OPAKOVN ZE 7 TDY Cel a racionln sla

OPAKOVÁNÍ ZE 7. TŘÍDY

• Celá a racionální čísla, početní operace • Obvody a obsahy rovinných útvarů, konstrukce • Objemy a povrchy těles • Shodnost • Přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka • Poměr, měřítko mapy • Trojčlenka, slovní úlohy

Celá čísla • Čísla přirozená s nulou + rozšíření o záporná čísla (nalevo od 0) • 5 a – 5 … čísla navzájem opačná • Číselná osa

Racionální čísla • Lze je zapsat pomocí zlomku •

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA

Intuitivní zavádění reálných čísel • Obsah čtverce/objem krychle – výpočet strany (odmocniny) Mocniny • V kterém učivu se žáci setkávají s tímto učivem? – – – – – PYTHAGOROVA VĚTA OBVOD ČTVERCE OBJEM KRYCHLE POVRCH KRYCHLE OBSAH KRUHU OBJEM VÁLCE OBJEM KUŽELE OBJEM KOULE Zápis čísel pomocí mocnin 10 – aplikace ve fyzice (mikrosvět x Vesmír)

Druhá mocnina • Součin dvou sobě rovných činitelů a ∙ a = a 2 – a… základ – 2… exponent, mocnitel – a 2… druhá mocnina (čteme á na druhou) • • 72 = 7 ∙ 7 (– 0, 1)2 = (– 0, 1) ∙ (– 0, 1) (– 3)2 = 9 – 32 = – 9

• Druhá mocnina je vždy nezáporné číslo, tedy buď kladné číslo nebo nula. • Druhá mocnina čísla k němu opačného se sobě rovnají. 22 = (– 2)2 • Umocnit číslo na druhou znamená vypočítat jeho druhou mocninu.

Určování druhé mocniny • kalkulátor • tabulky • násobení • (a + b)2 • druhé mocniny čísel od 1 do 20 zpaměti

Umocňování na druhou čísel s „nulami“ • Umocňování na druhou čísla „končícího nulami“ • Umocňování na druhou desetinného čísla „začínajícího nulami“ • Viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 6

Počítání s mocninami • příklady

Druhá odmocnina • Druhá odmocnina z nezáporného čísla a je NEZÁPORNÉ číslo b, pro které platí b 2 = a. • Píšu

• Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo. • Druhá odmocnina z žádného záporného čísla neexistuje. • Záporné číslo tedy nemůžeme odmocnit dvěma.

Určování druhé odmocniny • kalkulátor • tabulky – často jen přibližně (zaokrouhlené) • druhé mocniny čísel od 1 do 20 zpaměti – obrácený postup

Odmocňování dvěma čísel s „nulami“ • Odmocňování dvěma čísla „končícího nulami“ • Odmocňování dvěma „začínajícího nulami“ desetinného čísla • Viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 15, 16

Počítání s odmocninami • příklad

Třetí mocnina • Třetí mocnina čísla a je součin a ∙ a = a 3 (čteme á na druhou) • 73 = 7 ∙ 7 • (– 0, 1)3 = (– 0, 1) ∙ (– 0, 1) • Třetí mocnina kladného čísla je kladné číslo, nuly je nula, záporného čísla je záporné číslo. • Příklady

Třetí odmocnina

Pravidla pro počítání s mocninami

Zápis čísla ve tvaru a ∙ 10 n • Opakování – zápis čísla v desítkové soustavě – zkrácený a rozvinutý; viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 47 • Mocniny o základu 10 – strana 47 • Každé kladné číslo můžeme zapsat ve tvaru a ∙ 10 n, kde a je číslo větší nebo rovno 1 a menší než 10 a n je přirozené číslo. • Kolečko z didaktiky matematiky • Video mikrosvět/makrosvět

PYTHAGOROVA VĚTA

Pythagorova věta • Opakování – přepona, odvěsna, pravý úhel • Pythagoras, 6. století př. n. l. Je dán pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c. Pak v tomto trojúhelníku platí, že součet obsahů čtverců nad oběma odvěsnami je roven obsahu čtverce nad přeponou. • Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku

Jinak řečeno… • Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí: c 2 = a 2 + b 2 • Důkaz Pythagorovy věty

Věta obrácená k Pythagorově větě • Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníku a platí-li pro ně c 2 = a 2 + b 2, pak je trojúhelník pravoúhlý a c je délka jeho přepony.

Výpočet délek stran v pravoúhlém trojúhelníku

VÝRAZY A MNOHOČLENY Motivace – algebrogramy, křížovky, matematická kouzla

Číselné výrazy – výpočet hodnoty výrazu • Ve výrazu bez závorek: – Nejprve umocňujeme a odmocňujeme – Potom násobíme a dělíme – Nakonec sčítáme a odčítáme • Ve výrazu se závorkami: – Nejprve počítáme hodnoty výrazů v závorkách = odstraňujeme závorky

Typy závorek Kulaté (okrouhlé) () Hranaté [] Složené {} Odstraňování závorek: - Nejdříve kulaté, pak hranaté, nakonec složené

Výrazy s proměnnou – výpočet hodnoty výrazu • Hodnotu výrazu se dvěma proměnnými a, b vypočítáme dosazením čísel do výrazu.

Výraz • Je každé číslo, každá proměnná • Jejich součet, rozdíl, součin dvou výrazů • Podíl dvou výrazů, za předpokladu, že dělitel je různý od nuly • Mocnina, absolutní hodnota výrazu • Opačné výrazy – liší se pouze znaménkem před všemi svými členy

Jednočlen

Mnohočlen

Sčítání a odčítání výrazů • Sčítat a odčítat můžeme pouze ty členy, ve kterých jsou proměnné ve stejných mocninách. Sčítání mnohočlenů • Odstraníme závorky • Najdeme členy, ve kterých jsou stejné proměnné ve stejných mocninách • Tyto členy sečteme (odečteme)

Násobení výrazů • Při násobení jednočlenů můžeme koeficienty i proměnné libovolně sdružovat a zaměňovat jejich pořadí. • Násobení mnohočlenu jednočlenem • Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Násobení mnohočlenu jednočlenem Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Úprava na součin vytýkáním před závorkou

Úprava na součin pomocí vzorců • Geometrická interpretace

LINEÁRNÍ ROVNICE Motivace? Zavedení lineární rovnice?

Rovnice s jednou neznámou

Řešení rovnice • Řešit rovnici znamená určit všechna taková čísla, pro která se hodnota levé strany této rovnice rovná hodnotě její pravé strany. • Každé takové číslo se nazývá kořen rovnice nebo řešení rovnice. • O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou!

Ekvivalentní úpravy • Takové, při kterých rovnice původní i rovnice upravená mají stejné kořeny • Záměna obou stran rovnice • Přičtení nebo odečtení stejného čísla nebo stejného výrazu (mnohočlenu) k oběma stranám rovnice • Vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným mnohočlenem, který je pro každou hodnotu proměnné různý od nuly

Řešení lineárních rovnic • Zjednodušíme. • Odstraníme závorky. • Odstraníme zlomky. • Všechny členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na jednu stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla) převedeme na druhou stranu rovnice. • Vypočítáme neznámou. • Provedeme zkoušku!!! • Každá lineární rovnice má právě jeden kořen.

Užití lineárních rovnic • Slovní úlohy – Pozorně přečíst zadání – Mezi neznámými údaji zvolit jednu neznámou – Pomocí zvolené neznámé vyjádřit všechny údaje z textu – Sestavit rovnici a vyřešit ji – Provést zkoušku (nestačí dosadit do rovnice, ale do zadání úlohy!) – Napsat odpověď • Vyjádření neznámé ze vzorce

KRUH, KRUŽNICE Motivace: dopravní značky, plecháček

Kruh, kružnice • Je dán bod S a reálné číslo r > 0. Kružnice k je množina všech bodů X v rovině, které mají od bodu S vzdálenost r. |SX|= r • Kruh K (psacím) je množina všech bodů X v rovině, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r. |SX|≤ r

• Kruh – jen oblouk, kružnice – vyplněný oblouk • S = střed kružnice/kruhu • r = poloměr kružnice/kruhu – úsečka s krajními body S a libovolným bodem kružnice • d = průměr kružnice/kruhu – úsečka, jejímiž krajními body jsou 2 body kružnice a která prochází středem kružnice d=2∙r

Rýsování Rýsujeme kružnici – vždy prvně vyznačíme střed! 1. Libovolně (aby něco pěkného vzniklo – terče, kytičky, …) 2. Kružnice, která má daný střed – poloměr libovolně (spíš větší) 3. Daný střed a daný poloměr 4. Daný střed a prochází daným bodem

Vzájemná poloha kružnice a přímky • Sečna • Tečna • Vnější přímka

• Tečna ke kružnici v daném bodě kružnice • Tečna ke kružnici rovnoběžná s přímkou

Thaletova věta Jestliže je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a přeponou AB, pak tento vrchol leží na kružnici s průměrem AB. Obrácená věta Jestliže vrchol C trojúhelníku ABC leží na kružnici s průměrem AB, pak trojúhelník ABC je pravoúhlý s přeponou AB.

Thaletova kružnice • Množina vrcholů všech pravých úhlů, jejíž ramena procházejí body AB, je kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A, B • Animace?

Užití Thaletovy věty • Tečna ke kružnici z bodu ležící vně kružnice – Viz učebnice, 3. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 22 – Nejprve vždy sestrojíme bod dotyku!!! • Užití Thaletovy kružnice pravoúhlého trojúhelníku při konstrukci

Vzájemná poloha dvou kružnic • Spojnice středů dvou kružnic = středná • 1 společný bod vnitřní nebo vnější • 2 společné body • Žádný společný bod – Společný střed – Nemají společný střed

Soustředné kružnice • Kružnice, které mají společný střed

Délka kružnice, obvod kruhu

Obsah kruhu

VÁLEC

Válec • Motivace

Kreslíme válec

Síť válce

Povrch válce

Objem válce

KULOVÁ PLOCHA, KOULE

Koule, kulová plocha

Koule

KONSTRUKČNÍ ÚLOHY

Geometrické značky

Množiny všech bodů dané vlastnosti • Ekvidistanta přímky • Kružnice • Kruh • Osa úsečky • Osa úhlů • Mezikruží • Viz samostatný dokument

Konstrukční úlohy – postup 1. Rozbor – umění dívat se – Načrtneme a barevně zvýrazníme zadané prvky 2. Postup konstrukce – umění sestavit plán – Zapíšeme postup konstrukce 3. Konstrukce – umění realizovat plán – Narýsujeme podle postupu 4. Zkouška – Přeměříme, zda odpovídá zadání, určíme počet řešení úlohy

Konstrukční úlohy • Konstrukce trojúhelníků • Konstrukce čtyřúhelníků – Rovnoběžník – Lichoběžník – Konvexní čtyřúhelníky

ZDROJE • ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (1), Mocniny a odmocniny, Pythagorova věta, výrazy. Praha: Prometheus, 1999. Učebnice pro základní školy. ISBN 80 -7196 -148 -5. • ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (2), Lineární rovnice, základy statistiky. Praha: Prometheus, 1999. Učebnice pro základní školy. ISBN 80 -7196167 -1. • ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (3), Kruh, kružnice, válec, konstrukční úlohy. Praha: Prometheus, 2000. Učebnice pro základní školy. ISBN 807196 -183 -3. • EISLER, Jaroslav. Matematika od pětky do osmičky. Havlíčkův Brod: Fragment, 1994. ISBN 80 -85768 -26 -7.

• http: //old. zsdobrichovice. cz/programy/matika /image/prav_abc_obsahy_barevny_500. jpg • http: //images. slideplayer. cz/12/3764622/slide s/slide_4. jpg • http: //konstrukce. wbs. cz/kruznice. png • http: //www. matematika. cz/content/images/t halet 1. png • http: //www. oskole. sk/userfiles/image/Zofia/ M%C 3%A 1 j/Matematika/1. jpg