Oleh Isty Yulianti 0700781 TEORI BILANGAN ORDER BILANGAN

Oleh Isty Yulianti 0700781

TEORI BILANGAN ORDER BILANGAN BULAT TEOREMA EULER AKAR PRIMITIF

1 2 Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif? Berapa banyak akar primitif yang ada pada suatu bilangan bulat modulo m?

ORDER BILANGAN BULAT MODULO m Misalkan a, m dengan m > 0 dan ppb(a, m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an ≡ 1 mod m.

Contoh Order dari 2 modulo 7 dapat diperoleh dengan mencari pangkat positif dari 2 yang menghasilkan residu 1 (modulo 7). Maka, 21 ≡ 2 mod 7, 22 ≡ 4 mod 7, dan 23 ≡ 1 mod 7. Jadi order dari 2 modulo 7 adalah 3, yang dinotasikan dengan ord 72 = 3.

TEOREMA EULER Jika ppb(a, m) = 1, maka a (m) mod m = 1 atau a (m) 1 (mod m). DEFINISI ORDER Jika a, m dengan m > 0 dan ppb(a, m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an 1 (mod m).

AKAR PRIMITIF Jika ada suatu bilangan bulat r dan order dari r modulo m adalah �� (m), maka r disebut akar primitif modulo m Ordmr = �� (m)

Apakah akar primitif modulo 7? Perhatikan Bilangan Bulat Modulo 7! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 7 adalah 6 1 bukan akar primitif modulo 7 karena ord 71 = 1 ≠ �� (7). 2 bukan akar primitif modulo 7 karena ord 72 = 3 ≠ �� (7). 3 adalah akar primitif modulo 7 karena ord 73 = 6 = �� (7). Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif?

Perhatikan Modulo 8! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 8 adalah 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga �� (8) = 4. Berdasarkan definisi, maka uji untuk bilangan bulat yang relatif prim dengan 8. ord 81 = 1 ord 83 = 2 ord 85 = 2 dan ord 87 = 2 Jadi, modulo 8 tidak memiliki akar primitif. Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif

Apakah akar primitif modulo m itu unik? Perhatikan Modulo 14! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 adalah 6 yaitu 1, 3, 5, 9, 11, dan 13. Berdasarkan definisi, uji bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 tersebut! ord 141 = 1 karena 11 1 (mod 14) ord 143 = 6 karena 36 1 (mod 14) ord 145 = 6 karena 56 1 (mod 14) ord 149 = 3 karena 93 1 (mod 14) ord 1411 = 3 karena 113 1 (mod 14) ord 1413 = 2 karena 132 1 (mod 14) Jadi, 3 dan 5 adalah akar primitif modulo 14.

Bagaimana cara mengatahui berapa banyak akar primitif pada bilangan bulat modulo m? TEOREMA Jika akar primitif modulo m ada, maka terdapat tepat sebanyak �� (m)) akar primitif yang tidak saling kongruen _______

Bagaimanakah akar primitif pada bilangan prima? Misal p sebuah bilangan prima dan d∊ �� dengan d > 0 dan d∣ p -1. Maka terdapat tepat sebanyak �� (d) bilangan bulat yang tidak saling kongruen yang mempunyai order d modulo p.

akar primitif dari suatu bilangan prima selalu ada Misal p bilangan prima, maka terdapat tepat sebanyak �� (p – 1) akar primitif yang tidak saling kongruen modulo p.

Dari contoh sebelumnya, Modulo 7 memiliki akar primitif Modulo 8 tidak memiliki akar primitif Semua bilangan prima memiliki akar primitif Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif?

Modulo 2 Modulo 4 Modulo 2 n Modulo 8 Modulo 16

Tidak ada akar primitif modulo 2 n dimana n ∊ �� dan n ≥ 3. _____

Bagaimana akar primitif pada bilangan yang berbentuk mn dengan m dan n yang relatif prim? Contoh 1. Diketahui 1 dan 2 saling relatif prim. Maka akar primitif modulo (1. 2) atau modulo 2 adalah 1. 11 1 (mod 2) ⇒ ord 21 = �� (2) Contoh 2. Diketahui 3 dan 4 saling relatif prim. Maka akan dicari akar primitif modulo (3. 4) atau modulo 12. �� (12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan 11. 11 1 (mod 12) ⇒ ord 121 = 1 ≠ �� (12) 52 1 (mod 12) ⇒ ord 125 = 2 ≠ �� (12) 72 1 (mod 12) ⇒ ord 127 = 2 ≠ �� (12) 112 1 (mod 12) ⇒ ord 1211 = 2 ≠ �� (12) Jadi, modulo 12 tidak memiliki akar primitif

Tidak ada akar primitif modulo mn dimana m, n ∊ �� , m, n > 2 dan ppb(m, n)=1. _______

Misalkan m dengan m > 0. Jika m dapat dibagi oleh dua bilangan prima ganjil yang berbeda atau m dapat dibagi oleh bilangan prima ganjil dan 4, maka tidak akan ada akar primitif modulo m. ------

KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF Jika akar primitif modulo m ada, maka m harus sama dengan 1, 2, 4, pn, atau 2 pn dimana p adalah bilangan prima ganjil dan n adalah bilangan bulat positif.