Oknkov Fourierova transformace stedn irok z Heisenbergv princip
Okénková Fourierova transformace střední široké úz
Heisenbergův princip t * f > 1/(4 ) Gaborův princip neurčitosti t Time rozlišení: separace f Frequency rozlišení : separace 2 spektrálních 2 „špicí“ v časové oblasti komponent Obě rozlišení nemohou být libovolně velké! Intervaly
Historie Wavelet · 1909 Alfred Haar - Haar báze. · 1946 Gabor - ne-orthogonální neomezené wavelety · 1976 Croisier, Esteban a Galand - filter banks pro dekompozici a rekonstrukci signálu · 1982 Jean Morlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů
Komprese Odstraňování šumu a poškození Detekce struktur Fúze dat s různým rozlišením Problematika rozmazání Registrace
O co tady jde ? „Laplacian“ pyramida - time scale space Analýza signálu - time frequency space
O co tady jde ?
Haarova waveleta • kompaktní • dyadická • ortonormální
Wavelet transformace • Okno proměnné šířky – analýza vysokých frekvencí úzké okno pro lepší „time“ rozlišení – analýza nízkých frekvencí širší okno pro lepší „frequency“ rozlišení
Okénková Fourierova transformace translace, dilatace a > 0, R R waveletová transformace
Waveletová transformace h a, => a, b - matečná waveleta (mother wavelet) - wave. . . osciluje - …. let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle 2 - =0 <∞ - | |2 < a, b x-b a > 0, R b R, normalizace přes škály - FT( ) a, b v 0 - 0, v - 0 - něco jako band-pass filtr ve FT
Spojitá waveletová transformace a, b* a, b c - záleží na a > 0, R b R a, b WF(a, b) = f (t), a, b REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a, b
Dyadická waveletová transformace - waveletové řady - < m, n Z binární škálování dyadický posun m, n - - zmenšování o faktor 2 - posun o k/2 j ortonormální báze L 2(R) m, n , k, l = m, k n, l f(x) = c m, n , m, n - - c m, n = f (x), m, n Přeurčenost
Diskrétní waveletová transformace - cesta Kompaktní dyadická waveletová transformace - f(x), m, n nenulové na [0, 1], jednotkový interval j j = 2 m + n, m = 0, 1, … n = 0, 1, … 2 j - 1 pro libovolné j je m je největší takové, že 2 m j, n = j - 2 m f(x) = c j , j - c j = f (x), j Diskretizace f N vzorků spojité … f (i x) … mocnina 2
Diskrétní waveletová transformace Kompaktní dyadická waveleta Diskretizace f …. f (i x) N vzorků … mocnina 2 j N f(x) = c j , j 1 N c j = f (x), j = f(x) j 1 diskrétní
Waveletová dekompozice funkce f Vj 0 Vj WJ-1 základ + detaily různého měřítka
Mutliresolution analysis (MRA) - postup pro konstrukci ortonormálních bází - L 2 prostor - vnořená sekvence uzavřených podprostorů Vi - každé Vi odpovídá jednomu měřítku - plně určeno volbou škálovací funkce
Platí: nárůst i - jemnější rozlišení scale invariance
shift invariance funkce ij (x), kde tvoří ortonormální bázi Vi „father wavelet“ … škálovací funkce Pi(f) - ortonormální projekce f do Vi , pak škálovací koeficienty reprezentace chyby ( detailu ) Vi+1 - Vi ortonormální doplněk Wi
každý Wi je generován posuny i, j waveleta Platí: škálová invariance translační invariance ortonormalita Wi a Wk waveletové koeficienty
Waveletová transformace - dekompozice Vj Vj 0 Wj-1
škálovací koeficienty waveletové koeficienty … vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový (=1) - =0 - a FT( ) dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech) - kompaktní , - nulové krom určitého konečného intervalu
V 0 V 1 V 0 V 1 dilatační rovnice W 0 V 1 V 0 W 0 V 1
Haar waveleta h=[ , ] g=[ , - ]
- Slides: 26