OLTRE GLI INTERI Obiettivi Scoprire i numeri irrazionali

OLTRE GLI INTERI Obiettivi : Scoprire i numeri irrazionali Estrarre la radice quadrata di un numero Costruire segmenti di lunghezza √n Utilizzare la geometria per costruire segmenti di lunghezza √n Approfondire la conoscenza di p e di Scoprire le frazioni continue Contenuti : I numeri irrazionali Diagonale del quadrato √ 2 Diagonale del cubo √ 3 Costruzione di √n Teorema di Pitagora II teorema di Euclide Rettangoli reciproci Quadrature p , e , logaritmi Le frazioni continue e

Materiali Schede di lavoro Disegni Cartelloni Origami Sito web sui numeri irrazionali , su √ 2 , su √n, su p , su e , sulle frazioni continue Metodologie: Problem solving Cooperative learning Scoperta guidata Lavorare per progetti

I numeri Irrazionali La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione dell'irrazionalità e di √ 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la √ 2 come frazione

Pitagora dalla Scuola di Atene di Raffaello

Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

§Possiamo dimostrare l'irrazionalità di √ 2 con un origami

La diagonale del quadrato di lato 12 è 12 √ 2 che è molto vicino a 17 Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio proprio 17/12 , la diagonale misurerebbe 17 , e piegando il lato sulla diagonale resterebbe un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa 7 e cateti 5 , per cui √ 2 sarebbe anche 7/5 , mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini, mentre qui 17/12 e 7/5 sono due numeri razionali distinti. Quindi √ 2 è un numero irrazionale

Dimostrazione dell’irrazionalità di √ 2 Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio proprio m/n , la diagonale misurerebbe m, e riportando il lato sulla diagonale mediante un arco di circonferenza, resterebbe un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa n-(m-n) = 2 n-m e cateti m-n , per cui √ 2 sarebbe anche (2 n-m)/(m-n) , mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini, mentre qui m/n e (2 n-m)/(m-n) sono due numeri razionali distinti. Quindi √ 2 è un numero irrazionale

Altra dimostrazione dell’irrazionalità di √ 2 Se m e n sono i più piccoli numeri primi tra loro tali che m 2 = 2 n 2 sovrapponendo i quadrati di lato n, risulta anche n 2= 2 (m-n)2 mentre m e n erano gli unici per cui valeva m 2 = 2 n 2 quindi √ 2 è un numero irrazionale

Costruzione di un segmento di lunghezza √ n Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di lunghezza unitaria , l'ipotenusa sarà √ 2, facciamo diventare questa ipotenusa il cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario, ora l'ipotenusa sarà √ 3, ora facciamo diventare questa ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario , l'ipotenusa sarà ora √ 4 , ecc.

Applicazione del teorema di Pitagora 1 1 1 1 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 √ 7 √ 8 √ 9

Rappresentazione geometrica di √n 1

Rettangolo reciproco Dato un rettangolo di lati a e b il suo reciproco è simile al primo essendo uguali i rapporti tra i lati

Quando un rettangolo reciproco è la meta del rettangolo di partenza ? Occorre che a 2/b = b/2 Ossia b/a = √ 2 Per esempio b= 2 √ 2 a=2

Il rettangolo verde è il reciproco di quello rosso 2 2√ 2

Se vogliamo che il rettangolo reciproco sia 1/3 del rettangolo ab occorre che a 2/b= b/3 b/a= √ 3 a a b Per a=1 a 2/b b=√ 3 a 2/b=√ 3/3 Quindi…

Per a=1 b=√ 3 √ 3/3 1 √ 3/3

In generale

Applicazioni

Catena di rettangoli reciproci

Se vogliamo fogli di carta rettangolari a. Xb in modo tale che il foglio iniziale A 0 abbia superficie di 1 m 2 e ogni foglio diviso a metà per il lato lungo b dia due parti di formato uguale occorre che il rapporto sia b/a =√ 2 a. Xb = 1000000 mm 2 b/a = √ 2 b = a √ 2 a 2 √ 2 = 1000000 a = 841 mm b =1189 mm

Ecco quindi le misure dei vari formati • • • A 0 = 841 X 1189 A 1 = 841 X 594 A 2 = 420 X 594 A 3 = 420 X 297 A 4 = 210 X 297 ecc…

Duplicazione di un quadrato Il quadrato rosso ha area 2 2 a a a/√ 2 a√ 2 a/√ 2

Duplicazione di un cerchio Dato un cerchio di raggio R l’area è p. R 2 Se vogliamo un cerchio di area doppia 2 p. R 2 occorre che il raggio r sia r = √ 2 R Ogni volta che vogliamo moltiplicare la superficie di un cerchio una, due, tre volte dobbiamo moltiplicare il raggio per Approsimativamente 1, 41 2 2, 8 4 5, 64 8 11, 28 16

In fotografia √ 2 determina l’apertura degli obiettivi delle camere fotografiche utilizzando la sequenza delle potenze di √ 2 espresse in forma decimale : i numeri f

Quadratura di un triangolo AP 2 =bc Il quadrato scuro è la metà del quadrato di lato AP Il triangolo rettangolo scuro è equivalente al quadrato scuro

Quadratura di un poligono Ogni poligono si può scomporre in tanti triangoli rettangoli, ognuno equivalente ad un quadrato e sommati costruiscono un quadrato grande di area pari all’area del poligono

Lunula L + M = p. R 2/4 T + M = p R 2/4 quindi L=T=Q Q R/2

Quadratura della doppia luna ( L + M ) + ( L’ + M’ ) = M + M’ + T quindi L + L’ = T

Dimostrazione geometrica di √(a+b) < √a+√b < in quanto in un qualunque triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due

Applicazione del 2° teorema di Euclide AH ∙ HB = CH 2 Se AH = 1 e HB = n CH =√n

Da H tracciamo la perpendicolare ad AB che incontra la semicirconferenza in C. Il segmento CH ha lunghezza √n Dim infatti per il II teorema di Euclide CH 2= AH • HB Se AH = 1 BH = n CH = √n

In architettura Parc Guëll dell’architetto Antonio Gaudì Le colonne su cui poggia la piazza del Parco Guëll sono centrate in una grata perfetta dove √ 2 è di fondamentale importanza

Tavoletta YBC 7289 –Collezione Università di Yale Un testo cuneiforme appartenente alla collezione di Yale contiene la figura di un quadrato , della diagonale del quadrato ed il rapporto tra la diagonale ed il lato che risulta una approssimazione della radice quadrata di 2 a meno di un milionesimo !! I numeri segnati sulla tavoletta sono sessagesimali e rappresentano il calcolo di √ 2 : 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1 + 0, 4 + 0, 014166667 + 0, 000046296 = 1, 41421296 ( √ 2 = 1, 41421356. . . )

Metodo babilonese per il calcolo di √n I babilonesi usavano un metodo matematico per calcolare una buona approssimazione di √n Algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata di a Sia a 1 una approssimazione per difetto b 1=a/a 1 per eccesso a 2=(a 1+b 1)/2 per eccesso b 2= a/a 2 per difetto Clicca qui se vuoi lanciare il programma che calcola la √n col metodo babilonese a 3=(a 2+b 2)/2

Calcolo di √ 2 • • • a=2 a 1=1 approssimazione per difetto di √ 2 b 1= a/a 1 = 2/1 a 2=(a 1+b 1)/2=(1+2)/2=1, 5 b 2=a/a 2=2/1, 5 = 1, 3 approssimata per difetto a 3=(1, 5+1, 3)/2= 1, 4 ecc. .

La radice cubica di 2 Il Problema di Delo è un'isola dell'arcipelago greco, patria di Apollo. Durante una pestilenza ad Atene , gli abitanti mandarono un emissario a chiedere all'oracolo di Apollo a Delo cosa fare. L'oracolo rispose che la pestilenza sarebbe cessata non appena gli Ateniesi avessero raddoppiato la grandezza dell'altare di Apollo. La pestilenza non cessò perchè gli Ateniesi non seppero costruire, con riga e compasso , unici strumenti che possedevano, un cubo di lato la radice cubica di 2 , per raddoppiare un cubo di lato 1 Oggi sappiamo che non è possibile con solo riga e compasso

x 1 y √ 3/2 1 1 XY=1 Costruendo la figura avvicinando un esagono regolare di lato 1 alla riga fino a toccarla in B, congiungendo X con A e Y con A si ottiene 1: x=y: 2 Le regole di Euclide non prevedono di fare segni sulla riga, ma se si mettono due segni X e Y a distanza 1 sulla riga, con la costruzione della figura si costruisce un segmento YB di lunghezza radice cubica di 2

x 1 √ 3/2 1 y 1 XY=1 YB =x AX =y AD=2 1: x=y: 2 xy=2 (*) BH= √ 3/2 AH=1/2 XH=y+1/2 XB=1+x XB 2=(1+x)2=XH 2+BH 2=(y+1/2)2+3/4 1+2 x+x 2=y 2+y+1/4 +3/4 2 x+x 2=y 2+y posto y=x 2 che soddisfa la (*) 2 x +x 2=x 4+x 2 x 4=2 x x 3=2 x=radice cubica di 2

Altra costruzione per la radice cubica di 2: Mediante le coniche : mettendo a sistema l' iperbole xy=2 con la parabola y=x 2 il punto di intersezione ha come ascissa la radice cubica di 2: xy=2 y=x 2 y=2/x 2/x=x 2 x 3= 2 x=radice cubica di 2

x 1, 0 y=2/x y=x*x 2 1 1, 818182 1, 21 1, 2 1, 666667 1, 44 1, 3 1, 538462 1, 69 1, 428571 1, 96 1, 5 1, 333333 2, 25 1, 6 1, 25 2, 56 1, 7 1, 176471 2, 89 1, 8 1, 111111 3, 24 1, 9 1, 052632 3, 61 2, 0 1 4

x y=2/x y=xx 1, 2 1, 666667 1, 44 1, 21 1, 652893 1, 4641 1, 22 1, 639344 1, 4884 1, 23 1, 626016 1, 5129 1, 24 1, 612903 1, 5376 1, 25 1, 6 1, 5625 1, 26 1, 587302 1, 5876 1, 27 1, 574803 1, 6129 1, 28 1, 5625 1, 6384 1, 29 1, 550388 1, 6641 1, 3 1, 538462 1, 69 1, 31 1, 526718 1, 7161 1, 32 1, 515152 1, 7424 1, 33 1, 503759 1, 7689 1, 34 1, 492537 1, 7956 1, 35 1, 481481 1, 8225 1, 26 è un’approssimazione della radice cubica di 2 1, 58 è un’approssimazione della radice cubica di 4

√ 3 Diagonale del cubo di lato 1 1 √ 3 1 √ 2 1

Schede lavoro alunni • Disegnare il segmento √ 2 come diagonale del quadrato di lato 1 • Disegnare il segmento √ 3 come diagonale del cubo di lato 1 • Disegnare i segmenti √n con le due costruzioni suggerite • Calcolare la √ 2 col metodo babilonese • Costruire un segmento radice cubica di 2

Il numero p Per definizione è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro di conseguenza anche : la lunghezza di una circonferenza di diametro 1, oppure l'area di un cerchio di raggio 1. Fin dai Babilonesi si è tentato di calcolare un valore approssimato di p Archimede ottenne un'approssimazione di p calcolando l'area di un poligono di 96 lati, inscritto in un cerchio di raggio 1

(Inizio del Trattato "Misura del Cerchio"nell'edizione di Basilea dell'opera di Archimede(1544)

L'astronomo cinese Tsu Ch'ung chih (nato nel 430 d. C. ) aveva trovato come approssimazione 22/7 ed una più accurata 355/113; il grande matematico indiano Brahmagupta(600 d. C. ) aveva calcolato come approssimazione di p la radice di 10

Partendo dalla considerazione che la successione numerica delle aree dei poligoni di 4 , 8, 16 ecc. . lati inscritti in un cerchio di raggio 1 tende a p

nel 1593 Francois Viéte esibì una formula di p

Alla fine del 1500 in Germania Ludolph van Ceulen, che aveva passato gran parte della sua vita nel calcolo di p, calcolò 20 cifre decimali di p.

Il tedesco Lambert nel 1761 dimostrò che p non è un numero razionale e Lindemann nel 1882 che p non è soluzione di nessuna equazione algebrica con coefficienti interi

Costruzione di un segmento lungo p

Nel quadrante di raggio unitario costruire AB =1/8 BC=7/8 DG=1/2 Con facili calcoli (. . BG= √ 113/8 , DE=7√ 113/226, EG=4√ 113/113, CE=(113 -4√ 113)/113, EF=(28√ 113 -112)/791) si arriva a : FG = 16/113 = 0, 1415929. . e siccome 355/113 = 3+16/113 =3, 1415929. . . che è un'approssimazione di p a meno di un milionesimo, per costruire un segmento che approssimi p, basta aggiungere un segmento lungo 3 al segmento FG

Un'approssimazione statistica di p Calcoliamo la probabilità di colpire la parte interna di un cerchio di raggio r inscritto in un quadrato: prob = n. eventi favorevoli/n. eventi possibili = p r 2/4 r 2= p /4 prob = p/4 p = prob X 4 dopo aver ottenuto per via sperimentale la probabilità di colpire la parte interna del cerchio inscritto nel quadrato(10000, 20000 tiri ), oppure mediante una simulazione al computer , per cui prob = 0. 785398. . . di conseguenza p = 0. 785398. . . X 4 = 3. 141592. .

Programmi e animazioni • Tiro al bersaglio con animazione • Animazione flash del tiro al bersaglio

Scheda di lavoro • Costruire un segmento che abbia come misura un’approssimazione di p • Costruire la successione numerica delle aree dei poligoni regolari di 4, 8, 16 lati inscritti in un cerchio di raggio 1 e verificare che tende a p • Utilizzare la simulazione del tiro al bersagli per trovare un’approssimazione di p

Il numero e e = 2, 718284…… lim (1+1/n)n = e Ma anche e = 1 + 1/1! + 1/2! + +1/n! clicca qui per il lanciare il programma che calcola un’approssimazione di e

John Nepier (Scozia * 1550 - † 1617) Non era un matematico di professione, infatti la matematica fu solo un hobby, per il quale tra l'altro non aveva molto tempo. S'impegnò a trovare un metodo per eseguire più velocemente i calcoli di quozienti e prodotti al fine di semplificare i calcoli trigonometrici.

Meglio conosciuto come Nepero, non era un matematico di professione. Nacque in Scozia nel 1550 ed a soli 13 anni fu iscritto alla St. Andrews University dove si appassionò alla Teologia; ma completò gli studi all'estero, forse a Parigi. Tornò in Scozia nel 1571 dove si dedicò alla cura delle proprietà della famiglia, in particolare all'agricoltura verso la quale ebbe un approccio scientifico sperimentando vari tipi di concimi. Morì nel 1617.

Il numero e , calcolato da Nepero, entrò inizialmente nella matematica senza assumere particolare rilievo. Solo nel 1618, quando in un'appendice al lavoro sui logaritmi apparse una tavola che dava i logaritmi naturali di vari numeri, si comprese il suo valore.

Anche per Nepero non mancarono le solite leggende che lo volevano in contatto col diavolo. Si diceva che fosse solito passeggiare in camicia e berretto da notte o andare in giro con un gallo ricoperto di fuliggine. D'altra parte non è sorprendente che un uomo di tale intelletto apparisse strano ai suoi contemporanei e che, considerando la superstizione di quei tempi, strane storie circolassero sul suo conto.

Il numero di Nepero e Consideriamo le due progressioni numeriche per es. : 0 1 3 1 2 9 3 27 81 7 4 5 243 6 729 2187 Il prodotto di due termini della progressione geometrica appartiene ancora alla progressione e dista dall'unità quanto la somma delle distanze dei due fattori (es. 9 X 243 = 2187 2+5 = 7 ) (i numeri in rosso sono i log dei numeri neri in base 3 )

Queste osservazioni furono fatte da Archimede ma riprese da Stifel (1544) che costruì una prima tavola dei logaritmi in base 2 Ma solo Burgi e Napier (Nepero) riuscirono a costruire tavole dei logaritmi organiche anzi Burgi un po' prima di Nepero ma quest'ultimo le pubblicò per primo(nel 1614).

0 1 k 2 k (1+k)2 ponendo (1) 3 k . . . (1+k)3 a=(1+k)n nk (1+k)n e (2) b= nk a=(1+k)b/k = ((1+k)1/k))b quindi b è il logaritmo di a in base (1+k)1/k ossia i termini della progressione aritmetica (1) sono i logaritmi dei relativi termini della progressione geometrica (2) nella base (1+k)1/k

Ora quanto più piccolo è k tanto più piccola sarà la differenza tra due termini della (1) e migliore sarà il sistema di calcolo dei logaritmi per cui la base migliore è quella per cui k->0 (1/k=n n ∞ ) ossia lim (1+1/n)n=e n ∞

Compare così il numero di Nepero e anche se esso resta indissolubilmente legato al nome di Eulero ( che fu il primo a chiamarlo e) il quale definisce e come somma della serie 1 + 1/1! +1/2! + 1/3! +. . . +1/n! +. . .

Nepero scelse k= 1/107 e preferì utilizzare come base (1 - 1/107 )107=0, 9999999 ∙ 107 Per evitare cifre decimali moltiplicò il numero per 107 ossia N=107(1 -1/107)L dove L è il logaritmo neperiano di N per cui il logaritmo di 107 è 0 il logaritmo di 9999999 è 1 Si vede subito che tale logaritmo non è quello che oggi chiamiamo neperiano , ossia in base e, infatti (i log calcolati sono in base e) log N = log 107+ L log (1 -1/107) con L =logaritmo di Nepero quindi L = (log N -log 107 )/ log (1 -1/107)

• Nel 1615 Briggs fece visita a Nepero e gli propose di costruire una tavola di logaritmi in base 10 , ma dovette portare da solo a termine il progetto per la sopraggiunta morte di Nepero nel 1617

Egli risolse il problema utilizzando estrazioni di radici successive es. √ 10 = 3, 162277 quindi log 3, 162277 =0, 5 10 3/4 = √(10 √ 10) = √( 10 X 3, 162277) = √ 31, 62277=5, 62341 quindi log 5, 62341=3/4 =0, 75 ecc. . . Briggs nell'anno della morte di Nepero pubblicò la tavola dei logaritmi in base 10 da 1 a 1000

Anche Burgi aveva costruito delle tavole di logaritmi ma era partito da (1+1/104)104 ed aveva moltiplicato il numero per 108 ossia N=108(1+1/104)L con L =logaritmo di N

Eulero • Uno dei più grandi matematici di ogni tempo. Fu l'allievo del grande matematico Johann Bernoulli, dal quale fu definito il "Principe dei Matematici". Approfondì il numero scoperto da Nepero, attribuendogli la lettera "e".

Leonhard Euler • Meglio conosciuto come Eulero. Non vi è dubbio che sia stato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, certamente il più grande del suo secolo, il Settecento, il "secolo dei lumi". Il contributo di Eulero alla matematica è stato così importante ed esteso che espressioni come "la formula di Eulero", "il teorema di Eulero", "la congettura di Eulero" o " la costante di Eulero" vengono ancora oggi utilizzate in diversi contesti. Nacque il 15 aprile 1707 a Basilea, dove la famiglia si era rifugiata per sfuggire alle guerre di religione, e dove studiò alla scuola del grande matematico Johann Bernoulli. Nel 1727 si trasferì a San Pietroburgo alla corte di Caterina I, grande imperatrice di tutte le Russie, al seguito del figlio di Johann, Daniel Bernoulli che era stato nominato professore di matematica presso l' Imperiale Accademia delle Scienze. Nel 1733 assunse la cattedra di Bernoulli e la tenne fino al 1741, quando fu nominato professore di Matematica e Fisica all' Accademia di Berlino. Qui rimase fino al 1766, anno in cui fece ritorno a San Pietroburgo dove rimase fino alla morte nel 1873. La sua "Introductio in Analisyn Infinitorum" in due volumi del 1748 è considerata la base della moderna analisi matematica.

• Se a Nepero può essere attribuita la scoperta del numero, ad Eulero va attribuito il merito di averlo approfondito e reso popolare ed di averlo indicato con la lettera "e". In verità Eulero ha dato un nome a molte costanti ed operatori matematici, nomi ancora oggi in uso; fu lui per primo a usare il simbolo " p " [ in onore di Pitagora] , l'unità immaginaria "i" [ √ -1 ], l'operatore "funzione" f(x) e il” S ” la sommatoria e tante altre ancora oggi in uso.

• L'opera di Eulero consta di quasi 90 opere in ogni settore scientifico, molte delle quali prodotte negli ultimi anni della sua vita quando era ormai cieco. • Eulero fu l' allievo preferito di Johann Bernoulli, il che non era cosa facile per l' indole sospettosa ed invidiosa del maestro. Pare che gli dedicasse una lezione privata ogni sabato pomeriggio. • Quando Eulero si trasferì all' estero, la corrispondenza fra il vecchio maestro e l'allievo fu sempre intensa e cordiale, fino al riconoscimento della superiorità dell'allievo ed alla sua definizione di "Principe dei matematici"

• Calcolo del logaritmo in una data base, a confronto con il log in base 10 e in base e

Schede di lavoro • Costruire un’approssimazione di e utilizzando lim (1+1/n)n = e ma anche e = 1 + 1/1! + 1/2! + +1/n!

Le frazioni continue 1+ Questa è una frazione continua E’ uguale a 13/8 Viene scritta anche così [1, 1, 2]

Anche questa è una frazione continua 3+ E’ uguale a 182/53 Viene scritta anche così [3, 2, 3, 3, 2]

Al contrario se conosco il numero razionale di partenza posso costruire la frazione continua

Esempio quindi

Ma posso costruire la frazione continua anche di un numero irrazionale (approssimato a meno di un certo numero di cifre decimali)

Un’approssimazione di p quindi

Usiamo un programma che calcoli la frazione continua di un numero razionale assegnato Frazione continua

Usiamo ora un programma che dalla frazione continua risale al numero razionale Dalla frazione continua al numero razionale

E quando il numero è negativo? • Clicca qui per il programma • Es. a/b con a<0 Il primo numero (-1) è quel numero che moltiplicato per 9 e sottratto a -7 mi dà il più piccolo resto positivo

Altro esempio Il primo numero (-3) è quel numero che moltiplicato per 5 e sottratto a -7 mi dà il più piccolo resto positivo

Schede di lavoro • Costruire una frazione continua dei numeri 23/12 34/13 17/12 1, 4142 3, 1415 2, 71 -8/3 -37/44 Date le frazioni continue risalire ai numeri: [1, 2, 3, 4, 5] [1, 1, 2] [0, 2, 2, 1, 2]