Open Course Diferensial dan Integral Oleh Sudaryatno Sudirham
- Slides: 115
Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham
Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral. Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik, pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan dengan pendekatan dari sisi aplikasi.
Cakupan Bahasan Ø Turunan Fungsi-Fungsi Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian Dua Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial Ø Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral Tentu. Penerapan Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral. Ø Persamaan Diferensial Pengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian y Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah 2 Δy 1 Δx 0 0 1 2 3 4 x -1 Bagaimanakah dengan garis lengkung?
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian y = f(x) P 2 y Δy P 1 Δx x Δx di perkecil menjadi x* y = f(x) y pada kondisi Δx mendekati nol Δy* P 1 Δx* x fungsi turunan dari di titik P ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian y (x 2, y 2) (x 1, y 1) x f ′(x) di titik (x 1, y 1) adalah turunan y di titik (x 1, y 1), f ′(x) di titik (x 2, y 2) adalah turunan y di titik (x 2, y 2)
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Jika pada suatu titik x 1 di mana benar ada maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut” kita baca “turunan fungsi y terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
Fungsi Mononom
Turunan Fungsi, Mononom Fungsi Mononom Contoh-1. 1 Contoh-1. 2 y 10 8 Fungsi ramp 6 4 Fungsi tetapan 2 0 0 1 2 3 x 4 5
Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1. 3 Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus) Contoh-1. 4 Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)
Turunan Fungsi, Mononom Secara umum, turunan mononom adalah Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus *) dan turunannya berupa nilai konstan, Jika n > 1, maka turunan fungsi x, akan merupakan Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi turunan dari *) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian
Turunan Fungsi, Mononom disebut turunan pertama, turunan kedua, turunan ke-tiga, dst. Contoh-1. 5:
Turunan Fungsi, Mononom Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya. Contoh-1. 6: dan turunan-turunannya Fungsi 200 100 0 -3 -2 -1 -100 0 1 2 3 4
Fungsi Polinom
Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1. 7: 10 y f 1(x) = 4 x + 2 8 6 4 2 0 -1 -0, 5 -2 -4 0 0, 5 1 1, 5 x 2 Turunan fungsi ini sama dengan turunan f(x)=4 x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0. Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f (x) Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu
Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1. 8: y 10 5 0 -1 0 -5 -10 -15 1 2 3 x 4
Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1. 9: Contoh-1. 10: Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.
Nilai Puncak Suatu Fungsi
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Titik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garis singgung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x). Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol. Contoh-1. 11: Polinom Orde Dua Jika fungsi turunan pertama ini = 0 maka Inilah absis titik puncak Ordinat titik puncak diperoleh dengan memasukkan xp ke persamaan kurva Jadi koordinat titik puncak adalah:
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Secara umum, xp dari fungsi kuadrat dapat diberoleh dengan membuat sehingga diperoleh Ordinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkan xp ke persamaan.
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Maksimum dan Minimum Bagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum? Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. y (kemiringan garis singgung) sekitar titik maksimum terus menurun y bernilai negatif di sekitar titik maksimum P y y y x Q Apabila di titik puncak y < 0, titik puncak tersebut adalah titik maksimum. Apabila di titik puncak y < 0, titik puncak tersebut adalah titik minimum y (kemiringan garis singgung) sekitar titik minimum terus meningkat y bernilai positif di sekitar titik minimum
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Contoh-1. 12: 45 30 Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai minimum, karena y > 0 15 -10 -8 -6 -4 -2 0 0 -15 2 -30 Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > ymin Contoh-1. 13: Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai maksimum, karena y < 0 -4 45 30 15 0 -2 0 -15 -30 -45 -60 2 4 6 8 Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < ymaks
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Contoh-1. 14: maksimum relatif y minimum relatif 15 10 P[0, 3] Q[1, 2] 5 -2 -1, 5 -1 0 -0, 5 0 -5 -10 -15 -20 0, 5 1 1, 5 2 x 2, 5
Turunan Fungsi, Garis Singgung Kemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurva suatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R. Contoh-1. 15: memiliki ordinat Titik R dengan absis R(2, 7) Kemiringan garis singgung di titik R adalah Persamaan garis singgung: y 15 10 R 5 0 -2 -1, 5 -1 -0, 5 0 -5 -10 -15 -20 0, 5 ys 1 1, 5 2 x 2, 5
Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Jika maka
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Contoh-1. 16: Turunan adalah Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi Jika Contoh-1. 17: Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-1. 18: Contoh ini menunjukkan bahwa Secara Umum:
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-1. 19: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
Fungsi Rasional
Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi:
Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Contoh-1. 20: Contoh-1. 21: Contoh-1. 22: (agar penyebut tidak nol)
Fungsi Implisit
Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.
Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Contoh-1. 23: Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh Jika kita peroleh turunan
Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Contoh-1. 24: Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh Untuk kita dapat memperoleh turunan
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Bilangan tidak bulat dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 (v adalah fungsi yang bisa diturunkan) Jika y ≠ 0, kita dapatkan sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
Kaidah Rantai
Turunan Fungsi, Kaidah Rantai Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk Kaidah rantai Jika maka dapat diturunkan terhadap x dan dapat diturunkan terhadap t, dapat diturunkan terhadap t menjadi
Diferensial dx dan dy
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: dx dan dy didefinisikan sebagai berikut: 1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Penjelasan secara grafis y P dy Ini adalah fungsi (peubah tak bebas) y P dx Ini adalah peubah bebas x dx x ; laju perubahan y terhadap perubahan x. Jika dx berubah, maka dy dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”. y y dx P P dy y dy dx dx dy x x P x
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x. Turunan Fungsi Diferensial
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1). Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh-1. 25: sehingga Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos x = 1 dan sin x = x. Oleh karena itu
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos x = 1 dan sin x = x. Oleh karena itu
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-1. 26: Hubungan antara tegangan kapasitor v. C dan arus kapasitor i. C adalah Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2 10 -6 farad merupakan fungsi sinus v. C = 200 sin 400 t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah v. C i. C p. C 200 i. C p. C 100 0 -100 -200 0 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 0. 05 t [detik]
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-1. 27: Arus pada suatu inductor L = 2, 5 henry merupakan fungsi sinus i. L = 0, 2 cos 400 t ampere. Hubungan antara tegangan induktor v. L dan arus induktor i. L adalah v. L i. L p L v. L i. L p. L 200 100 0 -100 -200 0 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 0. 05 t[detik]
Fungsi Trigonometri Inversi
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Inversi Turunan Fungsi Trigonometri Inversi 1 y x x
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri y x 1
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri x y 1
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Jika w = f(x), maka
Fungsi Logaritmik dan Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi, Fungsi Logaritmik Turunan Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik y didefinisikan melalui suatu integral Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut 6 5 1/t 4 luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu -t, dalam selang antara t = 1 dan t = x 3 2 1 0 0 1 2 1/x x 3 x +Δx 4 t 1/(x+Δx) ln(x+ x) lnx Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx 1/x).
Turunan Fungsi, Fungsi Eksponensial Turunan Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau . Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri dst. Jika
Integral Tak Tentu
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial. Contoh persamaan diferensial
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Tinjau persamaan diferensial Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dapat memenuhi Karena fungsi maka juga merupakan solusi
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian dapat dituliskan Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-2. 1: Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahu bahwa oleh karena itu
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-2. 2: Carilah solusi persamaan kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda Jika kedua ruas diintegrasi
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
Integral Tak Tentu, Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. yi = 10 x 2 +Ki y = 10 x 2 100 y -3 -1 K 3 K 2 K 1 50 50 -5 y 1 3 x 5 kurva adalah kurva bernilai tunggal -5 -3 -1 1 3 x 5 kurva adalah kurva bernilai banyak
Integral Tak Tentu, Penggunaan Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Contoh-2. 3: Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai kecepatan percepatan waktu Posisi benda pada waktu t = 0 adalah posisi benda pada t = 4. Kecepatan adalah laju perubahan jarak, Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, . Kondisi awal: pada t = 0, s 0 = 3 sehingga pada t = 4 posisi benda adalah ; tentukanlah
Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Contoh-2. 4: y Apx 2 0 p x y = f(x) =2 x+ x q x atau Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p atau
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang y 0 p f(x+ x ) f(x) x y = f(x) x+ x q x Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan Apx = f(x) x atau Apx = f(x+ x) x x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+ x Jika x 0:
Integral Tentu
Integral Tentu, Pengertian Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. y y = f(x) Bidang dibagi dalam segmen -segmen 0 p x 2 xk xk+1 xn q x Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen y y y = f(x) 0 p x 2 xk xk+1 xn q Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk) xk x y = f(x) 0 p x 2 xk xk+1 xn q Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+ x) xk x
Integral Tentu, Pengertian y y y = f(x) 0 p x 2 xk xk+1 xn q Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk) xk x y = f(x) 0 p x 2 xk xk+1 xn q Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+ x) xk Jika x 0 k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama Nilai limit itu merupakan integral tentu x
Integral Tentu, Pengertian y y = f(x) 0 p x 2 xk xk+1 xn q Luas bidang menjadi x
Luas Bidang
Integral Tentu, Luas Bidang Definisi Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Contoh-2. 5: Luas antara dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3. 20 10 0 -4 -3 -2 -1 0 -10 -20 x 1 2 3 4
Integral Tentu, Luas Bidang Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x y y = f(x) A 2 p A 1 A 3 A 4 q x
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Luas Bidang Di Antara Dua Kurva berada di atas y p y 1 x 0 y 2 x+ x Rentang q x Apx jumlah semua segmen: Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit dibagi dalam n segmen
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Contoh-2. 6: Jika dan berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2 dari x 1 = p = 2 sampai x 2 = q = +3. Contoh-2. 7: Jika dan berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y 1 dan y 2 4 y y 1 y 2 di atas x y 1 2 -2 -1 0 0 1 2
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva dan Contoh-2. 8: Jika berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2. y Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva 4 2 -2 -1 0 -2 y 1 0 y 2 -4 y 1 di atas y 2 1 2 x
Integral Tentu, Penerapan Integral Contoh-2. 9: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200 V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
Integral Tentu, Penerapan Contoh-2. 10: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0, 05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Volume Sebagai Suatu Integral
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+ x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah x Volume balok V adalah Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka : luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+ x).
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x P y Q O x A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. x m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Sembarang f(x) y 0 a b x x Rotasi Gabungan Fungsi Linier f 3(x) y f 1(x) f 2(x) 0 a b x x Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
Pengertian-Pengertian
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai: 1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas. 2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. 3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Contoh: adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian Solusi Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya. Contoh: adalah solusi dari persamaan karena turunan adalah dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh Persamaan terpenuhi. Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita tuliskan dalam bentuk Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Contoh-3. 1: Persamaan ini dapat kita tuliskan yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah Integrasi kedua ruas: sehingga atau
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Contoh-3. 2: Pemisahan peubah akan memberikan bentuk atau Integrasi kedua ruas atau
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk Jadikan sebagai peubah bebas baru yang akan memberikan dan pemisahan peubah: atau:
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Contoh-3. 3: Usahakan menjadi homogen Peubah baru v = y/x peubah terpisah atau
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v sebagai fungsi x. Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa Kita coba hitung Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi Integrasi ke-dua ruas:
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik. Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan. Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian. Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Hal ini dapat difahami karena jika f 1(t) memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f 2(t) memenuhi persamaan homogen, maka y = (f 1+f 2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab Jadi y = (f 1+f 2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Solusi Homogen Persamaan homogen Jika ya adalah solusinya maka integrasi kedua ruas memberikan sehingga Inilah solusi homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Jika solusi khusus adalah yp , maka Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp. Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi Jika dugaan solusi total adalah Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-3. 4: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V. Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol. Penerapan kondisi awal: Solusi total:
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-3. 5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap. Solusi homogen: Solusi khusus: karena f(t) = 12 Solusi total (dugaan): Penerapan kondisi awal: Solusi total:
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-3. 6: Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transien menghasilkan persamaan Carilah solusi total Solusi homogen: Solusi khusus: Solusi total (dugaan): Penerapan kondisi awal: Solusi total :
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Untuk Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan langsung melihat Analisis Transien
Courseware Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham
- Integral garis dan integral permukaan
- Open innovation open science open to the world
- Integral sec^5
- Non-integral citation
- Non integral citation
- Examples of non integral foreign operations
- Integral adalah
- Hubungan antara fungsi dan derivatifnya
- Rumus aproksimasi
- Aturan rantai
- Kalkulus diferensial turunan
- Perbedaan biaya penuh dan biaya diferensial
- Hakikat derivatif dan diferensial
- Cut brick lengthwise
- Course number and title
- Course interne course externe
- Ultra thin bonded wearing course
- Metu computer center
- Massive open online courses
- Persamaan diferensial
- Rangkaian rlc seri dan paralel
- Persamaan diferensial rangkaian rlc
- Diferensial total adalah
- Persamaan diferensial simultan
- Metode euler metode numerik
- Akuntansi diferensial adalah
- Contoh soal divergensi
- Diferensial fungsi sederhana
- M(x y)dx+n(x y)dy=0
- Bias differential relay
- Ambang diferensial adalah
- Quadratic simultaneous equations
- Diferensial
- Diferensial
- Fungsi dengan satu variabel bebas
- Turunan fungsi majemuk
- Kata baku diferensial
- Persamaan diferensial rangkaian rc
- Persamaan diferensial orde 2
- Solusi umum dari persamaan diferensial
- Turunan parsial adalah
- Lambang turunan fungsi aljabar
- Faktor-faktor yang mempengaruhi perancangan sia
- Hasil bagi diferensial dari fungsi y=2/akar x-1
- Turunan aljabar
- Cellular makeup
- Analisis diferensial
- Notc contact
- Open hearts open hands
- Aplikasi integral dalam ekonomi dan bisnis
- Jenis-jenis integral tak wajar
- Massa lamina
- Contoh soal integral garis dan penyelesaiannya
- Dan boneh coursera
- Rongga hidung dan rongga mulut dibatasi oleh … *
- Geran kementerian belia dan sukan
- Apa tujuan pemberian tanda
- Struktur belanja pada rkam adalah
- Ustad yanur
- Suku banyak p(x) dibagi (2x-1) dan dibagi (3x+2)
- Polimeri adalah
- Organ akar
- Filemon dan onesimus diperdamaikan oleh
- Resistor disebut juga tahanan atau hambatan
- Contoh paraphrase
- Contoh selective coding
- Definicija integrala
- Example of integral citation
- Graduated rhythm in design
- Visita domiciliaria integral
- Integrales impropias con limites de integracion infinitos
- Triple integral cylindrical coordinates
- Area of a sector in radians
- Definition of integral equation
- Integral of magnetic field
- Inverse laplace transform imaginary roots
- History of calculus
- Definite integrals as a limit of a sum
- Given symbol
- Teknik integral parsial
- Estado de resultados integral
- Trapezoid integral formula
- Ruta integral para la promocion y mantenimiento de la salud
- Riemann sum integral
- Tipo de lectura integral
- Sistema integral de seguros
- Integral of unit step function
- Product architecture design
- Define product architecture
- Integral architecture example
- /servsoc/inicio.aspx
- Plan integral de seguridad en edificios
- Proportional action
- Force is the integral of potential energy
- Materi integral lipat
- Lebeque integral
- Integrál
- Nif b-3
- Dalamber alomati
- Nif b3 estado de resultados integral
- Fubuni
- Integration rules
- Numeric integral
- Cz integral nororiental
- Homotropic vs heterotropic
- C=1/√μ0ε0
- Namblaa
- Integral form of maxwell equation
- Integral form of maxwell's equations
- Jurnal aplikasi integral dalam bidang teknik sipil
- Integral of dirac delta
- Integration of exponent
- Lipet integration by parts
- Objetivos del lenguaje integral
- Opamp
- Membrane synthesis