OPERASI PADA BILANGAN BULAT Oleh Chrisnaji Banindra Yudha
![OPERASI PADA BILANGAN BULAT Oleh: Chrisnaji Banindra Yudha OPERASI PADA BILANGAN BULAT Oleh: Chrisnaji Banindra Yudha](https://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-1.jpg)
OPERASI PADA BILANGAN BULAT Oleh: Chrisnaji Banindra Yudha
![1. Operasi Penjumlahan • Pada tahap pengenalan konsep secara konkret kita bisa menggunakan model 1. Operasi Penjumlahan • Pada tahap pengenalan konsep secara konkret kita bisa menggunakan model](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-2.jpg)
1. Operasi Penjumlahan • Pada tahap pengenalan konsep secara konkret kita bisa menggunakan model peraga salah satunya yang akan dijelaskan pada diskusi ini adalah Koin negatif, positif atau lebih dikenal dengan peraga manik – manik. • Bagaimana cara pengerjaan 5 + ( -3 ) dengan manik-manik ?
![Langkah Hasil Ambil 3 bagian koin sisi negatif 3 Koin positif Ambil 4 bagia Langkah Hasil Ambil 3 bagian koin sisi negatif 3 Koin positif Ambil 4 bagia](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-3.jpg)
Langkah Hasil Ambil 3 bagian koin sisi negatif 3 Koin positif Ambil 4 bagia n negat if 4 Koin negatif Kemudian gabungkan sisi positif dan negatif 3 koin netral / bernilai 0 Ternyata ada sisa bagian negatif satu buah 1 koin negatif Dari model peraga di atas disimpulkan bahwa operasi hitung 3 + ( -4 ) = -1 bernilai negatif hal itu karena dari model peraga koin setelah setiap sisi positif dan negatif disatukan menjadi koin netral di dapatkan sisa 1 koin bernilai negatif. .
![Peragaan positif ditambah negatif SISA Peragaan positif ditambah negatif SISA](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-4.jpg)
Peragaan positif ditambah negatif SISA
![2. Operasi Pengurangan • Sama hal nya pada operasi penjumlahan, pada pengurangan menggunakan benda 2. Operasi Pengurangan • Sama hal nya pada operasi penjumlahan, pada pengurangan menggunakan benda](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-5.jpg)
2. Operasi Pengurangan • Sama hal nya pada operasi penjumlahan, pada pengurangan menggunakan benda konkrit yaitu manik-manik. • Bagaimana cara pengerjaan -3 - (-2 ) dengan manik-manik ?
![Langkah Hasil Ambil 3 bagian koin sisi negatif 3 Koin negatif Ambil 2 bagia Langkah Hasil Ambil 3 bagian koin sisi negatif 3 Koin negatif Ambil 2 bagia](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-6.jpg)
Langkah Hasil Ambil 3 bagian koin sisi negatif 3 Koin negatif Ambil 2 bagia n negat if 4 Koin negatif Kemudian dengan mengucapk an dimbil 2, maka sisa berapa? Ambil 2 koin negatif Ternyata ada sisa bagian negative satu buah 1 koin negatif Dari model peraga di atas disimpulkan bahwa operasi hitung -3 - (- 2) = -1 bernilai negatif hal itu karena dari model peraga koin setelah setiap sisi positif dan negatif disatukan menjadi koin netral di dapatkan sisa 1 koin bernilai negatif.
![Peragaan negatif dikurangi negatif Peragaan negatif dikurangi negatif](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-7.jpg)
Peragaan negatif dikurangi negatif
![3. Operasi Perkalian a. Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat positif 3 x 3. Operasi Perkalian a. Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat positif 3 x](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-8.jpg)
3. Operasi Perkalian a. Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat positif 3 x 5=5+5+5 = 15 Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif hasilnya dalah bilangan positif Kesepakatan: • Pengali mewakili banyaknya kegiatan memasukkan atau mengeluarkan keping • Pengali positif, artinya memasukkan/menambahkan keping ke dalam persegi • Pengali negatif, artinya mengeluarkan/mengambil keping dari persegi • Bilangan yang dikali , mewakili keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) • Hasil kali , menunjukkan keping akhir yang terdapat dalam persegi b. Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif 2 x (-3) = -3 + -3 = -6 4 x (-12) = (-12) + (-12) = -48 Maka diperoleh, perkalian bilangan positif dengan negatif hasilnya adalah bilangan negatif atau “ax (–b) = -ab”
![2 x (-3) Dianalogikan menggunakan manik-manik Perkalian ini dapat dimaknai dengan memasukan 3 Manikmanik 2 x (-3) Dianalogikan menggunakan manik-manik Perkalian ini dapat dimaknai dengan memasukan 3 Manikmanik](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-9.jpg)
2 x (-3) Dianalogikan menggunakan manik-manik Perkalian ini dapat dimaknai dengan memasukan 3 Manikmanik sisi negatif. Sehingga siswa dapat mengihutung keseluruhan sisi manik-manik negatif tersebut. • Oleh karena itu, perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif hasilnya dalah bilangan negatif
![c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif • (– 2) × (+3) c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif • (– 2) × (+3)](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-10.jpg)
c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif • (– 2) × (+3) = … • Perkalian ini dapat dimaknai mengeluarkan 3 sisi positif sebanyak 2 kali. • Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegi, maka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangan keping sisi positif dan negatif).
![• Lalu 3 keping positif kita keluarkan dari persegi. • Lalu 3 keping positif kita keluarkan dari persegi.](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-11.jpg)
• Lalu 3 keping positif kita keluarkan dari persegi.
![• Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 3 keping positif sebanyak 2 kali. • • Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 3 keping positif sebanyak 2 kali. •](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-12.jpg)
• Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 3 keping positif sebanyak 2 kali. • Dengan demikian kita harus mengeluarkan satu kali lagi. Untuk itu kita perlu mengisi persegi lagi dengan 3 pasang keping positif dan negatif yang mewakili bilangan nol.
![• Kemudian kita keluarkan lagi 3 keping positif. • Kemudian kita keluarkan lagi 3 keping positif.](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-13.jpg)
• Kemudian kita keluarkan lagi 3 keping positif.
![• Nha, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya? • • Nha, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya? •](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-14.jpg)
• Nha, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya? • Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 6 keping negatif yang mewakili – 6. • Dengan demikian, (– 2) × (+3) = – 6, atau ditulis – 2 × 3 = – 6. • Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif
![c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif • -2 x -2 =. c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif • -2 x -2 =.](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-15.jpg)
c. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif • -2 x -2 =. . . • Perkalian ini dapat dimaknai, mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. • Karena belum ada yang bisa dikeluarkan dari persegi maka persegi kita isi dulu dengan nol (pasangan keping positif dan negatif). • Perhatikan, karena yang akan dikeluarkan sebanyak 2 keping maka nol yang kita isikan berupa 2 pasang keping positif dan negatif.
![• Lalu 2 keping negatif kita keluarkan dari persegi. • Lalu 2 keping negatif kita keluarkan dari persegi.](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-16.jpg)
• Lalu 2 keping negatif kita keluarkan dari persegi.
![• Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. • • Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. •](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-17.jpg)
• Ingat bahwa kita akan mengeluarkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali. • Karena kita baru mengeluarkan sekali maka kita perlu mengisi persegi lagi dengan 2 pasang keping positif dan negatif yang mewakili bilangan nol.
![• Kemudian kita keluarkan lagi 2 keping negatif. • Kemudian kita keluarkan lagi 2 keping negatif.](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-18.jpg)
• Kemudian kita keluarkan lagi 2 keping negatif.
![• Coba lihat, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya? • Coba lihat, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya?](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-19.jpg)
• Coba lihat, sekarang keping apa yang tertinggal di dalam persegi? Berapa banyaknya? • Terlihat bahwa dalam persegi terdapat 4 keping positif yang mewakili 4. • Dengan demikian, (– 2) × (– 2) = +4, atau ditulis – 2 × (– 2) = 4. • Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif
![4. Operasi Pembagian Kesepakatan: • Yang dibagi adalah keping akhir yang diinginkan • Pembagi 4. Operasi Pembagian Kesepakatan: • Yang dibagi adalah keping akhir yang diinginkan • Pembagi](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-20.jpg)
4. Operasi Pembagian Kesepakatan: • Yang dibagi adalah keping akhir yang diinginkan • Pembagi , adalah keping yang dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) • Hasil bagi , menunjukkan banyaknya kegiatan memindah (memasukkan atau mengeluarkan) keping ke/dari persegi sehingga dalam persegi terdapat keping seperti yang diinginkan. • Hasil bagi positif menunjukkan kita memasukkan keping ke dalam persegi • Hasil bagi negatif menunjukkan kita mengeluarkan keping dari persegi
![a. Positif dengan positif • (+4) : (+2) = … • Berdasarkan kesepakatan pembagian a. Positif dengan positif • (+4) : (+2) = … • Berdasarkan kesepakatan pembagian](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-21.jpg)
a. Positif dengan positif • (+4) : (+2) = … • Berdasarkan kesepakatan pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping positif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping positif? • Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping positif dan yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping positif juga maka yang harus kita lakukan adalah memasukkan keping positif.
![• Pertama kita masukkan 2 keping positif, ternyata belum mencukupi yang diinginkan, sehingga • Pertama kita masukkan 2 keping positif, ternyata belum mencukupi yang diinginkan, sehingga](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-22.jpg)
• Pertama kita masukkan 2 keping positif, ternyata belum mencukupi yang diinginkan, sehingga kita perlu memasukkan 2 keping positif lagi. • Sekarang di dalam persegi sudah terdapat 4 keping positif, sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2 keping positif sebanyak 2 kali. • Dengan demikian (+4) : (+2) = (+2) atau ditulis 4 : 2 = 2.
![2. Positif dan negatif • (+4) : (– 2) = … • Operasi pembagian 2. Positif dan negatif • (+4) : (– 2) = … • Operasi pembagian](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-23.jpg)
2. Positif dan negatif • (+4) : (– 2) = … • Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping negatif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping positif. • Perhatikan bahwa keping yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping positif, sedangkan yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping negatif. • Jika yang akan kita lakukan adalah memasukkan keping negatif jelas hasilnya nanti tidak sesuai dengan yang diinginkan. Jika yang akan kita lakukan adalah mengeluarkan keping negatif, tentu saja tidak bisa karena persegi masih kosong.
![• Kemudian keluarkan 2 keping negatif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping positif • Kemudian keluarkan 2 keping negatif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping positif](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-24.jpg)
• Kemudian keluarkan 2 keping negatif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping positif yang tertinggal dalam persegi sudah sesuai yang dikehendaki? • Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegi dulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positif dan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknya pasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknya keping yang akan kita pindahkan.
![• Karena yang diinginkan adalah 4 keping positif, maka kita harus mengulangi lagi • Karena yang diinginkan adalah 4 keping positif, maka kita harus mengulangi lagi](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-25.jpg)
• Karena yang diinginkan adalah 4 keping positif, maka kita harus mengulangi lagi mengisi persegi dengan nol (2 pasang keping positif dan negatif).
![• Kemudian 2 keping negatif kita keluarkan untuk yang kedua kalinya. • Perhatikan • Kemudian 2 keping negatif kita keluarkan untuk yang kedua kalinya. • Perhatikan](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-26.jpg)
• Kemudian 2 keping negatif kita keluarkan untuk yang kedua kalinya. • Perhatikan keping di dalam persegi, sudah sesuai dengan yang diinginkan bukan?
![3. Negatif dengan positif • (– 4 ): (+2) = … • Operasi pembagian 3. Negatif dengan positif • (– 4 ): (+2) = … • Operasi pembagian](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-27.jpg)
3. Negatif dengan positif • (– 4 ): (+2) = … • Operasi pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping positif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping negatif. • Pembagian ini sejenis dengan pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif. Perhatikan bahwa keping yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping negatif, sedangkan yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping positif. • Jika yang akan kita lakukan adalah memasukkan keping positif jelas hasilnya nanti tidak sesuai dengan yang diinginkan. Kita juga tidak bisa mengeluarkan keping positif, karena persegi masih kosong.
![• Kemudian keluarkan 2 keping positif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping negatif • Kemudian keluarkan 2 keping positif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping negatif](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-28.jpg)
• Kemudian keluarkan 2 keping positif dari persegi. Perhatikan apakah banyaknya keping negatif yang tertinggal dalam persegi sudah sesuai yang dikehendaki? • Untuk itu sebelumnya kita perlu mengisi persegi dulu dengan nol yang berupa 2 pasang keping positif dan negatif. Mengapa 2 pasang? Banyaknya pasangan nol ini disesuaikan dengan banyaknya keping yang akan kita pindahkan.
![• Karena yang diinginkan adalah 4 keping negatif, maka kita harus mengulangi lagi • Karena yang diinginkan adalah 4 keping negatif, maka kita harus mengulangi lagi](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-29.jpg)
• Karena yang diinginkan adalah 4 keping negatif, maka kita harus mengulangi lagi mengisi persegi dengan nol (2 pasang keping positif dan negatif).
![• Kemudian 2 keping positif kita keluarkan untuk yang kedua kali. • Nah, • Kemudian 2 keping positif kita keluarkan untuk yang kedua kali. • Nah,](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-30.jpg)
• Kemudian 2 keping positif kita keluarkan untuk yang kedua kali. • Nah, sekarang keping yang ada di dalam persegi sudah sesuai dengan yang diinginkan, yaitu 4 keping negatif. • Jadi untuk mendapatkan 4 keping negatif di dalam persegi kita perlu mengeluarkan atau mengambil 2 keping positif sebanyak 2 kali. Mengeluarkan atau mengambil sebanyak 2 kali ini diwakili oleh bilangan – 2 yang tidak lain adalah hasil bagi dari – 4 dibagi +2.
![4. Negatif dengan negatif • (– 4) : (– 2) = … • Berdasarkan 4. Negatif dengan negatif • (– 4) : (– 2) = … • Berdasarkan](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-31.jpg)
4. Negatif dengan negatif • (– 4) : (– 2) = … • Berdasarkan kesepakatan, pembagian ini dapat dimaknai berapa kali harus memasukkan atau mengeluarkan 2 keping negatif sehingga di dalam persegi terdapat 4 keping negatif.
![• Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping negatif dan yang • Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping negatif dan yang](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-32.jpg)
• Karena yang harus dipindahkan (dimasukkan atau dikeluarkan) adalah keping negatif dan yang diinginkan di dalam persegi nantinya adalah keping negatif juga maka yang harus kita lakukan adalah memasukkan keping negatif. • Pertama kita masukkan 2 keping negatif, ternyata belum mencukupi yang diinginkan, sehingga kita perlu memasukkan 2 keping negatif lagi. Sekarang di dalam persegi sudah terdapat 4 keping negatif, sesuai yang diinginkan, berarti kita memasukkan 2 keping negatif sebanyak 2 kali.
![• Dari keempat contoh pembagian di atas diperoleh, • 4 : 2 = • Dari keempat contoh pembagian di atas diperoleh, • 4 : 2 =](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-33.jpg)
• Dari keempat contoh pembagian di atas diperoleh, • 4 : 2 = 2 (pembagian bilangan positif dengan bialngan positif menghasilkan bilangan positif) • 4 : (– 2) = – 2 (pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif) • (– 4) : 2 = – 2 (pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif) • (– 4) : (– 2) = 2 (pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif)
![Sifat Operasi Hitung • Sifat operasi penjumlahan 1. Sifat tertutup apabila kita menjumlahkan dua Sifat Operasi Hitung • Sifat operasi penjumlahan 1. Sifat tertutup apabila kita menjumlahkan dua](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-34.jpg)
Sifat Operasi Hitung • Sifat operasi penjumlahan 1. Sifat tertutup apabila kita menjumlahkan dua bilangan bulat maka hasilnya adalah bilangan bulat atau himpunan dari bilangan bulat. Contoh: 1 + 3 = 4 1 + ( -3 ) = -2 menghasilkan bilangan bulat yaitu 4 dan – 2
![2. Sifat komutatif (pertukaran) Artinya adalah Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang 2. Sifat komutatif (pertukaran) Artinya adalah Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-35.jpg)
2. Sifat komutatif (pertukaran) Artinya adalah Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan ters ebut dipertukarkan tempatnya. maka diperoleh “a + b=b+a” Contoh: 5 + 3 = 3 +5 8 = 8
![3. Sifat Asosiatif Pada sifat asosiatif/pengelompokan berlaku ketentuan sebagai berikut: “( a + b 3. Sifat Asosiatif Pada sifat asosiatif/pengelompokan berlaku ketentuan sebagai berikut: “( a + b](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-36.jpg)
3. Sifat Asosiatif Pada sifat asosiatif/pengelompokan berlaku ketentuan sebagai berikut: “( a + b ) + c = a + (b + c )” Contoh : (1 + 2 )+3 = 1 + ( 2 + 3) 3 + 3 = 1 + 5 6 = 6
![4. Mempunyai unsur identitas Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk 4. Mempunyai unsur identitas Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-37.jpg)
4. Mempunyai unsur identitas Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. a+0=0+a=a 5. Mempunyai Invers artinya lawan dari suatu bilangan tersebut, suatu bilangan dikatan mempunyai invers jumlah apabila hasil penjumlahan dengan lawannya merupakan unsur identitas (nol). maka “a+(-a) = (-a)+a = 0
![Sifat – sifat Pengurangan 1. Sifat Tertutup • Maksud dari sifat tertutup adalah apabila Sifat – sifat Pengurangan 1. Sifat Tertutup • Maksud dari sifat tertutup adalah apabila](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-38.jpg)
Sifat – sifat Pengurangan 1. Sifat Tertutup • Maksud dari sifat tertutup adalah apabila kita mengurangkan dua bilangan bulat maka hasilnya adalah bilangan bulat atau himpunan dari bilangan bulat. Contoh : 4– 2 = 2 2 – 4 = -2 hasilnya adalah bilangan bulat 2 dan – 2
![• 2. Unsur identitas Apabila suatu bilangan di jumlahkan dengan bilangan tersebut maka • 2. Unsur identitas Apabila suatu bilangan di jumlahkan dengan bilangan tersebut maka](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-39.jpg)
• 2. Unsur identitas Apabila suatu bilangan di jumlahkan dengan bilangan tersebut maka hasilnya tidak berubah atau bilangan itu sendiri. Maka berlaku a – 0 = a ; Contoh : -3 – 0 = -3 0 – 5 =– 5 7– 0 = 7 0 –a = -a
![Sifat-Sifat Perkalian 1) Sifat tertutup Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a Sifat-Sifat Perkalian 1) Sifat tertutup Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-40.jpg)
Sifat-Sifat Perkalian 1) Sifat tertutup Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a x b = c, maka c juga bilangan bulat. • Contoh 4 x (-2) = -8 (-3)x (-5) = 15 2). Sifat komutatif (pertukaran ) Apabila setiap dua bilangan bulat hasil kalinya juga merupakan bilangan bulat • Contoh 2 x 3 = 3 x 2 3 x (-4) = -4 x 3 (-2) x (-5) = (-5) x (-2)
![3). Sifat Pengelompokan • Bukti : 3 x ((-2) x 4) = (3 x 3). Sifat Pengelompokan • Bukti : 3 x ((-2) x 4) = (3 x](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-41.jpg)
3). Sifat Pengelompokan • Bukti : 3 x ((-2) x 4) = (3 x (-2)) x 4 Ruas kiri 3 x ((-2) x 4) = -24 Ruas kanan (3 x (-2)) x 4 = -24 Maka ruas kiri = ruas kanan • Dengan mengambil sembarang tiga bilangan bulat lainnya, maka hasil perhitungannya selalu sama. Oleh karena itu sifat pengelompokan berlaku.
![• Sifat penyebaran Bukti 3 x ((-2)+4)=(3 x(-2)) + (3 x 4) Ruas • Sifat penyebaran Bukti 3 x ((-2)+4)=(3 x(-2)) + (3 x 4) Ruas](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-42.jpg)
• Sifat penyebaran Bukti 3 x ((-2)+4)=(3 x(-2)) + (3 x 4) Ruas kiri (3 x (-2)) x 4 =3 x 2 =6 Ruas kanan (3 x(-2)) + (3 x 4) = -6+12 =6 Melalui perkalian sembarang tiga bilangan bulat, maka hasil perhitungannya selalu sama. Oleh karena itu sifat penyebaran berlaku.
![Sifat pembagian 1. Sifat tertutup? Apakah pada pembagian bilangan bulat juga bersifat tertutup? • Sifat pembagian 1. Sifat tertutup? Apakah pada pembagian bilangan bulat juga bersifat tertutup? •](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-43.jpg)
Sifat pembagian 1. Sifat tertutup? Apakah pada pembagian bilangan bulat juga bersifat tertutup? • Bukti: 6: 1=6 6: 2=3 6: 3=2 6 : 4 = 1, 5 • Ini dapat dilihat pada pembagian 6 : 4 = 1, 5. Di mana 1, 5 bukan merupakan bilangan bulat. Jadi, dapat disimpulkan bahwa pada operasi pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
![2. Sifat Komutatif (Pertukaran) Operasi perkalian dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama 2. Sifat Komutatif (Pertukaran) Operasi perkalian dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-44.jpg)
2. Sifat Komutatif (Pertukaran) Operasi perkalian dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Misalnya 2 × (– 5) akan sama hasilnya dengan (– 5) × 2 yakni – 10. Bagaimana dengan operasi bentuk pembagian pada bilangan bulat? • Bukti 8: 4=2 4: 8=½ Ternyata 8 : 4 ≠ 4 : 8. Oleh karena itu, pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif (pertukaran).
![3. Sifat Asosiatif (Pengelompokan) • Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif (pengelompokan), misalnya 3. Sifat Asosiatif (Pengelompokan) • Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif (pengelompokan), misalnya](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-45.jpg)
3. Sifat Asosiatif (Pengelompokan) • Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif (pengelompokan), misalnya (2 × 3) × 4 akan sama hasilnya 2 × (3 × 4) yakni 24. Bagaimana dengan pada pembagian bilangan bulat? Apakah akan berlaku sifat asosiatif? • Bukti (12 : 6) : 2 = 1 12 : (6 : 2) = 4. Ternyata (12 : 6) : 2 ≠ 12 : (6 : 2). Oleh karena itu, pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatatif (pengelompokan)
![4. Mempunyai Elemen Identitas • Bilangan 1 (satu) merupakan elemen identitas pada pembagian. Artinya, 4. Mempunyai Elemen Identitas • Bilangan 1 (satu) merupakan elemen identitas pada pembagian. Artinya,](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-46.jpg)
4. Mempunyai Elemen Identitas • Bilangan 1 (satu) merupakan elemen identitas pada pembagian. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila dibagi 1 (satu), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. • Hal ini dapat dituliskan bahwa “Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p : 1 = p”.
![• Terimakasih • Terimakasih](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-47.jpg)
• Terimakasih
![Latihan • Jelaskan peragaan -6 + n = 2 dengan menggunakan garis bilangan. • Latihan • Jelaskan peragaan -6 + n = 2 dengan menggunakan garis bilangan. •](http://slidetodoc.com/presentation_image_h2/7c1eb8fa756d9dad0d9965ce92b5278e/image-48.jpg)
Latihan • Jelaskan peragaan -6 + n = 2 dengan menggunakan garis bilangan. • Pada garis bilangan mulai dari titik 0 dan bergeser kekiri berturut-turut 3 satuan dan 2 satuan. • Jelaskan peragaan –(-4) – (-9) = n, dengan menggunakan garis bilangan • Jelaskan peragaan 7 – n = 5 dengan menggunakan garis bilangan • Susunlah pembelajaran dalam memahami perkalian bilangan bulat positif dengan negatif hasilnya adalah negatif, dengan menggunakan konsep lawaan dari bilangan bulat.
- Slides: 48