OPERAZIONI SULLE SUPERFICI UNIT P 1 CALCOLO DELLE

OPERAZIONI SULLE SUPERFICI UNITÀ P 1 CALCOLO DELLE AREE Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629]

DEFINIZIONE La superficie agraria di un terreno è quella definita dalla proiezione della superficie fisica del terreno sul piano orizzontale di riferimento. La misura della superficie di un appezzamento è sempre indiretta. Per eseguire questa misura indiretta è necessaria la misura di alcune grandezze (perlopiù distanze e angoli) dell’appezzamento eseguite durante le operazioni di rilievo. Queste grandezze sono poi elaborate fino ad ottenere l’area cercata. In relazione alle modalità di elaborazione delle misure si impiegano diversi metodi: metodi numerici metodi grafo-numerici metodi grafici metodi meccanici Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 2

METODI NUMERICI (scomposizione in figure elementari) I metodi numerici utilizzano formule già note dalla geometria e dalla trigonometria per elaborare le misure eseguite durante il rilievo dell’appezzamento. TRILATERAZIONE ALLINEAMENTI E SQUADRI 4 3 5 4 2 1 5 3 2 1 Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 6 7 3

METODI NUMERICI (1 - formule di Gauss) Vengono elaborate le coordinate cartesiane dei vertici del contorno dell’appezzamento. Convenzionalmente i vertici vanno numerati in senso orario. Y 2 3 ½ (y 1+ y 2) · (x 2 – x 1)+ ½ (y 2+ y 3) · (x 3 – x 2)+ ½ (y 3+ y 4) · (x 4 – x 3)– ½ (y 3+ y 4) · (x 4 – x 3)+ ½ (y 4+ y 1) · (x 4 – x 1) ½ (y 4+ y 1) · (x 1 – x 4) generalizzando si ottiene: sviluppando il prodotto dei 2 binomi, semplificando e raccogliendo si ottiene: y 2 1 - y 1 x 2 y 3 4 oppure: y 4 x 3 x 4 X Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 4

METODI NUMERICI (2 - coordinate polari) Vengono elaborate le coordinate polari dei vertici del contorno del terreno, misurate rispetto a una stazione interna o esterna (situazione più generale). 2 N 1 ½ d 1· d 2 · sen ( 2 – 1) + ½ d 2· d 3 · sen ( – 2)+ ½ d 2· d 3 · sen ( 3 – 2)+ ½ d 3· d 4 · sen ( 4 – 3)– ½ d 3· d 4 · sen ( 4 – 3)+ ½ d 4· d 1 · sen ( 4 – 1) ½ d 1· d 4 · sen ( 1 – 4) 3 d 2 d 1 generalizzando si ottiene: 1 2 3 Staz. ½ d 1· d 2 · sen ( 2 – 1)+ 4 - d 3 d 4 4 Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 5

METODI NUMERICI (3 - formula di camminamento) ● Il contorno di un appezzamento viene rilevato per camminamento quando vengono misurate le lunghezze dei lati e l’ampiezza degli angoli interni. Per la misura indiretta dell’area è necessario misurare tutti i lati del contorno meno uno, e tutti gli angoli compresi tra i lati misurati. 1 ● In questo caso l’area dell’appezzamento è determinata dalla semisomma di tutti i possibili prodotti (combinazioni) dei lati presi a due, due moltiplicati per il seno della somma degli angoli interni che si incontrano per andare dall’uno all’altro, preso con il segno positivo o negativo a seconda che il numero degli angoli incontrati sia dispari o pari. 5 d S a 2 b 4 S = ½ [ a b sen – a c sen ( + ) + + a d sen ( + + ) + b c sen b d sen ( + ) + c d sen ] c 3 Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 6

METODI GRAFO-NUMERICI (Bezout) I metodi grafo-numerici consistono nell’applicazione di semplici formule che utilizzano alcune grandezze opportunamente misurate sulla rappresentazione grafica redatta in scala (mappa) dell’appezzamento. Y S y 0 y 1 A d y 2 d y 3 d y 4 d yn-1 y 5 d d yn d B 1 - Si adotta un sistema di riferimento cartesiano con l’asse delle ascisse lungo una direzione AB prevalente dell’appezzamento. 2 - Si divide la base AB in un numero n di parti di uguale lunghezza d e dai punti di divisione si innalzano le ordinate y 0, y 1, y 2, y 3, . . . , yn– 1, yn. L’appezzamento risulta scomposto in tante strisce che possono essere considerate, approssimati-vamente, come trapezi aventi tutti la stessa altezza d. X S = d [½ (y 0 + yn) + y 1 + y 2 + y 3 +. . . + yn– 1 ] Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 7

METODI GRAFO-NUMERICI (Bezout) Se l’appezzamento ha il contorno completamente curvilineo, si dispone l’asse delle ascisse lungo la larghezza massima AB. In questo modo le ordinate y 0 e yn diventano nulle. Y y 1 y 2 y 3 S y 4 yn-1 y 5 B A d d d d d X S = d [ y 1 + y 2 + y 3 +. . . + yn– 1 ] Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 8

METODI GRAFO-NUMERICI (Cavalieri-Simpson) Si divide la base AB in un numero n pari di parti di uguale lunghezza d Viene considerata la figura costituita dalle prime due strisce consecutive. L’area di questa figura è la somma di un trapezio di basi y 0 e y 2 e del settore parabolico contenuto nel parallelogramma MNPQ. Questa area è i 2/3 dell’area nel parallelogramma MNPQ. P Y Q N M y 0 y 1 A d y 2 d y 3 d y 4 d S y 5 d d d yn-1 yn d d B X S = d /3 (y 0 + yn) + 4 (y 1 + y 3 + … + y n– 1) + 2 (y 2 + y 4 + … + yn– 2) Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 9

E METODI GRAFICI A h triangolo equivalente vertice fisso D S B S = b · h /2 b C b e h vengono misurate graficamente al termine della procedura B’ SABC=SAB’C SABCDE=SAB’DE SAB’D=SAB’’D SABCDE=SAB’’E B’’ Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 10

METODI GRAFICI triangolo equivalente lato fisso A S=b·h/2 SABC=SAB’C SABCDE=SAB’DE E B b e h vengono misurate graficamente al termine della procedura h S B’ C SADE=SADD’ SABCDE=SAB’D’ b D Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] D’ 11

METODI GRAFICI - INTEGRAZIONE GRAFICA Procedura grafica che consente di trasformare una figura piana in un triangolo equivalente. S h b S=b·h Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 12

METODI GRAFICI - INTEGRAZIONE GRAFICA Procedura grafica che consente di trasformare una figura piana in un rettangolo equivalente. h h’ Coefficiente di scala b (esempio di calcolo) S=b·h S’ = b · h’ Scala disegno 1: 200 b : 1 cm = 2 m h : 1 cm = 2 m S : 1 cm 2 = 4 m 2 Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 13

METODI MECCANICI Consentono di misurare l’area grafica di un appezzamento operando con speciali strumenti, detti planimetri, sulla sua rappresentazione grafica appositamente redatta in scala (mappa). Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 14

PLANIMETRO POLARE (Amsler) meccanico polo (fisso) a ast rotellina re a l po asta tra cciante puntatore part. rotellina Schema funzionamento Rotellina (retro) Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 15

METODI MECCANICI 1. funzionamento del planimetro polare È necessario tracciare tutto il con-torno della rappresentazione in scala dell’appezzamento con il puntatore posto a un estremo dell’asta (tracciante) di un apposito strumento chiamato planimetro polare; 2. L’asta (polare) del planimetro è collegata a cerniera in un estremo con l’asta tracciante mentre l’altro estremo (polo) deve rimanere fisso in fase operativa. 3. L’area è proporzionale al numero di giri compiuti da una rotella graduata durante la perimetrazione del contorno della superficie. S = K·N polo esterno S = K ·N + C polo interno 4. I giri della rotella venivano misurati da un disco contagiri mentre le frazioni di giro venivano lette su un tamburo provvisto di nonio. Oggi tutte le misure del planimetro sono riportate su un display digitale. Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 16

PLANIMETRO POLARE (meccanico) esempi e particolari Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 17

PLANIMETRI A RULLO (digitale e meccanico) Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 18

PLANIMETRI A DISCO Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 19

PLANIMETRI DIGITALI Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 20

PLANIMETRI PERIMETRATORI Copyright © 2009 Zanichelli Editore S. p. A. , Bologna [6629] 21