Oltre la facciata della solita matematica esiste un

Oltre la facciata della solita matematica esiste un mondo dove i numeri sono amici, dove la natura si diletta a giocare … È strano a dirsi, ma matematicare diventa puro divertimento … Ed ora preparatevi perché scopriremo un nuovo mondo: MATELAND!!!

I PARADOSSI Ma la matematica È un’opinione? PARADOSSO: Tesi apparentemente contraria ai principi di una scienza o a quelli tradizionali dell’opinione comune, ma vera nella sostanza. In matematica Affermazione assurda, provata da un’argomentazione solo apparentemente rigorosa

IN PAROLE POVERE… PARADOSSO IL BARBIERE Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti e unicamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Se i fatti stanno in questo modo sorge immediatamente la domanda: "Chi rade il barbiere? " B A Persone che si radono da sole E il barbiere da chi va a radersi? Clicca qui Persone che vanno a radersi dal barbiere TRE ENUNCIATI FALSI Qui ci sono tre enunciati falsi. a. 1 + 1 = 2 b. 2 : 2 = 3 c. 5 + 2 = 7 d. 13 – 3 = 9 e. 27 : 3 = 9 E’ vero? Gli enunciati falsi sembrano essere due, b e d. Quindi l’affermazione Qui ci sono tre enunciati falsi è falsa e costituisce – così, il terzo enunciato falso. Ma se gli enunciati falsi sono tre, allora è vera!

ACHILLE E LA TARTARUGA Riuscirà Achille a superare in velocità una tartaruga? N. B. Achille corre a una velocità dieci volte superiore a quella della tartaruga, la quale parte con un vantaggio di 10 metri. NO! Infatti Nel momento in cui Achille raggiunge i 10 metri da cui è partita la tartaruga, questa si sarà spostata di 1 metro. Rapidamente Achille percorrerà quel metro, ma la tartaruga si sarà spostata di 1 centimetro, e così via all'infinito. Se ne conclude che Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Si trova così una somma infinita : 10 + 1 + 0, 01 + 0, 001 +. . . = 111, 11111. . . IL PARADOSSO DEL MENTITORE Epimenide diceva: “Tutti i Cretesi sono mentitori" Epimenide, che era Cretese, diceva la verità? Per la soluzione, clicca qui

E ORA. . METTETEVI ALLA PROVA! COME NON FARSI MANGIARE DAI CANNIBALI L'Acuto Esploratore fu catturato da una tribù di cannibali. I cannibali però erano Bravi e gli lasciarono una scelta: poteva essere cotto arrosto oppure bollito. Per scegliere, l'Acuto Esploratore, doveva pronunciare una frase tale che, se era vera sarebbe stato cotto arrosto, e se era falsa sarebbe stato bollito. Bisogna precisare due cose: • L’esploratore era acuto • I cannibali, oltre ad essere bravi, erano Logici, e comunque avevano il freezer Pieno di carne surgelata L'Acuto Esploratore riuscì a salvarsi: come? RISPOSTA: L'Acuto esporatore disse: "Morirò bollito. “ Se questa frase è vera allora i cannibali devono cuocerlo arrosto, ma così facendo la frase diventa falsa. Se la frase è falsa devono cuocerlo bollito, ma così facendo la frase diventa vera. Nel dubbio, i cannibali mangiarono la carne surgelata che avevano nel freezer.

DIAMO UN OCCHIATA…AL PARADOSSO INFO ILLUSIONE DEL BINARIO (O “DEI SEGMENTI DI PONZO“) INFO ILLUSIONE DELLA CORDA RITORTA (O “DEI CERCHI DI FRAZIER“)

L’ARTE DEL PARADOSSO Triangolo di Penrose M C Escher. "Cascata" M C Escher. “Belvedere" Per saperne di più su queste due opere clicca qui Cubo di Necker

IPOTETICHE SPIEGAZIONI SPIEGAZIONE DE “IL BARBIERE” Se il barbiere si rasa da solo non deve farsi radere dal barbiere ma si rade da sé, però, essendo lui il barbiere, è come se SPIEGAZIONE DE “IL MENTITORE” fosse andato dal barbiere, quindi non se la rade da solo. Se invece non se la rade Se Epimenide diceva la verità, allora da solo, deve andare dal barbiere, ma non tutti i cretesi erano mentitori, essendo lui il barbiere, se la rade da solo. quindi ha detto una frase falsa. Dicendo una frase falsa allora non può aver detto la verità. Ma se ha detto una frase falsa, allora i cretesi non sono mentitori. Quindi come ha fatto a dire il falso se, in quanto cretese, non può mentire?

DIAMO UN’ OCCHIATA AL PARADOSSO (SPIEGAZIONE) Quando si accostano dei segmenti paralleli a delle linee oblique si può assistere alla nota illusione del binario detta anche l'illusione "dei segmenti di Ponzo" dal nome dello scopritore di questo fenomeno. Il segmento inferiore sembra più corto di quello superiore mentre invece sono perfettamente uguali. Ciò avviene perché i nostri occhi interpretano la figura prospetticamente a causa delle due rette oblique laterali che simulano il cosiddetto "punto di fuga". Quindi i due segmenti vengono visti come se stessero su due piani differenti: quello in basso vicino a noi e l'altro più lontano. Essendo poi in realtà di uguale lunghezza il cervello crede erroneamente che quello più "lontano" deve essere per forza più grande e così si genera l'illusione. Una legge della percezione infatti, la legge di Emmert, postula: "La dimensione percepita di un particolare angolo visivo è direttamente proporzionale alla sua distanza percepita", o in parole povere: "Più un oggetto ci sembra lontano, più ci sembra grande!". Quindi la figura posizionata vicino al punto di contatto delle due rette laterali viene vista come se fosse più grande dell'altra anche se così non è!

Creare dei disegni utilizzando delle linee che sembrano delle corde intrecciate può dare luogo a delle distorsioni della linearità o della continuità degli oggetti raffigurati. Questa illusione viene chiamata della corda ritorta o dei cerchi di Frazier. Quelle che sembrano delle spirali invece sono dei cerchi! L'accostamento tra le curve bicolori e lo sfondo inganna la percezione della continuità dei singoli cerchi e ci costringe a vedere delle linee curve che vanno dalla periferia al centro a mo' di spirale.

L’ARTE DEL PARADOSSO (APPROFONDIMENTO) Escher, in questa opera, per realizzare il paradossale effetto dell’acqua che “risale” nel canale, sfrutta la figura impossibile creata da Penrose poco tempo prima, chiamata, appunto, “triangolo di Penrose”. Questo triangolo deve l'aggettivo impossibile al fatto che osservando i suoi lati si ha l'impressione che uno venga verso di noi e uno sembri allontanarsi. Studiando i suoi angoli ci accorgiamo che sono tutti e tre di 90°, cosa impossibile poiché sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo deve dare 180°. Nella opera la struttura permette osservazioni veramente “ardite”, sottolineate dalla posizione dei due individui che osservano dalle sue balconate; la dama al piano di sopra sembra osservare attraverso la facciata principale in una direzione ma l’uomo al piano di sotto pare osservare, in tutt’altra direzione, attraverso la medesima facciata. Altro elemento “fuori dal normale” è la scala a pioli. Al piano di sotto appare interna all’edificio, salvo poi appoggiarsi alla balconata esterna del piano superiore. Per convincersi dell’impossibilità di costruire tale edificio è sufficiente osservare le colonne del piano inferiore, sembrano incrociarsi e compiere delle pericolose pieghe. Anche in quest’opera il modello matematico adottato da Escher è chiaramente indicato. Si tratta del cubo di Necker, tenuto in mano dall’ uomo seduto in basso sulla panca.

Se la matematica vi piace e vi interessa e volete approfondirla … vi aspettiamo l’anno prossimo al Liceo Scientifico G. Ferrari di Borgosesia … Venite numerosi …

Castaldi Matteo Ferrari Federico Frova Beatrice Locuratolo Chiara Longhetti Giulia Menada Filippo Pin Monica Rotti Francesca Scovenna Matteo Spanò Stefania Urban Alberto Zambelli Chiara

…qualche rebus… ( frase: 10, 3, 1, 8) ( frase: 10, 2, 4) 1 2 ( frase: 2, 12, 8) 3 (frase: 9, 7) 4

…e altri giochi… • Il problema dei calzini Un cassetto contiene mezza dozzina di calzini bianchi, una dozzina di calzini neri e due dozzine di calzini grigi, alla rinfusa. Al buio quanti calzini dovreste prendere dal cassetto per avere la certezza di averne almeno un paio dello stesso colore? • La croce del Sud Che numero manca? 4 5 6 9 61 52 63 ?

Le soluzioni • Ecco le soluzioni dei rebus: 1 Operazioni con i naturali 2 Elevamento al cubo 3 Un quadrilatero regolare 4 Triangoli scaleni • Siete riusciti a risolvere il problema dei calzini? ! Si deve considerare il “ caso peggiore”, cioè quello in cui si peschino i calzini tutti di tipo diverso. Poiché i tipi diversi sono tre sarà sufficiente prenderne almeno quattro. Infatti in questo caso si avrà sicuramente almeno una coppia di calzini dello stesso colore.

• La croce del Sud 4 5 6 9 61 52 63 18 Infatti i numeri della seconda riga sono tutti i quadrati del numero corrispondente nella riga superiore ma con la cifre invertite. es: 4 16 61