OPTICS BY THE NUMBERS LOttica Attraverso i Numeri
OPTICS BY THE NUMBERS L’Ottica Attraverso i Numeri Michael Scalora U. S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Alabama, 35898 -5000 & Universita' di Roma "La Sapienza" Dipartimento di Energetica Rome, April-May 2004
Integrazioni Numeriche di Equazioni differenziali di Primo Grado Soluzione Numeriche di Equazioni Nonlineari: Predictor-Corrector Algorithm
Ritorniamo alla tipica equazione differenziale di primo grado che abbiamo gia visto, e risolviamo. La soluzione puo anche essere espressa cosi: L’integrale rappresenta l’area sotto la curva p(t). Il problema numerico: come meglio stimarla p(t) 0 t
Se ci limitiamo ad intervalli infinitesimali. . . La funzione p(t’) puo essere approssimata come una costante data dal valore all’inizio dell’intervallo. . . Dato un punto di partenza diverso da zero
La soluzione approssimata e’… } …mentre la soluzione esatta e’… Il confronto rivela un errore dato dalla differenza delle due soluzioni… } Taylor expansion dell’esponenziale
} } Stimato con un errore dell’ordine dt 2, l’integrale e’ l’area del rettangolo. bp(t 0) dt invece rappresenta la sottostima dell’integrale, che per funzioni che variano rapidamente puo essere notevole.
How can we increase the accuracy of the solution? b p(t 0+dt) } b p(t 0) dt +
♠ ♠ Solve for p(t 0+dt)…
confrontando con la soluzione esatta. . . Taylor expansion Nella gran parte dei casi, una soluzione con un errore del terzo ordine e’ piu che sufficiente.
Simple example: Exact solution First order accurate solution Second order accurate solution
x(0)=1 First order solution Second order solution
x(0)=1
x(0)=1
First order solution Second order solution
Let’s look at the more generic equation… f [x(t 0+dt)] f [x(t 0)] dt
. f [x(t 0+dt)] f [x(t 0)] dt …quindi rappresenta un punto al centro dell’intervallo, che stima l’area con accuratezza al secondo ordine
Example Soluzione esatta… Risolviamo numericamente…
♠ ♠ Per semplicita, riscriviamo cosi…. …e sostituiamo x sul lato destro…
Confrontiamo con un’espanzione di Taylor…
La soluzione e’ accurata al secondo ordine, ma la procedura non e’ ne conveniente, (come nel caso di equazioni nonlineari: ) o efficiente, se si devono calcolare derivate per l’espanzione di Taylor:
Invece, adottiamo il Predictor-Corrector algorithm (1) Prediction Step: obtain a First-Order solution at t 0+dt…
1. (2)…and use it to correct (or find) the solution by averaging the values of the functions at the beginning and at the end of the interval… dt
…which is just a Taylor expansion for ANY function Therefore, the correction step… …always finds a second order accurate (error is of order dt 3) solution to the generic differential equation
Back to our example…
Predictor-Corrector da una soluzione accurata al secondo ordine
Sommario Integrazioni Numeriche di Equazioni differenziali di Primo Grado Soluzione Numeriche di Equazioni Nonlineari: Predictor-Corrector Algorithm PC method da soluzioni accurate al secondo ordine cioe l’errore e’ del terzo ordine: basta nella maggior parte dei casi.
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