Operasi Pada Bilangan Bulat Operasi Penjumlahan SifatSifat Algoritma

Operasi Pada Bilangan Bulat

Operasi Penjumlahan • Sifat-Sifat • Algoritma

Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Tertutup p + q adalah bilangan bulat yang tunggal 2. Komutatif p + q = q + p 3. Asosiatif (p + q) + r == p + (q + r) 4. Penjumlahan dengan bilangan 0 (identitas penjumlahan) p + 0 = 0 + p = p 5. Mempunyai invers penjumlahan

(a + b) + c a+b a a c b b+c a + (b + c)

Penjumlahan dengan bilangan negatif • Secara urnum: Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika p > q (p = q + r, r bilangan asli) , maka • p + (-q) = (q + r) + (-q) nama lain dari p = (r + q) + (-q) Sifat komutatif penjumlahan = r + (q + -q) Sifat asosiatif penjumlahan = r + 0 Sifat invers penjumlahan = r Sifat identitas penjumlahan = p - q Sebab p = q + r • Jadi, jika p > q, maka p + (-q) = p - q

• Untuk setiap bilangan cacah p dan q (-p) + (-q) = -(p + q) Bukti: • [(-p) + (-q)] + (p + q) = [(-p) + (-q)] + (q + p) Mengapa? = (-P) + [((-q) + ql + P Mengapa? = (-p) + (0 + p) Mengapa? = (-p) + p Mengapa? = 0 Mengapa? • Jadi [(-p) + (-q)] + (p + q) = 0 • Ini berarti ((-p) + (-q)) invers penjumlahan dari (p + q) Karena invers penjumlahan tunggal, maka (-p) + (-q) = -(p + q).

Operasi Perkalian • Sifat-Sifat • Algoritma

Sifat-sifat Operasi Perkalian Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Tertutup p x q adalah bilangan bulat yang tunggal 2. Komutatif p x q = q x p 3. Asosiatif (p x q) x r == p x (q x r) 4. Perkalian dengan bilangan 0 p x 0 = 0 x p = 0 5. Perkalian dengan bilangan 1 (identitas perkalian) p x 1 = 1 x p = 1 6. Distributif perkalian terhadap penjumlahan p x (q + r) = (pxq) + (pxr) (distributif kiri) (q + r) x p = (qxp) + (rxp) (distributif kanan)

• Definisi: Untuk p dan q bilangan cacah, perkalian bilangan bulat didefinisikan seperti berikut: p. q = n (P x Q), di mana p = n (P) dan q = n (Q), P dan Q himpunan (-p). (-q) = p. q (-p). q = p. (-q) = - (p. q)

• Secara umum, dapat dibuktikan (-p). q = -(p. q) • Bukti: v Telah diketahui -(p. q) adalah invers penjumlahan dari pq. v Dengan kata lain -(pq) + pq = 0. v Karena invers penjumlahan bilangan bulat tunggal, maka untuk menunjukkan (-p). q = -(pq), cukup ditunjukkan, bahwa (-p). q adalah invers penjumlahan dari pq. v Dengan kata lain harus ditunjukkan bahwa (-p). q + pq = 0. v Sekarang (-p). q + pq = [(-p) + p]. q Mengapa? = 0. q Mengapa? = 0 Mengapa? v Sehingga (-p). q = -(p. q)

• Tunjukkan (-p). (-q) = p. q. Untuk p, q bilangan bulat. • Jawab: Untuk menunjukkan (-p). (-q) = pq, cukup menunjukkan bahwa [(-p). (-q)] + -(pq) = 0 Mengapa? • Cobalah dikerjakan sebagai latihan.

Operasi Pengurangan • Sifat-Sifat • Algoritma

Sifat-sifat Operasi Pengurangan Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat : 1. Tertutup p - q adalah bilangan bulat yang tunggal 2. Distributif perkalian terhadap pengurangan p x (q - r) = (pxq) – (pxr) (distributif kiri) (q - r) x p = (qxp ) – (rxp) (distributif kanan)

Operasi Pembagian • Sifat-Sifat • Algoritma

Sifat-sifat Operasi Pembagian Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat -sifat : 1. Pembagian dengan bilangan 0 0 ÷ p = 0 2. Pembagian dengan bilangan 1 p ÷ 1 = p 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi) (q + r) ÷ p = (q ÷ p) + (r ÷ p) 4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu sisi) (q - r) ÷ p = (q ÷ p) - (r ÷ p)