OPERASI BINER Definisi Operasi Biner Contoh Operasi Biner

OPERASI BINER

Definisi Operasi Biner Contoh Operasi Biner ■ Suatu Himpunan adalah suatu kumpulan, atau koleksi dari suatu objek. Masing-masing objek disebut dengan elemen atau anggota himpunan. ■ Operasi pembagian pada bilangan riil. ■ Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya. Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari himpunan S × S ke himpunan S. ■ Operasi biner • yang didefinisikan sebagai : ■ ■ Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, ×, *, • , dan sebagainya. ■ Hasil dari sebuah operasi, misalnya • , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a • b = a + b – 2 ab.

Sifat Operasi Biner Misalkan * dan • adalah operasi biner. Operasi * dikatakan : ■ KOMUTATIF, jika a * b = b * a, untuk setiap a, b. ■ • a * a-1 = e atau a-1 * a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi *. IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a. IDENTITAS KIRI, Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga ASOSIATIF, jika (a * b) * c = a * (b * c), untuk setiap a, b, c. ■ ■ a-1 disebut invers dari elemen a. ■ DISTRIBUTIF terhadap operasi • dan *, jika untuk setiap a, b, c berlaku jika terdapat e 1 sedemikian hingga e 1 * a = a, untuk setiap a. a * (b • c ) = ( a * b) • (a * c) dan • (b • c ) * a = ( b * a) • (c * a). IDENTITAS KANAN, jika terdapat e 2 sedemikian hingga a * e 2 = a, untuk setiap a.

Contoh 1. Misalkan A = {0, 1}. Apakah A bersifat komutatif dibawah operasi perkalian dan penjumlahan? 2. Misalkan B = {0, 1, 2, 3}. Apakah B bersifat asosiatif dibawah operasi penjumlahan dan perkalian? 3. Misalkan C = {n | n adalah bilangan ganjil}. Apakah C bersifat komutatif dan asosiatif dibawah operasi penjumlahan? 4. Misalkan D = {n | n adalah bilangan genap}. Apakah D bersifat komutatif dan asosiatif dibawah operasi perkalian? 5. Himpunan integer E = {…, -1, 0, 1, 2, …}. Tentukan apakah operasi berikut pada E adalah asosiatif: a) Penjumlahan b) Perkalian c) Perkalian

Latihan soal 1. Buktikan bahwa operasi penjumlahan biasa bersifat asosiatif, komutatif, mempunyai nilai identitas dan nilai invers ! 2. Apakah hal tsb berlaku juga untuk operasi perkalian?

■ END

Contoh 1. Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x + y = y + x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x + y) + z = x + (y + z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0. Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p + (-p) = 0. 2. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan (b + c) × a = (b × a) + (c × a). Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q × r) ≠ (p + q) × (p + r). Contoh: 2 + (3 × 4) ≠ (2 + 3) × (2 + 4).