Opracowaa Teresa GBICKA TRJKT wielokt o 3 bokach

Opracowała: Teresa GĘBICKA

TRÓJKĄT wielokąt o 3 bokach Trójkąt ABC - ABC posiada: wierzchołki: A, B, C; boki: AB=a, BC=b, CA=c; kąty: CAB= , ABC= , ACB= C Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą c A od sumy długości dwóch pozostałych , ale większą od ich różnicy. b a B a<b+c i b<a+c i c<a+b i a> b-c b> a-c c> a-b

Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty Trójkąt ostrokątnywszystkie kąty ostre <90 o Trójkąt prostokątnyjeden kąt prosty =90 o <90 o Trójkąt rozwartokątnyjeden kąt rozwarty 90 o < <180 <90 o o

Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki c b a Trójkąt różnoboczny każdy bok ma inną długość a=b=c Kąty mają różne miary b b a a Trójkąt równoramiennyprzynajmniej dwa boki tej samej długości a - podstawa trójkąta b - ramiona trójkąta Kąty przy podstawie mają taką samą miarę a a Trójkąt równobocznywszystkie boki są tej samej długości Wszystkie kąty mają taką samą miarę = 60 o

TWIERDZENIE: Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°. + + = 180 k A DOWÓD: C Rysujemy pomocniczą prostą k równoległą do boku AB, przechodzącą przez wierzchołek C. = = są to kąty naprzemianległe B zatem + + = + +. Ponieważ + + = 180 , więc również + + = 180. zadanie

Kąty zewnętrzne trójkąta Kątem zewnętrznym w trójkącie nazywamy, kąt przyległy do kąta wewnętrznego. Kąt zewnętrzny trójkąta, to kąt utworzony przez jeden bok trójkąta i przedłużenie. drugiego boku. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie 2 kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. x x = + y = + z = + x Kąt zewnętrzny x, przylega do kąta wewnętrznego z z y y Suma kątów zewnętrznych wynosi 720 o zadanie

Wysokości w trójkącie h 1, h 2, h 3 - wysokości trójkąta Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony prostopadle z wierzchołka do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. W każdym trójkącie można poprowadzić 3 wysokości, które przecinają się w jednym punkcie. h 1 h 2 h 1 . h 3 . O. . h 2 . . . O. h 3 W trójkącie prostokątnym, punkt przecięcia się wysokości leży w wierzchołku kąta prostego. W trójkącie ostrokątnym, punkt przecięcia się wysokości leży wewnątrz trójkąta. . h 2 h 3 . O W trójkącie rozwartokątnym, punkt przecięcia się wysokości leży na zewnątrz trójkąta.

Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli kąt, na dwa kąty przystające. dwusieczna kąta Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. C Każdy bok trójkąta jest styczny do okręgu. . r O A Trójkąt jest opisany na okręgu, a okrąg wpisany jest w trójkąt. B zadanie

k Symetralne boków trójkąta . A . Symetralna odcinka to prosta prostopadła, dzieląca odcinek na dwie równe części inaczej: oś symetrii odcinka, która jest do niego prostopadła. . B Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. C Każdy wierzchołek trójkąta leży na okręgu. Okrąg jest opisany na trójkącie. Trójkąt jest wpisany w okrąg. r A . O B symetralna boku AB symetralna boku BC symetralna boku AC

C Środkowa trójkąta środkowa Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. A 1 4 3 S D . D B W trójkącie możemy poprowadzić 3 środkowe. Przecinają się one w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. C E A F 2 B Punkt S jest punktem przecięcia się środkowych. Punkt S dzieli każdą ze środkowych w stosunku 1: 2 1 SD = SC czyli 2 1 SD = CD 3 Odcinki łączące środki boków są równoległe do przeciwległych boków i równe są ich połowie 1 EF AB i EF = AB 2 Jeżeli w trójkącie połączymy odcinkami środki jego boków, to otrzymamy 4 takie same (przystające) trójkąty.

Cechy przystawania trójkątów c 1 f b 1 e 2 d a I cecha przystawania trójkątów (b b b) Jeżeli 3 boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające: a=d b=e c = f. II cecha przystawania trójkątów (b k b) Jeżeli 2 boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta, są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. a = d c = f = 1 III cecha przystawania trójkątów (k b k) Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta, są odpowiednio równe bokowi i 2 kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. b = e = 1

Cechy podobieństwa trójkątów 1 c b c 1 1 a b 1 1 a 1 I cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne: a 1 b 1 c 1 a= b = c II cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli miary 2 kątów jednego trójkąta, są równe miarom 2 kątów drugiego trójkąta to trójkąty są podobne. = 1 III cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. a 1 b 1 = a b = 1

Pole i obwód trójkąta Ob - obwód dowolny trójkąt c h b trójkąt równoramienny Ob = a + b + c P = 1 2 a. h a a a Ob = a +2 b b b h P = 1 2 a. h a trójkąt równoboczny a h P - pole trójkąt prostokątny Ob = 3 a P = 1 2 a. h Wysokość w trójkącie równobocznym wynosi: wtedy pole obliczamy: b c a Ob = a+b+c P = 1 2 a. b

Zadanie 1. Znajdź miary kąta x w trójkątach: c) a) 32º 40º x b) 2 x 3 x x x 70º x rozwiązanie Zadanie 2

Rozwiązanie Przy obliczeniach wykorzystujemy twierdzenie, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180º a) 40º+x+32º=180º x+72º=180º x=180º-72º x=108º c) b) x+2 x+3 x=180º 6 x=180º x=30º x + 70º = 180º 2 x = 180º - 70º 2 x = 110º x = 55º

Zadanie 2. Znajdź kąty x i y. b) a) A B B 30 95 D O O C y 50 AB CD 40 A x D . y 20 x C

Zadanie 3. Znajdź miary kątów zewnętrznych x i y. 105 x 31 y rozwiązanie

Rozwiązanie Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to brakujący kąt wewnętrzny trójkąta ma miarę : = 180°- 105° - 31º = 44°. Kąt x jest kątem przyległym do kąta . Suma kątów przyległych wynosi 180°, więc: x + = 180º x + 44º =180º x=180º - 44º x=136º Kąt y jest kątem przyległym do kąta 31º , więc: y + 31º = 180º y=180º - 31º y = 149º Odpowiedź: Kąty zewnętrzne trójkąta mają miary odpowiednio równe x=136º i y=149º.

Zadanie 4. Dany jest trójkąt o kątach przy podstawie 70º i 80º a) wyznacz kąt pod jakim przecinają się dwusieczne tych kątów; b) wyznacz kąt , pod jakim przecinają się wysokości poprowadzone z wierzchołków tych kątów. a) Uwaga. Podając kąt, pod jakim przecinają się proste nieprostopadłe, będziemy podawać kąt ostry. rozwiązanie

Rozwiązanie a) C b) C D x y 80º x 80º 40º A Obliczamy kąt : A 35º 70º 40º+ + 35º = 180º +75º = 180º - 75º = 105º Obliczamy kąt między dwusiecznymi: x+ =180º x = 180º- 105º x = 75º . O . F x 70º B z ABF obliczamy kąt 70º+90º+ = 180º B 160º+ =180º =20º z ABD obliczamy kąt 80º+90º+ =180º 170º+ =180º Z ABO obliczamy kąt =10º + + = 180º 20º+10º+ =180º =150º Kąt x przylega to kąta , więc + x = 180º x= 180º-150º x=30º Odp. : Dwusieczne przecinają się pod kątem 75º, a wysokości 30º.