Operations Research Linear Programming LP Dosen Febriyanto SE

Operations Research Linear Programming (LP) Dosen Febriyanto, SE. MM.

Formulasi Model Linear Programming Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Perusahaan Maspion merencanakan untuk memproduksi tiga jenis produk peralatan dapur yang membutuhkan tenaga kerja dan bahan baku, tabel berikut rincianya: Keterangan Jam Tenaga Kerja Bahan Baku Keuntungan (Rp) A 4 2 40 Jenis Produk B 3 2 30 C 2 3 20 Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari sebanyak 400 kg, sedangkan kapasitas jam tenaga kerja yang dimiliki adalah 300 jam perhari. Bagaimana merumuskan model LP, agar diperoleh keuntungan maksimum dari produksi harian. Operations Research (Febriyanto, SE. , MM)

Formulasi Model Linear Programming • Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Menentukan variabel keputusan atau kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian dari jenis produk. n Misalkan: x 1 = jumlah produksi harian produk A x 2 = jumlah produksi harian produk B x 3 = jumlah produksi harian produk C Menentukan tujuan, yaitu maksimum keuntungan dengan anggapan semua produksi laku terjual. Fungsi tujuan berbentuk maksimum, dirumuskan sebagai berikut: Zmak = 40 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 Operations Research (Febriyanto, SE. , MM)

Formulasi Model Linear Programming Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Menentukan kendala, yaitu jam tenaga kerja dan bahan baku. n Produk A membutuhkan 4 x 1 jam tenaga kerja. n Jenis B membutuhkan 3 x 2 jam tenaga kerja dan n Jenis C membutuhkan 2 x 3 jam tenaga kerja Kebutuhan jam tenaga kerja total adalah n 4 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 dan tidak boleh melebihi 300 jam perhari. n Sehingga fungsi kendala jam tenaga kerja adalah: 4 x 1 + 3 x 2 + 2 X 3 ≤ 300 Demikian pula dengan bahan baku, n produk A membutuhkan 2 x 1 n produk B membutuhkan 2 x 2 dan n produk C membutuhkan 3 x 3. n Sehingga fungsi kendala bahan baku adalah 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 ≤ 400 Operations Research (Febriyanto, SE. , MM)

Formulasi Model Linear Programming Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Dari ketiga langkah tersebut, secara lengkap model LP masalah kombinasi produksi perusahaan Maspion dapat dirumuskan sebagai berikut: Zmak = 40 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 d. k. (1) 4 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 (2) 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 (3) x 1; x 2; x 3 ≤ 300 (jam tenaga kerja) ≤ 400 (bahan baku) ≥ 0 (non negativity) Operations Research (Febriyanto, SE. , MM)

LP Metode Grafik Maximisasi Masalah Kombinasi Produk: n Perusahaan Maspion menghasilkan tigajenis produk, yaitu A, B dan C. Ketiga jenis produk membutuhkan dua sumber daya, yaitu tenaga kerja dan bahan baku: Keterangan Jam tenaga kerja Bahan baku Keuntungan n n Jenis Produk A B C 4 2 40 3 2 30 2 3 20 Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari 400 kg, kapasitas jam kerja 300 jam per hari. Buat formulasi LP? Jawab: 1). 2). 3). Zmak = 40 A + 30 B + 20 C 4 A + 3 B + 2 C ≤ 300 (jam Tenaga Kerja) 2 A + 2 B + 3 C ≤ 400 (bahan baku) A, B, C, ≥ 0 (non negativity) Operations Research (Febriyanto, SE. , MM)

Linear Programming Metode Grafik Contoh. Masalah Product Mix. PT. VENUS adalah pabrik yang memiliki dua jenis produk yaitu Astro dan Cosmos. Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku X adalah 60 kg per hari, bahan baku Y 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabel berikut. Produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 untuk Astro dan Rp. 30 untuk cosmos. Bagaimana menentukan jumlah produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar mencapai laba max. Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Linear Programming Metode Grafik Sumbangan keuntungan Astro Rp 40, 00 dan Rp 30, 00 Cosmos X 1 = Astro X 2 = Cosmos Zmax = 40 x 1 + 30 x 2 d. k [1] 2 X 1 + [2] [3] 2 X 1 + [4] [5] 3 X 2 2 X 2 1 X 2 X 1 X 2 ≤ 60 ≤ 30 ≤ 40 ≥ 0 Operations Research SE. , MM) (bahan baku A) (bahan baku B) (jam tenaga kerja) (nonnegativity). (Febriyanto,

Tugas Formulasi LP Masalah Kombinasi Produk: n Perusahaan Maspion menghasilkan dua jenis produk, yaitu A & B, dengan harga jual A: Rp. 500 dan B: Rp. 400. Biaya variabel masing-masing produk (NPM%) dari harga jual: Keterangan Departemen III n Jenis Produk A B 4 2 40 3 2 30 Kapasitas (jam) 750 900 Untuk menjaga keseimbangan, manajer menetapkan paling sedikit satu produk B untuk 3 produk A. Untuk tenaga kerja departemen III menggunakan tenaga kontrak sebanyak 650 jam. Produksi paling sedikit 50 unit, bagaimana formulasi LP agar keuntungan max? Operations Research (Febriyanto, SE. , MM)

Jawaban Tugas Fromulasi Linear Programming Keuntungan yang diperoleh setiap menjual n Produk A : 500 – (NPM%x 500) = Rp. . . Keuntungan yang diperoleh setiap menjual n Produk B : 400 – (NPM%x 400) = Rp. . . Zmax = Rp. . X 1 + Rp. . . X 2 Dk: 1. X 1 + X 2 ≥ 50 (Produksi minimum) 2. 4 X 1 + 3 X 2 ≤ 750 (Departemen I) 3. 2 X 1 + 2 X 2 ≤ 900 (Departemen II) 4. 40 X 1 + 30 X 2 ≥ 650 (Departemen III) 5. 3 A – 1 B ≥ 0 (Keseimbangan Produksi) 6. X 1; X 2 ≥ 0 Operasional Research(Non negativity) (Febriyanto, SE. , MM)

Sebuah perusahaan merencanakan memproduksi dua jenis produk dengan harga jual produk A Rp 500 dan produk B Rp 400. Biaya variabel kedua jenis produk 60% dari harga jual. Setiap produk diproses melalui tiga departemen produksi, yaitu departemen I, departemen II dan departemen III yaitu pengujian produk akhir. Setiap jenis produk membutuhkan waktu pemrosesan dan kapasitas jam tenaga kerja perminggu untuk departemen I dan II adalah sebagai berikut: Keterangan Departemen III Jenis Produk A B Kapasitas (Jam) 2 5 8 4 3 2 750 900 - Untuk menjaga keseimbangan produksi, manajer menetapkan bahwa paling sedikit satu unit produk B untuk setiap tiga unit produk A. Khusus untuk jam tenaga kerja departemen III, yang menggunakan tenaga kerja kontrakan, telah disepakati bahwa paling sedikit penggunaan jam tenaga kerja sebanyak 650 jam perminggu. Kebijakan manajer lainnya adalah ditetapkan bahwa kedua jenis produk tersebut diproduksi paling sedikit atau minimum 50 unit setiap minggu. Bagaimana formulasi model LP, agar diperoleh keuntungan maksimum? .

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi 1. Menentukan variabel keputusan, yaitu: X 1 = jumlah produksi mingguan produk A x 2 = jumlah produksi mingguan produk B 2. Menentukan fungsi tujuan, keuntungan yang diperoleh setiap kali memproduksi dan menjual Produk A adalah Rp 500 - (60% x 500) = Rp 200. Produk B adalah Rp 400 - (60% x 400) = Rp 160. n Fungsi tujuan dapat dirumuskan sebagai berikut: Zmak = 200 x 1 + 160 x 2 Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi 3. Menentukan fungsi kendala, dalam kasus ini terdapat lima jenis kendala, yaitu kendala minimum produksi, jam kerja departemen II, jam kerja departemen III, dan keseimbangan produksi. n n n (1) x 1 + x 2 (2) 2 x 1 + 4 x 2 (3) 5 x 1 + 3 x 2 (4) 8 x 1 + 2 x 2 (5) 3 x 1 - b ≥ 50 ≤ 750 ≤ 900 ≥ 650 ≥ 0 (produksi minimum) (departemen II) (departemen III) (keseimbangan produksi) Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Secara lengkap formulasi model LP sebagai berikut: n Zmak = 200 x 1+ 160 x 2 Dk n (1) x 1 + x 2 ≥ 50 n (2) 2 x 1 + 4 x 2 ≤ 750 n (3) 5 x 1 + 3 x 2 ≤ 900 n (4) 8 x 1 + 2 x 2 ≥ 650 3 x 1 = 1 x 2 3 x 1 -1 x 2 = 0 (5) 3 x 1 - x 2 ≥ 0 n (6) X 1, X 2 ≥ 0 Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Harga Jual 500 Biaya 600 Berapa keuntunganya? Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Salah satu pemakaian LP yang berhasil adalah dalam menyelesaikan masalah pencampuran bahan untuk mendapatkan bahan baru atau masalah komposisi bahan yang digunakan. Misalnya, perusahaan membutuhkan 500 kg makanan ternak per hari dan makanan tersebut harus mengandung: 1. Paling sedikit 0, 6% calcium tetapi tidak boleh lebih dari 1, 2% 2. Paling sedikit 24% protein, 3. Paling banyak 5% serat. Bahan Kapur Jagung K. Kedelai Calsium 0. 34 0. 001 0. 002 Protein 0 0. 09 0. 50 Serat 0 0. 02 0. 08 Harga/kg Rp. 325 Rp. 900 Rp. 2. 500 Ketiga bahan di atas dapat diperoleh dari kapur (calcium carbonat), jagung dan kacang kedelai. Kandungan gizi per kg dari ketiga bahan tersebut adalah sebagai berikut: Bagaimana formulasi LP agar diperoleh komposisi bahan yang membuat biaya seminimum mungkin. Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Penyelesaian Contoh 3. Masalah Komposisi Bahan 1. Variabel keputusan: n X 1 = jumlah kapur yang dibutuhkan untuk membuat 500 kg makanan ternak n X 2 = jumlah jagung yang dibutuhkan untuk membuat 500 kg makanan ternak n X 3 = jumlah kacang kedelai yang dibutuhkan untuk membuat 500 kg makanan ternak 2. Fungsi tujuan n Zmin = 325 X 1 + 900 X 2 + 2500 X 3 Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Penyelesaian Contoh 3. Masalah Komposisi Bahan 3. Fungsi kendala 1) 0. 34 X 1 + 0. 001 X 2 + 0. 002 X 3 ≥ 0. 006(500) Atau 0. 34 X 1 + 0. 001 X 2 + 0. 002 X 3 ≥ 3 2) 0. 34 X 1 + 0. 001 X 2 + 0. 002 X 3 ≤ 0. 012(500) Atau 0. 34 X 1 + 0. 001 X 2 + 0. 002 X 3 ≤ 6 3) 0. 090 X 2 + 0. 500 X 3 ≥ 0. 24(500) Atau 0. 090 X 2 + 0. 500 X 3 ≥ 120 4) 0. 020 X 2 + 0. 080 X 3 ≥ 0. 05(2500) Atau 0. 020 X 2 + 0. 080 X 3 ≥ 125 Operations Research SE. , MM) (Febriyanto,

Penyelesaian Contoh 3. Masalah Komposisi Bahan Secara lengkap formulasi model LP dari masalah komposisi bahan tersebut, sebagai berikut: Zmin = 325 X 1 + 900 X 2 + 2500 X 3 d. k. (1) (2) (3) (4) (5) 0. 34 X 1+ 0. 001 X 2 + 0. 002 X 3≥ 3 0. 34 X 1+ 0. 001 X 2 + 0. 002 X 3≤ 6 0. 090 X 2 + 0. 500 X 3 ≥ 120 0. 020 X 2 + 0. 080 X 3 ≥ 125 X 1, X 2, X 3 ≥ 0 Operations Research SE. , MM) (Febriyanto, (B. Calsium) (B. Kapur) (B. K. Kdlai) (nonnegatif)