Ones estacionries Les ones estacionries es formen perqu

Ones estacionàries. • Les ones estacionàries es formen perquè reboten dintre d’un recinte tancat. • Aquest rebot té l’efecte d'esmorteir les freqüències tals que la distància mínima entre nodes és més gran que la longitud del recinte. • És a dir que perquè es generi una ona estacionaria, és necessària que aquesta ressoni dintre del recinte. • Això és el que passa amb un instrument musical, i a un filtre de radiofreqüència de cavitat ressonant. • Com a conseqüència tots els punts de l’ona vibren en fase, i l’ona sembla que no es mogui.

Superposició d’ones. • • Les ones estacionaries en realitat no són més que un fenomen més de superposició, igual que les interferències. Donat que les ones es superposen, les seves funcions d’ona es sumen, per tant: • Per tant la funció d’ona resultant és: • Aquesta funció d’ona presenta una sèrie de punts completament estàtics, que són aquells que compleixen:

Nodes i ventres de les ones estacionàries. • • Els punts estàtics són els nodes de l’ona estacionària i són la causa de que sembli estar quieta. A partir de la condició de node podem obtenir la distància que els separa: • • • És a dir que cada mitja longitud d’ona tenim un node. Per altra banda, els ventres serien els màxims de l’ona estacionària. Per tant en aquest cas trobarem que: • Així a una ona estacionària es succeeixen els nodes i els ventres amb la següent cadència: • Perquè es produeixi una ona estacionaria el recinte ha de contenir un nombre sencer de nodes, per tant la distància mínima per a que es produeixi la ressonància ha de ser mitja longitud d’ona.

Interferències. • • Hem parlat que la formació d’ones estacionàries és un més dels fenòmens de superposició d’ones. Les interferències són altre dels fenòmens de superposició d’ones. Quan es superposen dues ones que es propaguen en la mateixa direcció i sentit trobem que hi ha llocs on es produeix un reforçament de l’ona, en canvi hi ha altres on l’ona perd amplitud. Per tant tenim dos tipus d’interferències: – – • Interferències constructives: L’ona es reforça, guanya amplitud. Interferència destructiva: L’ona es destrueix, perd amplitud. Però quines condicions s’han de donar per tenir una o altra?

Interferències constructives, interferències destructives. • Suposem dues ones amb la mateixa longitud d’ona i freqüència, però desfasades entre elles: • Aquí se’ns planteja un problema, sabem obtenir el sinus i el cosinus d’una suma d’angles, però no sabem què donarà la suma dels sinus i dels cosinus de dos angles. • Per tant abans de avançar hem d’esbrinar com obtenir aquestes sumes.

Suma de sinus. • Plantegem els següents angles: • Com els hem plantejat com a suma i diferència podem desenvolupar el seu sinus com a sinus d’una suma: • Com que els angles que ens interessen són Θ i Ψ : • Per tant ens queda:

Suma de cosinus. • Abans de prosseguir amb les ones plantegem la suma de cosinus: • Agafem els angles Θ i Ψ que hem emprat abans i desenvolupem el cosinus com a cosinus d’una suma: • Com que ja tenim el valor de Θ i Ψ en funció de θ i φ: • Per tant ens queda:

Condició d’interferència. • Tornem ara a la funció d’ona que descriu les dues ones superposades: • Per tant tindrem: • Els angles en què això succeirà serà: • Per tant tindrem interferència constructiva quan l’angle de desfasament sigui igual a una longitud d’ona, coincideixen els màxims de les dues ones i destructiva quan l’angle de desfasament sigui igual a mitja longitud d’ona, coincideix un màxim amb un mínim.

Superposició d’ones de diferent freqüència. • • • Quan es superposen ones de diferent freqüència s’observa que l’amplitud de l’ona varia periòdicament. Això és el que s’anomena batec o pulsació. Es deu a que com que les ones no tenen la mateixa freqüència s’alternen les zones d’interferència constructiva amb les d’interferència destructiva. Les zones on predomina la interferència destructiva tenen menor amplitud i les que predomina la interferència constructiva tenen major amplitud. Aquest fenomen és el causant de les diferències del to de diferents instruments i de la modulació d’amplitud de les ones de radio. 2. 00 1. 00 0. 00 Polsació 2. 00 4. 00 6. 00 8. 00 10. 00 12. 00 14. 00 16. 00 18. 00 Envolvent Senyal -1. 00 -2. 00

Superposició d’ones. • Suposem dues ones de diferent freqüència que es superposen: • Desenvolupem la suma de sinus com hem vist abans: • Per tant la funció d’ona resultant és:

Velocitat de grup. • Resulta per tant una funció d’ona amb frequència i número d’ones igual a la mitjana de les dues ones originals i l’amplitud variable en el temps, és a dir modulada. • Per tant l’amplitud presenta una envolvent que també té comportament ondulatori, la velocitat a que es propaga l’envolvent és la velocitat de grup. • A partir de l’expressió que vam obtenir per la velocitat de fase, podem obtenir l’equivalent a la velocitat de grup.

Batecs o pulsacions • A partir d’aquesta equació també podem obtenir la freqüència de batec o pulsació. • Si ens situem a una distància fixa de l’origen d’ones, com quan escoltem un so que ve d’una orquestra, el terme depenent de la distància es pot ignorar donat que és constant. • En aquest cas ens queda: • Per tant el que s’observa és una ona d’amplitud modulada: • Així la freqüència de batec serà la freqüència amb que varia l’amplitud: