Opercie s mocninami s celoselnm mocniteom pre iakov

Operácie s mocninami s celočíselným mocniteľom pre žiakov 8. a 9. ročníka ZŠ

Obsah: Mocnina s prirodzeným mocniteľom n Sčitovanie a odčítavanie mocnín n Násobenie mocnín n Delenie mocnín n Umocňovanie mocnín n Preskúšaj sa n Niekoľko zaujímavostí o mocninách n

Mocnina s prirodzeným mocniteľom n Príklad : n Súčin n rovnakých činiteľov a zapisujeme v tvare an. a. a. . . a. a n činiteľov an

(exponent) n Výraz an je n-tá mocnina ľubovoľného čísla a, kde n je prirodzené číslo.

Vlastnosti mocnín s prirodzeným mocniteľom n n Ak a=0, potom platí: 01=02=03=. . . . 0 n=0. Každá prirodzená mocnina nuly sa rovná nule. Ak a>0, potom mocnina je kladné číslo. Napríklad n 26=2. 2=64; 0, 53=0, 5=0, 125. Ak a<0, potom napríklad (-3)2=(-3)=+9; (-5)4=(-5). (-5)=+625 ak n je párne, mocnina je kladné číslo, (-3)3=(-3)=-27; (-5)5=(-5). (-5)=-3 125 ak n je nepárne, mocnina je záporné číslo.

Úlohy na precvičovanie: Zapíšte súčin v tvare mocniny: n 2 x. 2 x = (-3, 5 b) = (x+1) = n Zapíšte mocninu v tvare súčinu: n n n 75 = (-0, 4 a)4 = (2+x)2 = n Napíšte mocninu, ktorá má základ -0, 1 a exponent 5. n Výsledok mocniny (3 -2. 5)6 bude kladný alebo záporný? n

Sčitovanie a odčítavanie mocnín n n Sčitovať a odčitovať môžeme iba tie 2 + 2 rovnaký 2)+6 x+(-3+2) mocniny, ktoré majú základ aj = 5 x 2 – 3 + 6 x + 7 x = (5 x 2+7 x rovnakého mocniteľa, a to tak, 2že sčítame ich = (5+7)x + 6 x + (-1) = koeficienty Sčítance Príklad: spočítame vhodne zoskupíme = 12 x 2 + 6 x - 1

Vzorové riešenie úloh: n 4 x 2 +2 y 3 -5 z -10 x 2 -2 y 3 +7 z = zoskupíme sčítance = (4 x 2 -10 x 2)+ (2 y 3 -2 y 3)+(-5 z+7 z) = 0 vypočítame = -6 x 2 +2 z n 4 a 2 -7 b - 5(3 a 2 - b) = 4 a 2 -7 b -15 a 2 + 5 b = = (4 a 2 - 15 a 2) + (-7 b +5 b) = = -11 a 2 + (- 2 b ) = -11 a 2 - 2 b zoskupíme sčítance odstránime vypočítame zátvorky

Úlohy na precvičovanie: n n n n 7 a 2 -6 a+11 a 2+5 a = 13 m 3 -12 m 2+11 m-9 m 2 -7 m 3 = 36 a 2 -64 ab+25 b 2 -16 a 2+27 ab+9 b 2 = 8, 5 n 2 -12, 6 n-3, 6 n 2 -11, 7 n = 11 x 2 -(-6 x)+(-5 x 2)-(2 x+3 x 2) = 12 k 3 -3 k 2 -4(5 k 3+k 2)-7(-9 k 2) = 4 y-[5 y 2 -(13 y 2 -6 y)]-(2 y-3 y 2) = 5 r-(12 r 2 -2 r)-[5 r-(2 r-12 r 2)] =

Násobenie mocnín n Príklad : Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom mocniteľov. n m a. a = n+m a m, n N

Vzorové riešenie úloh: vynásobíme koeficienty n 1 2 5 d. (-7 d ) = 5. (-7) d 2+1 = -35 d 3 vynásobíme mocniny vynásobíme s rovnakým koeficienty základom n n 0, 8 x 1 y 2 z 3. 10 x 2 y 1 z 1= 0, 8. 10 x 1+2 y 2+1 z 3+1 = vynásobíme mocniny s rovnakým základom = 8 x 3 y 3 z 4 (12 -6 m)x(12 -6 m)2 y = (12 -6 m)x+2 y vynásobíme mocniny s rovnakým základom

Úlohy na precvičovanie: n 6 y 2. y 3 = 3 x 2 y. 5 xy 2 = a 3 b 7. ( -3 a 2 bc 6). (-2 a 5 c 3)= 0, 5 abc 3. 3 a 2 c. (-2 b 4 c 2) = -3 xy 3. (-4 x 5) = n Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť: n n n x. 53 = 57 38. 3 x = 310 23. x 4 = 27

Delenie mocnín n Príklad : Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom mocniteľov. m a : n a = m-n a m, n N, a≠ 0

Mocniteľ nula n Ak m = n a súčasne x≠ 0, platí: , ale aj , teda n n . Každé číslo (rôzne od nuly) umocnené na nultú sa rovná jednej. 0 a = 1 a≠ 0

Záporný mocniteľ n Ak m < n a súčasne x≠ 0, platí: , ale aj , teda . n Mocnina so záporným mocniteľom sa dá zapísať ako zlomok: a≠ 0, s N

Vzorové riešenie úloh: vydelíme koeficienty vydelíme mocniny s rovnakým základom 18 m 7 n 8: 9 m 5 n 3 = (18: 9) m 7 -5 n 8 -3 = 2 m 2 n 5 n vydelíme koeficienty vydelíme mocniny s rovnakým základom (-0, 2 x 7 y 8 z 9) : (-0, 04 x 6 y 1 z 9) = n = [(-0, 2): (-0, 04)] x 7 -6 y 8 -1 z 9 -9 = 5 x 1 y 7 z 0 = 5 xy 7 x 1 = x z 0 = 1

vydelíme koeficienty vydelíme mocniny s rovnakým základom n 7 c 5 : (-2 c 8) = [7: (-2)] c 5 -8 = = -3, 5 c-3 = -3, 5.

Úlohy na precvičovanie: n n n n 91 x 5: (-7 x 4) = 18 m 7 n 8: 9 m 5 n 3 = 6 k 3: 3 k 7 = 0, 8 a 13 b 3 c 4: (-0, 2 a 6 b 3 c 3) = 12 c 3 d 2: (-15 c 5 d 3) = (-24 k 8 h 3): 36 k 7 h 5 = Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť: 38: 3 x = 35 10 x: 1000 = 10

Umocňovanie mocnín n Príklad: Mocninu umocníme tak, že základ umocníme súčinom mocniteľov. n m (a ) = n. m a m, n N

Mocnina súčinu n Príklad 1. : n Príklad 2. : n n Súčin umocníme tak, že umocníme každého činiteľa. n (a. b) = n n a. b n N

Mocnina zlomku (podielu) n Príklad 1. : n Príklad 2. : n n Zlomok umocníme tak, že umocníme čitateľa aj menovateľa zlomku. b≠ 0, n N

Vzorové riešenie úloh: umocníme činitele n (2 x 2 y 3 z 1)3 = 23 x 2. 3 y 3. 3 z 1. 3 = 8 x 6 y 9 z 3 n (-3 a 5 b 7)2 = (-3)2 a 5. 2 b 7. 2 = 9 a 10 b 14 umocníme činitele vypočítame výraz v zátvorke umocníme činitele n [(-3 a 2 b 1)3. 2 b]2 = [(-3)3 a 2. 3 b 1. 3. 2 b]2 = = (-27 a 6 b 3. 2 b 1)2 = [(-27. 2)a 6 b 3+1]2 = = (-54 a 6 b 4)2 = (-54)2 a 6. 2 b 4. 2 = 2916 a 12 b 8

Úlohy na precvičovanie: n n n (4 a 3 b 2)3 = (-5 x 2 y 3)2 = (-2 a 5 b)7 = n n Zapíšte ako mocninu so základom 2: n Zapíšte ako mocninu so základom 3:

PRESKÚŠAJ SA n Nasleduje 20 úloh na overenie vedomostí o mocninách s celočíselným mocniteľom. n Pri každej úlohe sú ponúknuté štyri možnosti, ale iba jedna z nich je správna. Označ ju kliknutím na písmeno pred ňou. n Prajem veľa úspechov !

1. ) Ktorý zo zápisov je správny ? n (A) y+y+y+y = y 4 n (B) 3 x. 3 x. 3 x = 3 x 4 n (C) 2 a+2 a+2 a+2 a = 2 a 3 n (D) 5 k. 5 k. 5 k = (5 k)4

2. ) 11 a 2 -(-6 a)+(-5 a 2)-(2 a+3 a 2) = n (A) 3 a 2 - 4 a n (B) 3 a 2+4 a n (C) 9 a 2+9 a n (D) 9 a 2 - 4 a

3. ) Mocnina, ktorej základ je -4 y a mocniteľ je 6 sa dá zapísať ako: n (A) - 4 y 6 n (B) -(4 y)6 n (C) (- 4 y)6 n (D) (4 y)6

4. ) Ktorá z nasledujúcich rovností neplatí ? n (A) (-5)3 = -53 n (B) -54 = (-5)4 n (C) (53)2 = (52)3 n (D) 5. 53 = (52)2

5. ) Ktorý zo zápisov je správny ? n (A) 2 a. (-3 ab 2). 4 b = 24 a 2 b 3 n (B) 2 a. (-3 ab 2). 4 b = -24 a 2 b 2 n (C) 2 a. (-3 ab 2). 4 b = -24 a 2 b 3 n (D) 2 a. (-3 ab 2). 4 b = -24 a 3 b 2

6. ) Ktoré z uvedených čísel je najmenšie ? n (A) 13, 23 n (B) (-500)3 n (C) 5003 n (D) (-13, 2)3

7. ) Výraz (-10 x 2 y 3)3 sa dá upraviť na tvar n (A) 100 x 6 y 3 n (B) 1000 x 6 y 27 n (C) -100 x 5 y 6 n (D) -1000 x 6 y 9

8. ) - 42 x 4 y 2: 7 x 2 y = n (A) -8 x 2 y 2 n (B) 6 x 2 y n (C) -6 xy 2 n (D) -6 x 2 y

9. ) Koľko je osmina z čísla 87 ? n (A) 17 n (B) 81 n (C) 77 n (D) 86

11. ) Ktorý zo zápisov je nesprávny ? n (A) (-17)2 = 172 n (B) (C) - 5, 12 = (- 5, 1)2 n (D) - 43 = (- 4)3 n

12. ) 13 y 2 -(3 y+6 y 2)-(-5 y)+(-7 y 2) = n (A) 2 y n (B) 8 y 2 -2 y n (C) 3 y 2+2 y n (D) 12 y 2+2 y

13. ) Ktorým výrazom musíme 3 deliť 12 a , aby sme dostali -3 a ? n (A) 4 a n (B) - 4 a 2 n (C) 4 a 2 n (D) - 4 a

14. ) n (A) (-k 2)3 = k 5 n (B) -k 5 n (C) -k 6 n (D) k 6

15. ) 4 x 2. (-5 x 3) = n (A) -20 x 6 n (B) -20 x 5 n (C) -20 x n (D) 20 x 5

16. ) Ktorý zo zápisov je správny ? n (A) -30 x 4: 6 x = 5 x 3 n (B) -30 x 4: 6 x 2 = -5 x 2 n (C) -30 x 4: (-6 x) = 5 x 2 n (D) -30 x 4: (-6 x) = -5 x 3

17. ) Výraz sa dá upraviť na tvar (A) (C) (B) (D)

18. ) Ktorý zo zápisov je nesprávny ? n (A) 34. 315 = 319 n (B) 2 x 2. 3 x 4 = 6 x 6 n (C) 5 a 2 y 3. 2 ay 5 = 10 a 3 y 15 n (D) 15 xy 2. (-2 x 2 y) = -30 x 3 y 3

19. ) -10 x 3 y 4 : 2 xy 3 = n (A) -5 x 2 y n (B) -5 xy n (C) 5 xy 2 n (D) -10 x 2 y

20. )Výraz (-m 5). (-7 m 3). (-m 2). 2 m 3 sa dá upraviť na tvar n (A) 14 m 19 n (B) -14 m 90 n (C) -14 m 13 n (D) 14 m 13

n Nippur

n Autor : RNDr. Mária Székelyová n Kontakt: szekelyova@centrum. sk n Použitá literatúra