Ondokuz Mays niversitesi Eitimde lme ve Deerlendirme Anabilim

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitimde Ölçme ve Değerlendirme Anabilim Dalı ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME TEST PUANLARI ÜZERİNE İSTATİSTİKSEL İŞLEMLER Dr. Öğr. Üyesi Selda ÖRS ÖZDİL

KAYNAKLAR ■ Atılgan, H. , Kan, A. & Doğan, N. (2009). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Anı Yayıncılık. ■ Çıkrıkçı Demirtaşlı, N. (Ed. ) (2012). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Edge Akademi. ■ Güler, N. (2011). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Pegem Akademi. ■ Özçelik, D. A. (2010). Ölçme ve değerlendirme. Ankara: Pegem Akademi. ■ Tan, Ş. (2011). Öğretimde ölçme ve değerlendirme: KPSS el kitabı. Ankara: Pegem Akademi. ■ Tekin, H. (1991). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Yargı Yayınevi. ■ Turgut, M. F. & Baykul, Y. (2012). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Pegem Akademi. 2

Dağılımları Tanımlamak için Kullanılan Ölçüler Frekans Dağılımları ■ Dağılımdaki bir değerin (puanın) gözlenme sıklığı Örnek: 10 puanlık bir istatistik sınavında N=20 öğrencinin aldığı puanlar aşağıdaki gibidir; 8, 9, 8, 7, 10, 9, 6, 4, 10, 8, 7, 8, 10, 9, 8, 6, 9, 7, 8, 7 Ham puanların sıralanmış hali: 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10

Frekans Tablosu (Toplamalı Frekans- Yüzde- Toplamalı Yüzde) X F 10 9 8 7 6 4 3 4 6 4 2 1 % + + 20 17 13 7 3 1 15 20 30 20 10 5 100 85 65 35 15 5

Verilerin Gruplandırılması ■ Veri sayısının (ölçme yapıldığı gruptaki birey sayısının) çok olduğu durumda, verileri gruplandırarak, frekans tablolarının bu gruplanmış veriler üzerinden hazırlanması daha uygundur. ■ Verileri gruplandırırken öncelikle grup sayısı saptanır. Puanların kaç gruba ayrılacağı uygulayıcının kararına bağlı olmakla birlikte, grup sayısının puan dağılımının gerçek özelliklerinin kaybolmaması için küçük seçilmemesine ve hesaplama işlemlerinin kolaylığı için büyük seçilmemesine dikkat edilmelidir. Ayrıca grup sayısının tek olması, puan dağılımında simetri sağladığı için, puanların 7, 9, 11 ve 13 gibi tek sayıda gruba ayrılması tavsiye edilir.

Sıralanmış Puanlar Frekans Tablosu Sınıf Mevcudu

Verilerin Gruplandırılması ■ Verileri gruplandırırken öncelikle grup sayısı saptanır. Puanların kaç gruba ayrılacağı uygulayıcının kararına bağlı olmakla birlikte, grup sayısının puan dağılımının gerçek özelliklerinin kaybolmaması için küçük seçilmemesine ve hesaplama işlemlerinin kolaylığı için büyük seçilmemesine dikkat edilmelidir. Ayrıca grup sayısının tek olması, puan dağılımında simetri sağladığı için, puanların 7, 9, 11 ve 13 gibi tek sayıda gruba ayrılması tavsiye edilir. ■ Grup aralık katsayısı hesaplanır.

Verilerin Gruplandırılması

Verilerin Gruplandırılması ■ Puanlara ilişkin oluşturulan gruplar ve gruplar içindeki veriler kesiklidir. Puan gruplarının aralıkla ifade edilmesi ve kesikli olması, puan grupları üzerinde matematiksel işlem yapılmasını engeller. ■ Başarı sürekli bir değişkendir; sürekliliğin sağlanması için grup alt sınırının yarım puan (0. 5) altı ve grup üst sınırının yarım puan üstü alınarak gerçek grup aralıkları oluşturulur. ■ Grubun orta noktası bulunur. Grup orta noktası, belirli bir aralığın alt ve üst değeri toplamının yarısıdır. Bu değer, tüm verileri temsil edebilmesi açısından istatistiksel işlemlerde kullanılır.

Verilerin Gruplandırılması Grup Aralığı Gerçek Grup Aralığı Grup Orta Noktası Frekans Toplamlı Frekans 36 -44 35, 5 -44, 5 40 2 2 45 -53 44, 5 -53, 5 49 1 3 54 -62 53, 5 -62, 5 58 1 4 63 -71 62, 5 -71, 5 67 3 7 72 -80 71, 5 -80, 5 76 7 14 81 -89 80, 5 -89, 5 85 14 28 90 -98 89, 5 -98, 5 94 11 39

Sütun Grafiği (Çubuk-Bar Grafiği)

Histogram Grafiği

Çizgi Grafiği

Dağılımları Tanımlamak için Kullanılan Ölçüler Merkezi eğilim (yığılma) ölçüleri: ■ Ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösterir. ■ Bir grup puanın ortalama durumunu yansıtır. ■ Başarı-başarısızlık hakkında bilgi verir. Merkezi dağılım (değişim) ölçüleri: ■ Puanlar arasındaki değişimden kaynaklanan farklılıkların istatistiksel ölçüleridir. ■ Homojen, heterojen dağılım hakkında bilgi verir.

Dağılımları Tanımlamak için Kullanılan Ölçüler Merkezi Eğilim Ölçüleri Aritmetik Değişim (Dağılım) Ölçüleri Ortalama Standart Sapma Medyan Varyans (Ortanca) Mod (Tepe değer) Bağıl Değişkenlik Ranj

Merkezi Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama Bir öğrenci grubunun bir testten aldıkları puanların toplamının (ya da verilerin toplamının), öğrenci sayısına (yada veri sayısına) bölünmesiyle hesaplanır. Verilerin toplamı N: Veri ya da kişi sayısı Aritmetik ortalama, öğrenci grubunun (sınıfın) başarısı hakkında bilgi verir.

Bir sınıftaki 4 öğrenci İngilizce dersinden 20, 40, 36 ve 52 almıştır. Bu öğrencilerin aldıkları puanların aritmetik ortalaması kaçtır?

Frekans tablolarında aritmetik ortalamasının hesaplanması Puan (x) Frekans (f) 80 3 70 2 60 2 45 5 30 8 Verilen tabloda 20 öğrencinin tarih dersinden aldığı puan dağılımı verilmiştir. Bu verilere göre puan dağılımının aritmetik ortalaması kaçtır?

Puan (x) Frekans (f) f. x 80 3 240 70 2 140 60 2 120 45 5 225 30 8 240

Gruplandırılmış verilerin aritmetik ortalamasının hesaplanması Verilen tabloda 20 öğrencinin tarih dersinden aldığı puan dağılımı verilmiştir. Bu verilere göre puan dağılımının aritmetik ortalaması kaçtır?

Puan (x) Frekans (f) 31 -37 2 24 -30 2 17 -23 5 10 -16 8 Yandaki tablonun aritmetik ortalaması kaçtır? Puan (x) Frekans (f) Xo f. Xo 31 -37 2 34 68 24 -30 2 27 54 17 -23 5 20 10 -16 8 13 104

AĞIRLIKLI ORTALAMA Puan (x) Kredi Not Tarih 4 4 Kimya 4 4 Biyoloji 3 2 Matematik 3 2 Yandaki tabloda 4 dersin kredileri ve bir öğrencinin bu derslerden aldığı notlar gösterilmiştir. Öğrencinin ağırlıklı ortalaması kaçtır? Puan (x) Kredi Notx. Kredi Fizik 4 4 16 Kimya 4 4 16 Biyoloji 3 2 6 Matematik 3 2 6 Toplam 14 12 44

AĞIRLIKLI ORTALAMA ÖRNEK İkinci yarıyılda aldığı fizik dersindeki yazılı, sözlü ve ödev notu ağırlıkları sırasıyla %50, %30 ve %20 olarak belirlenmiştir. Yazılı sınav notu 7, sözlü sınav notu 9, ödev notu 8 olan bir öğrencinin fizik dersi ağırlıklı not ortalaması kaçtır?

MOD (TEPE DEĞER) Bir puan ya da veri dağılımında en çok tekrar edilen, yani frekansı en yüksek olan değere mod denir. 12, 13, 14, 23, 23, 32, 45, 56, veri grubunun modu kaçtır? mod: 23

Puan (x) Frekans (f) 67 6 56 14 37 2 30 2 23 5 10 8 Tablodaki verilere göre bu dağılımın modu kaçtır? Tabloda verilen puanlardan frekansı en yüksek olan puan 56’dır. Puan (x) Frekans (f) 45 -51 1 38 -44 7 31 -37 9 24 -30 2 17 -23 5 10 -16 8 Yandaki tabloda verilen verilerin modu kaçtır?

Grafiklerde mod bulma

Bir puan dağılımında, bütün puanların frekansları aynı ise bu puan dağılımının modu yoktur. (1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3) Bir puan dağılımında ardışık iki değer en büyük ve eşit frekansa sahipse, mod bu iki değerin ortalamasına eşittir. (1, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9) Bir puan dağılımında ardışık olmayan iki değer en büyük ve eşit frekansa sahipse bu dağılımın iki farklı modu olur. (1, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9)

10, 20, 30, 30, 40, 40, 50 Puan dağılımının modu kaçtır? CEVAP: 30 ve 40

Modun Özellikleri q Tepe değer bulunurken sadece en çok tekrarlayan ölçme sonucu alındığından tepe değer kaba ve kullanışsızdır. q Hesaplaması çok kolaydır. q Nitel veriler ve sınıflama düzeyindeki ölçme sonuçları üzerinde uygulanabilecek tek merkezi eğilim ölçüsüdür. q Veri grubundaki en ufak değişiklik tepe değerin beklenmedik şekilde değişmesine yol açtığı için tepe değer küçük değişikliklere duyarlıdır ve bu yüzden kullanışsızdır.

MEDYAN (ORTANCA) Büyüklük sırasına göre dizilmiş puanlar dizisinin tam ortasına düşen, diğer bir deyişle puanların %50’sinin üstünde %50’sinin altında bulunduğu puana medyan(ortanca) denir. Veri sayısı tek ise; 12, 14, 10, 23, 35, 42, 38, 68, 78 veri grubunun ortancası kaçtır? . değer

Veri sayısı çift ise; 12, 14, 10, 23, 36, 42, 38, 68, 78, 89 veri grubunun ortancası kaçtır?

MEDYAN (ORTANCA) n tek ise; (n+1)/2. değere karşılık gelir. n çift ise; n/2. ve (n/2)+1. sıradaki değerin ortalamasına karşılık gelir.

Puan (x) Frekans (f) 67 6 56 8 37 5 30 2 23 5 10 2 Tablodaki verilere göre bu dağılımın ortancası kaçtır?

14. ve 15. ortancadır. Puan (x) Frekans (f) 67 6 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 56 8 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 37 5 10. 11. 12. 13. 14. 30 2 8. 9. 23 5 3. 4. 5. 6. 7. 10 2 1. 2.

Medyanın Özellikleri: q Bir dağılımı ortadan ikiye böler. q Dağılımın normalden uzak olduğu ya da çarpık olduğu durumlarda kullanılır. q Dağılımdaki uç değerlerden etkilenmez. Bu nedenle mod ve aritmetik ortalamadan daha etkilidir. q Dağılıma eklenecek bir değerden etkilenir.

Aritmetik Ortalama – Mod – Medyan Karşılaştırması Aritmetik ortalama, dağılımdaki tüm puanlar dikkate alınarak hesaplandığı için ortanca ve tepe değere tercih edilir. Fakat puan dağılımının çarpık olması ya da aşırı uç değerlerin olması durumunda yanıltıcı yorumlara neden olabilir. Bu durumlarda ortancanın kullanılması daha uygundur. Bu ilişki sonucunda üç tür dağılım ortaya çıkar: Simetrik dağılım, Sola (negatif) çarpık dağılım, Sağa (pozitif) çarpık dağılım

SOLA ÇARPIK DAĞILIM Xort < Medyan < Mod - Negatif kayışlıdır. Öğretim yeterlidir. Test kolaydır. Öğrencilerin başarıları yüksektir. Puanların çoğu ortalamanın üstündedir. Öğrencilerin öğrenme düzeyi yüksektir. Öğrenciler hedef–davranışları kazanmışlardır.

SAĞA ÇARPIK DAĞILIM Mod < Medyan < Xort + Pozitif kayışlıdır. Öğretim yetersizdir. Test zordur. Öğrencilerin başarıları düşüktür. Puanların çoğu ortalamanın altındadır. Öğrencilerin öğrenme düzeyi düşüktür. Öğrenciler hedef davranışları kazanamamışlardır.

Dağılım (Değişim) Ölçüleri v Ranj v Çeyrek Sapma v Standart Sapma v Varyans

RANJ (DİZİ GENİŞLİĞİ) Ranj, en yüksek puanla en düşük puan arasındaki farktır. Ranj sadece maksimum ve minimum değerlerden etkilenir aradaki diğer ölçümlerin ranj üzerinde hiç bir etkisi yoktur. Aşağıdaki iki veri çok farklı olmasına rağmen aynı ranj değerine sahiptir. 1, 10, 21, 35, 40, 53, 65, 80, 93, 100 1, 50, 53, 55, 60, 65, 70, 100 Ranj 1=Ranj 2=100 -1=99

Grafikte I, III numarayla gösterilen üç dağılım için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) Ranj ve medyan değerleri aynıdır. B) Ranj değerleri aynı, mod değerleri farklıdır. C) Ranj değerleri farklı, mod değerleri aynıdır. D) Ranj değerleri farklı, medyan değerleri aynıdır. E) Ranj ve mod değerleri aynıdır.

Puan (x) Frekans (f) 45 -51 1 38 -44 7 31 -37 9 24 -30 2 17 -23 5 10 -16 8 Yandaki tabloda verilen verilerin ranj kaçtır? Puan (x) Frekans (f) Xo 45 -51 1 49 38 -44 7 41 31 -37 9 34 24 -30 2 27 17 -23 5 20 10 -16 8 13

ÇEYREK SAPMA Ölçme sonuçlarına ilişkin dağılımın normal olmadığı durumlarda ve merkezi eğilim ölçüsü olarak ortanca kullanıldığı durumlarda, yayılma ölçüsü olarak çeyrek sapma kullanılır. Çeyrek sapma, birinci ve üçüncü çeyreğin farkının yarısı, diğer bir ifadeyle, 75. yüzdelikler 25. yüzdeliğin farkının yarısıdır. Ranj gibi dağılımın iki değeri üzerine odaklanır, ancak %25’lik kısımlardaki uç değerler hesaba katılmadığından ranja göre daha kararlıdır.

Standart Sapma Bir dağılımdaki verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren bir yayılma ölçüsüdür. Dağılım (yayılım) ölçüleri arasında en çok kullanılan standart sapmadır. Puanların ortalamadan olan farklarının, kareleri toplamının ortalamasının, kareköküne eşittir. 3, 3, 1, 4, 3, 5, 3, 3, 2, 3, 3 veri seti için standart sapmayı hesaplayalım. S=1

Standart Sapma Küçükse; Standart Sapma Büyükse;

SİVRİ VE BASIK DAĞILIMLAR SİVRİ DAĞILIMLAR BASIK DAĞILIMLAR

Standart sapma küçük olduğunda yapılacak yorumlar Dağılımdaki değerler ortalamaya göre çok farklılaşmamaktadır. Ölçülen özellik bakımından grup homojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma azdır. Bilen öğrenciler ile bilmeyen öğrenciler birbirinden ayrılmamıştır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür.

Standart sapma büyük olduğunda yapılacak yorumlar Dağılımdaki değerler ortalamaya göre çok sapma göstermektedir. Ölçülen özellik bakımından grup heterojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma fazladır. Bilen öğrenciler ile bilmeyen öğrenciler birbirinden ayrılmıştır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir. VARYANS: Standart sapmanın karesidir ve aynı şekilde yorumlanır.

Aritmetik ortalama Standart Sapma Coğrafya 50 4 Psikoloji 30 3 Tarih 33 3 Anayasa 22 5 Matematik 50 2 Tabloya göre en homojen ve en heterojen sınıf hangisidir?

I. grup: 100 üzerinden aritmetik ortalaması 50; standart sapması 5 II. grup: 6 üzerinden aritmetik ortalaması 3; standart sapması 1 Gruplardan hangisi daha heterojendir?

BAĞIL DEĞİŞKENLİK KATSAYISI Ölçmeye konu olan özellikler aynı birim sisteminde ölçülmemişse bağıl değişkenlik katsayısını kullanmak puanların aynı birim sistemine dönüştürülmesini sağlar. Bağıl değişkenlik katsayısı (V) puan dağılımının farklılığını daha doğru yorumlamamızı sağlayan başka dağılım ölçüsüdür. Bağıl Değişkenlik Katsayısı Puan Dağılımı Dağılım Özelliği 25’ten büyükse Heterojen Basık 20 -25 arası Normal 20’den küçükse Homojen Sivri

Normal Dağılım ■ Simetrik dağılımın özel bir türüdür ve matematiksel özellikleri bulunan kuramsal bir dağılımdır. ■ Eğitimde ve psikolojide kullanılan çoğu sürekli değişken özellikle örneklem büyüklüğü arttıkça normal dağılıma yaklaşmaktadır. ■ Değişkenlere ilişkin verilerin oluşturduğu çan eğrisine benzer bu eğriye normal dağılım eğrisi, bu eğrinin yatay eksene göre gösterdiği dağılıma da normal dağılım (Gauss dağılımı) denir.

Normal Dağılım Özellikleri: 1. Dikey eksene göre simetriktir 2. Puanlar merkez etrafında kümelenme eğilimi gösterir 3. Mod = Medyan = Ortalama 4. Her iki ucu yatay eksene giderek yaklaşır ancak asla kesmez (Asimtotik) (eğri altında kalan sınırsızdır) 5. Ortalamanın sağında kalan ile solunda kalan birbirine eşittir.

Aritmetik ortalamanın 1 SS sağında ve solunda kalan toplam alanın %68’ine eşittir. Aritmetik ortalamanın 2 SS sağında ve solunda kalan toplam alanın %95’ine eşittir. Aritmetik ortalamanın 3 SS sağında ve solunda kalan toplam alanın %99, 7’ine eşittir S Yüzdelik -3 S -2 S -1 S 0. 13 2, 27 15, 86 1 S 50 2 S 84, 12 97, 71 3 S 99, 85

Bir sınavda alınan puanların aritmetik ortalaması X = 70 ve standart sapması da S = 3 olsun. Öğrencilerin %68’inin puanı aritmetik ortalamanın 1 standart sapma yukarısında (70+3) ve aşağısında (70– 3) yer alır. Öğrencilerin %68’inin puanı 73– 67 arasındadır. Öğrencilerin %95’inin puanı aritmetik ortalamanın 2 standart sapma yukarısında (70+2. 3=76) ve aşağısında (70– 2. 3=64) yer alır. Öğrencilerin %99’unun puanı aritmetik ortalamanın 3 standart sapma yukarısında (70+3. 3 = 79) ve aşağısında (70– 3. 3 = 61) yer alır.

Ortalama 70 Standart sapma 3 olsun SS Yüzdelik -3 Ss 0. 13 61 -2 Ss 2, 27 64 -1 Ss 15, 86 67 Ort 50 70 1 Ss 84, 12 73 2 Ss 3 Ss 97, 71 99, 85 76 79

Standart Puanlar Ders Ham Puan Türkçe 90 Fen 55 Sosyal 45 Matematik 85 Ali hangi derste daha başarılıdır?

Standart Puanlar Sınıf Öğrencil er Ham puanlar Aritmetik Ortalama Standart Sapma A Ayşe 65 57 8 B Emre 70 65 10 C Selin 70 55 5 D Mete 80 50 10 Farklı sınıflarda bulunan dört öğrenciden hangisi matematik dersinde daha başarılıdır?

Standart Puanlar v Eğer iki dağılımın ortalaması ve standart sapması farklıysa, bu dağılımların aynı standart sapma ve ortalamaya sahip bir dağılıma, yani birim normal dağılıma (standart normal dağılıma) dönüştürülmesi gerekir. v Böylece farklı dağılımlardaki ölçme sonuçları aynı ölçek üzerinde görülebilir. v Bu sayede farklı dağılımlardaki ölçme sonuçlarını karşılaştırmak mümkün olabilir. v Bu işleme puanların standartlaştırılması da diyebiliriz.

Standart Puanlar Standart puanlar aritmetik ortalaması ve standart sapması farklı dağılımların, aynı aritmetik ortalama ve standart sapmaya sahip dağılım haline dönüştürülmesini sağlar. Z PUANI

Z PUANI ■ Z puanları ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal dağılım olarak da tanımlanan z dağılımını oluşturmaktadır. ■ Böylelikle z puanları normal dağılım eğrisi üzerinde karşılaştırılabilir. Örneğin iki ayrı başarı testi için bir öğrencinin aldığı puanları z puanına dönüştürdüğümüzde, öğrencinin z değeri büyük olan testte daha başarılı olduğu söylenebilir. ■ Benzer şekilde aynı sınava giren iki farklı grupta yer alan öğrencilerin puanları z puanına dönüştürülerek karşılaştırılabilir.

Bütün derslerden 80 alan bir öğrencinin öğrenme düzeyinin en yüksek ve en düşük olduğu dersler hangileridir?

Zmat. = 2. 5 Zfiz. = 1 Zkim. = 2 Zbiy. = 1. 5 Zedeb. = -2 Zmatematik > Zkimya > Zbiyoloji > Zfizik > Zedebiyat Öğrencinin öğrenme düzeyinin en yüksek olduğu ders (en başarılı olduğu ders), Z puanının en yüksek olduğu matematik dersidir. Öğrencinin öğrenme düzeyinin en düşük olduğu ders (en başarısız olduğu ders) ise, Z puanının en düşük olduğu edebiyat dersidir.

T Puanı ■ Z puanı ile ilgili negatif z puanı, kesirli puanlar gibi bazı problemlerin üstesinden gelmek için bu puanlar başka standart puanlara dönüştürülebilir. Bunlardan en yaygını T puanıdır. ■ Standart T puanı ortalaması 50, standart sapması 10 olan ve normal dağılım gösteren bir puandır.

T Puanı ■ Formül incelendiğinde Z puanları ile T puanları arasında doğrusal bir ilişki olduğu görülmektedir. Buna göre T puanları, Z puanlarının 10 katının 50 fazlasıdır. Yani T puanları Z puanları kullanılarak elde edilir. T= 10(z)+50

KAYNAKLAR ■ Atılgan, H. , Kan, A. & Doğan, N. (2009). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Anı Yayıncılık. ■ Çıkrıkçı Demirtaşlı, N. (Ed. ) (2012). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Edge Akademi. ■ Güler, N. (2011). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Pegem Akademi. ■ Özçelik, D. A. (2010). Ölçme ve değerlendirme. Ankara: Pegem Akademi. ■ Tan, Ş. (2011). Öğretimde ölçme ve değerlendirme: KPSS el kitabı. Ankara: Pegem Akademi. ■ Tekin, H. (1991). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Yargı Yayınevi. ■ Turgut, M. F. & Baykul, Y. (2012). Eğitimde ölçme ve değerlendirme. Ankara: Pegem Akademi. 75