethodnoj slici N podešenih filtara su podešeni za bazne funkcije {fk(t)}. U principu to znači da su filtri podešeni prema obliku prenošenog signala, tj. : Odziv podešenog filtra na pobudu signalom s(t) je: i u odsustrvu šuma predstavlja autokorelacionu funkciju signala s(t) sa maksimumom u trenutku t=T. Na sledećoj slici prikazan je odziv y(t) za trougaoni oblik funkcije s(t).

Najvažnija osobina podešenog filtra je maksimizacija odnosa signal/šum u AWGN kanalu (SNR). Da bi se dokazala ova osobina, pretpostavlja se da se primljeni signal r(t) sastoji od signala s(t) i šuma n(t), koji ima nultu srednju vrijednost i spektralnu gustinu srednje snage: Odziv podešenog filtra u prisustvu šuma je: U trenutku odabiranja t=T, komponente signala i šuma su:

Cilj je odabrati impulsni odziv filtra koji maksimizuje izlazni odnos signal/šum (SNR 0) definisan kao: Imenilac u prethodnom izrazu je varijansa šuma na izlazu iz filtra, tj. : Može se primijetiti da varijansa šuma zavisi od spektralne gustine srednje snage šuma i energije impulsnog odziva h(t). Odnos signal/šum postaje:

Ako se primjeni Cauchy-Schwarz-ova nejednakost: Izlazni (maksimalni) odnos signal/šum je: Treba primijetiti da izlazni SNR iz podešenog filtra zavisi od energije talasnog oblika s(t), ali ne od detaljnih karakteristika s(t).

Interesantna je interpretacija prethodnog rezultata u frekvencijskom domenu. Funkcija prenosa podešenog filtra je: Talasni oblik signala na izlazu podešenog filtra je: Odabiranjem izlaznog signala iz podešenog filtra u trenutku t=T, dobija se: Šum na izlazu iz podešenog filtra ima spektralnu gustinu srednje snage:

Snaga šuma na izlazu iz podešenog filtra: Odnos signal/šum na izlazu podešenog filtra je: Nakon demodulacije, bilo primjenom korelatora bilo podešenog filtra, formiran je signalni vektor r koji sadrži sve informacije o signalu neophodne za odlučivanje. U sledećem koraku treba pronaći optimalni algoritam za detekciju primljenih simbola.