Operations Research Industrial Engineering Analisa Sensitivitas 2 Pengaruh

  • Slides: 50
Download presentation
Operations Research Industrial Engineering

Operations Research Industrial Engineering

Analisa Sensitivitas 2

Analisa Sensitivitas 2

Pengaruh Perubahan � Perubahan yang mempengaruhi optimalitas � Perubahan koefisien tujuan � Perubahan dalam

Pengaruh Perubahan � Perubahan yang mempengaruhi optimalitas � Perubahan koefisien tujuan � Perubahan dalam penggunaan sumber daya dalam kegiatan � Penambahan kegiatan baru (penambahan variabel) � Perubahan yang mempengaruhi kelayakan � Perubahan RHS � Penambahan batasan baru � Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan � Perubahan 3 koefisien tujuan dan RHS secara simultan

Analisa Sensitivitas: Simpleks 4

Analisa Sensitivitas: Simpleks 4

Informasi dari Tabel Optimal Simpleks � Solusi Optimal � Status Sumber Daya � Shadow

Informasi dari Tabel Optimal Simpleks � Solusi Optimal � Status Sumber Daya � Shadow Price � Reduced Cost � Sensitivitas dari hasil solusi optimal terhadap perubahan ketersediaan sumber atau perubahan koefisien fungsi tujuan 5

Contoh Soal � Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang menghasilkan cat, baik

Contoh Soal � Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan baku, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan baku per ton cat interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per ton adalah $3000 untuk cat eksterior dan $2000 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor? 6

Contoh Soal (Tabel 1) A B 7 Ton Bahan baku per Ton Cat Eksterior

Contoh Soal (Tabel 1) A B 7 Ton Bahan baku per Ton Cat Eksterior Interior 1 2 2 1 Ketersediaan maksimum (ton) 6 8

Contoh Soal � X 1 = cat eksterior yang harus diproduksi � X 2

Contoh Soal � X 1 = cat eksterior yang harus diproduksi � X 2 = cat interior yang harus diproduksi � Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X 1 + 2000 X 2 � Batasan � Bahan baku A maksimum 6 ton per hari X 1 + 2 X 2 ≤ 6 � Bahan baku B maksimum 8 ton per hari 2 X 1 + X 2 ≤ 8 8

Contoh Soal � Batasan permintaan harian � Permintaan harian cat interior tidak akan lebih

Contoh Soal � Batasan permintaan harian � Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior X 2 – X 1 ≤ 1 � Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X 2 ≤ 2 � Batasan � X 1 ≥ 0 � X 2 ≥ 0 9 non negativitas

Contoh Soal max z = 3000 X 1 + 2000 X 2 Subject To:

Contoh Soal max z = 3000 X 1 + 2000 X 2 Subject To: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 10 X 1 + 2 X 2 ≤ 6 2 X 1 + X 2 ≤ 8 X 2 – X 1 ≤ 1 X 2 ≤ 2 X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0

Contoh Soal: Bentuk Standar max z = 3 X 1 + 2 X 2

Contoh Soal: Bentuk Standar max z = 3 X 1 + 2 X 2 + 0 s 1 + 0 s 2 + 0 s 3 + 0 s 4 atau max z - 3 X 1 - 2 X 2 - 0 s 1 - 0 s 2 - 0 s 3 - 0 s 4 = 0 Subject To: X 1 + 2 X 2 + s 1 2 X 1 + X 2 + s 2 – X 1 + x 2 + s 3 X 2 + s 4 X 1, X 2, s 1, s 2, s 3, s 4 ≥ 0 11 = = 6 8 1 2

Variabel Slack � s 1 = sisa bahan baku A � s 2 =

Variabel Slack � s 1 = sisa bahan baku A � s 2 = sisa bahan baku B � s 3 = kelebihan selisih permintaan cat interior dan cat eksterior (X 2 – X 1) terhadap batas maksimum selisih yang ditentukan � s 4 = selisih batas maksimum permintaan cat interior (X 2) terhadap produksinya 12

Penyelesaian dengan Simpleks 13

Penyelesaian dengan Simpleks 13

Tabel Optimal Simpleks Dasar z x 1 x 2 s 1 s 2 s

Tabel Optimal Simpleks Dasar z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 RHS z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12 2/3 x 2 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 x 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 s 3 0 0 0 -1 1 1 0 3 s 4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3 14

Solusi Optimal Variabel Keputusan 15 Nilai Optimal Keputusan X 1 3 1/3 Harus memproduksi

Solusi Optimal Variabel Keputusan 15 Nilai Optimal Keputusan X 1 3 1/3 Harus memproduksi 3 1/3 ton cat eksterior X 2 1 1/3 Harus memproduksi 1 1/3 ton cat interior Z 12 2/3 Keuntungan maksimum adalah $12. 667

Status Sumber Slack Status Sumber Bahan A s 1 = 0 (NBV) Langka, tidak

Status Sumber Slack Status Sumber Bahan A s 1 = 0 (NBV) Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah Bahan B s 2 = 0 (NBV) Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah kelebihan cat interior dibandingkan cat eksterior s 3 = 3 Melimpah, selisih maksimum (X 2 – X 1) adalah 1, tetapi hasil optimal menunjukkan selisih kurang dari 1 batas maksimum permintaan cat interior 16 s 4 = 2/3 Melimpah, permintaan cat interior maksimum adalah 2, tetapi hasil optimal menunjukkan X 2 kurang dari 2

Shadow Price � Shadow Price hanya berlaku untuk sumber daya yang nilai variabel slacknya

Shadow Price � Shadow Price hanya berlaku untuk sumber daya yang nilai variabel slacknya 0. � y 1 = 1/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan A, nilai Z akan bertambah $1/3 ribu � y 2 = 4/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan B, nilai Z akan bertambah $4/3 ribu 17

Shadow Price 18

Shadow Price 18

Shadow Price 19

Shadow Price 19

Reduced Cost � Hanya berlaku untuk variabel yang bernilai 0 � Pada kasus Reddy

Reduced Cost � Hanya berlaku untuk variabel yang bernilai 0 � Pada kasus Reddy Mikks X 1 dan X 2 tidak nol sehingga tidak ada informasi reduced cost 20

Contoh Reduced Cost max z = 8 X 1 + 2 X 2 +

Contoh Reduced Cost max z = 8 X 1 + 2 X 2 + 0 s 1 + 0 s 2 + 0 s 3 + 0 s 4 atau max z - 8 X 1 - 2 X 2 - 0 s 1 - 0 s 2 - 0 s 3 - 0 s 4 = 0 Subject To: X 1 + 2 X 2 + s 1 2 X 1 + X 2 + s 2 – X 1 + x 2 + s 3 X 2 + s 4 X 1, X 2, s 1, s 2, s 3, s 4 ≥ 0 21 = = 6 8 1 2

Contoh Reduced Cost � Dari tabel optimal, X 2 sebagai non basic variable, sehingga

Contoh Reduced Cost � Dari tabel optimal, X 2 sebagai non basic variable, sehingga bernilai 0 (cat interior tidak diproduksi sama sekali) � Reduced cost X 2 + 2 = 0 (atau reduced cost X 2 = 2); setiap pemaksaan produksi 1 ton X 2 akan mengurangi keuntungan sebanyak $2000 22

Contoh Reduced Cost 23

Contoh Reduced Cost 23

Contoh Reduced Cost 24

Contoh Reduced Cost 24

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya (RHS) � s 1 = 0,

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya (RHS) � s 1 = 0, bahan A bisa ditambah/dikurangi � D 1 > 0 (positif) jika bahan A ditambah � D 1 < 0 (negatif) jika bahan A dikurangi � s 2 = 0, bahan B bisa ditambah/dikurangi � D 2 > 0 (positif) jika bahan B ditambah � D 2 < 0 (negatif) jika bahan B dikurangi 25

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya 26

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya 26

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan nilai bi (nilai ruas

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan nilai bi (nilai ruas kanan) di tabel optimal akibat penambahan ketersediaan bahan A sebesar D 1: bi’ = konstanta + ki Di � bi‘ = nilai bi yang baru � Konstanta = nilai bi yang lama (dari tabel optimal asal) � ki = koefisien s 1 dalam fungsi kendala (s 1 = variabel slack yang berkaitan dengan bahan A) 27

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan 28 Ketersediaan untuk Bahan

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan 28 Ketersediaan untuk Bahan A Variabel bi ki bi’ Z 12 2/3 + 1/3 D 1 X 2 4/3 2/3 4/3 + 2/3 D 1 X 1 10/3 -1/3 10/3 – 1/3 D 1 S 3 3 -1 3 – D 1 S 4 2/3 -2/3 – 2/3 D 1

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Agar solusi tetap feasible, RHS

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan: � 12 2/3 + 1/3 D 1 ≥ 0 D 1 ≥ -38 � 4/3 + 2/3 D 1 ≥ 0 D 1 ≥ -2 � 10/3 – 1/3 D 1 ≥ 0 D 1 ≤ 10 � 3 – D 1 ≥ 0 D 1 ≤ 3 � 2/3 – 2/3 D 1 ≥ 0 D 1 ≤ 1 Sehingga: � -2 ≤ D 1 ≤ 1 4 ≤ RHS ≤ 7 29

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan 30 Ketersediaan untuk Bahan

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan 30 Ketersediaan untuk Bahan B Variabel bi ki bi’ Z 12 2/3 4/3 12 2/3 + 4/3 D 2 X 2 4/3 -1/3 4/3 - 1/3 D 2 X 1 10/3 2/3 10/3 + 2/3 D 2 S 3 3 1 3 + D 2 S 4 2/3 1/3 2/3 + 1/3 D 2

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Agar solusi tetap feasible, RHS

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan: � 12 2/3 + 4/3 D 2 ≥ 0 D 2 ≥ -19/2 � 4/3 – 1/3 D 2 ≥ 0 D 2 ≤ 4 � 10/3 + 2/3 D 2 ≥ 0 D 2 ≥ -5 � 3 + D 2 ≥ 0 D 2 ≥ -3 � 2/3 + 1/3 D 2 ≥ 0 D 2 ≥ -2 Sehingga: � -2 ≤ D 2 ≤ 4 6 ≤ RHS ≤ 12 31

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Selisih � 3 cat eksterior

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Selisih � 3 cat eksterior dan interior + D 3 ≥ 0 D 3 ≥ -3 RHS ≥ -2 --> RHS >= 0 � Permintaan � 2/3 32 cat interior + D 4 ≥ 0 D 4 ≥ -2/3 RHS ≥ 1 1/3

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan � 4/3 + �

Analisa Sensitivitas dari Kelayakan: Perubahan Ketersediaan Sumber Daya � Perubahan � 4/3 + � 10/3 – � 2/3 – 33 secara simultan: 2/3 1 2/3 D 1 D 1 – + + + 1/3 2/3 1 1/3 D 2 D 2 + 1 D 3 D 2 + 1 D 4 >= >= 0 0

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Berpengaruh hanya pada nilai

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Berpengaruh hanya pada nilai Z, bukan pada solusi optimal � Penambahan/pengurangan koefisien sebesar dj untuk tiap variabel Xj � Koefisien X 1 � d 1 > 0 (positif) besarnya koefisien bertambah � d 1 < 0 (negatif) besarnya koefisien berkurang � Koefisien � d 2 X 2 > 0 (positif) besarnya koefisien bertambah � d 2 < 0 (negatif) besarnya koefisien berkurang 34

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Perubahan 35 koefisien X

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Perubahan 35 koefisien X 1 Z = (3 + d 1) X 1 + 2 X 2

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Agar tidak mempengaruhi optimalitas

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Agar tidak mempengaruhi optimalitas dari masalahnya, karena kasusnya maksimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonnegatif (kalau kasusnya minimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonpositif) � 1/3 – 1/3 d 1 ≥ 0 d 1 ≤ 1 � 4/3 + 2/3 d 1 ≥ 0 d 1 ≥ -2 � 12 2/3 + 10/3 d 1 ≥ 0 d 1 ≥ -3 4/5 � -2 36 ≤ d 1 ≤ 1 1 ≤ koefisien X 1 ≤ 4

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Perubahan koefisien X 2

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Perubahan koefisien X 2 Z = 3 X 1 + (2 + d 2) X 2 � 1/3 + 2/3 d 2 ≥ 0 d 2 ≥ -1/2 � 4/3 – 1/3 d 2 ≥ 0 d 2 ≤ 4 � 12 2/3 + 4/3 d 2 ≥ 0 d 2 ≥ -9 1/2 � -1/2 37 ≤ d 2 ≤ 4 3/2 ≤ koefisien X 2 ≤ 6

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Perubahan � 1/3 secara

Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal: Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan � Perubahan � 1/3 secara simultan: – 1/3 d 1 + 2/3 d 2 >= 0 � 4/3 + 2/3 d 1 – 2/3 d 2 >= 0 38

Analisa Sensitivitas: Grafik 39

Analisa Sensitivitas: Grafik 39

Penyelesaian dengan Grafik 40

Penyelesaian dengan Grafik 40

Solusi Optimal � Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1)

Solusi Optimal � Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1) 2) X 1 + 2 X 2 ≤ 6 2 X 1 + X 2 ≤ 8 � Dengan substitusi/eliminasi, dapat diperoleh titik perpotongannya: X 1 = 10/3 � X 2 = 4/3 � �Z = 3000 X 1 + 2000 X 2 = 12667 � Kesimpulan: Cat eksterior yang harus diproduksi = 10/3 ton per hari � Cat interior yang harus diproduksi = 4/3 ton per hari � Pendapatan kotor maksimum yang bisa didapatkan = $12. 667 � 41

Status Sumber Daya � Titik Optimal pada perpotongan batasan 1 dan batasan 2 �

Status Sumber Daya � Titik Optimal pada perpotongan batasan 1 dan batasan 2 � Batasan 1 ketersediaan bahan mentah A langka (habis terpakai) � Batasan 2 ketersediaan bahan mentah B langka (habis terpakai) � Batasan 3 selisih cat interior dan cat eksterior melimpah (masih ada sisa jatah) � Batasan 4 permintaan cat interior melimpah (masih ada sisa jatah) 42

Perubahan RHS � Pergeseran garis pembatas 1 sampai pada titik B (penurunan RHS) atau

Perubahan RHS � Pergeseran garis pembatas 1 sampai pada titik B (penurunan RHS) atau titik K (kenaikan RHS) � Substitusi titik B (4, 0) ke batasan 1 4 � Substitusi titik K (3, 2) ke batasan 1 7 � 4 ≤ RHS 1 ≤ 7 � -2 ≤ D 1 ≤ 1 43

Perubahan RHS Pada titik B � X 1 = 4 � X 2 =

Perubahan RHS Pada titik B � X 1 = 4 � X 2 = 0 � Z = 12 � RHS = 4 Pada titik K � X 1 = 3 � X 2 = 2 � Z = 13 � RHS = 7 44 � Shadow � Y 1 Price = (13 -12)/(7 -4) = 1/3 ribu dollar per ton bahan A

Perubahan RHS � Pergeseran garis pembatas 2 sampai pada titik D (penurunan RHS) atau

Perubahan RHS � Pergeseran garis pembatas 2 sampai pada titik D (penurunan RHS) atau titik J (kenaikan RHS) � Substitusi titik D (2, 2) ke batasan 2 6 � Substitusi titik J (6, 0) ke batasan 2 12 � 6 ≤ RHS 2 ≤ 12 � -2 ≤ D 2 ≤ 4 45

Perubahan RHS Pada titik D � X 1 = 2 � X 2 =

Perubahan RHS Pada titik D � X 1 = 2 � X 2 = 2 � Z = 10 � RHS = 6 Pada titik J � X 1 = 6 � X 2 = 0 � Z = 18 � RHS = 12 46 � Shadow � Y 2 Price = (18 -10)/(12 -6) = 4/3 ribu dollar per ton bahan B

Perubahan koefisien fungsi tujuan � Rotasi garis yang mewakili Z dan melewati titik optimal

Perubahan koefisien fungsi tujuan � Rotasi garis yang mewakili Z dan melewati titik optimal menunjukkan pengaruh kenaikan/penurunan koefisien fungsi tujuan mempengaruhi besarnya nilai optimum. Searah jarum jam: kenaikan koefisien X 1/penurunan koefisien X 2 � Berlawanan arah: kenaikan koefisien X 2/penurunan koefisien X 1 � 47

Perubahan koefisien fungsi tujuan � Kelayakan tidak akan berubah dan optimal akan tetap di

Perubahan koefisien fungsi tujuan � Kelayakan tidak akan berubah dan optimal akan tetap di titik C selama rotasi dilakukan � Searah jarum jam sampai menghimpit garis BC � Berlawanan arah jarum jam sampai menghimpit garis CD � Bila garis Z menghimpit garis BC atau CD, akan terjadi optimum alternatif � 1/2 48 ≤ Ce/Ci ≤ 2/1, Ci ≥ 0

Perubahan koefisien fungsi tujuan � Perubahan Ce saja Z = (3 + d 1)

Perubahan koefisien fungsi tujuan � Perubahan Ce saja Z = (3 + d 1) X 1 + 2 X 2 1/2 ≤ Ce/2 ≤ 2/1 1 ≤ Ce ≤ 4 -2 ≤ d 1 ≤ 1 � Perubahan Ci saja Z = 3 X 1 + (2 + d 2) X 2 1/2 ≤ 3/Ci ≤ 2/1 3/2 ≤ Ci ≤ 6 -1/2 ≤ d 2 ≤ 4 49

End of This Chapter 50

End of This Chapter 50