OINARRIZKO ALJEBRA DBH 2 Zer da Aljebra Balio

OINARRIZKO ALJEBRA DBH 2

Zer da Aljebra? Balio ezezaguna duten zenbakiak adierazteko letrak erabiltzen dituen Matematikaren atala da ALJEBRA. Aljebra HIZKUNTZA bat da, eta aukera ematen du, besteak beste, problema bat letra eta zenbakien bidez adierazteko eta, ondoren, Matematikaren arauen bidez problema hori ebazteko.

Aljebraren erabilera batzuk FORMULAK ADIERAZTEKO: Zirkuluaren Perimetroa = 2πr r: zirkuluaren erradioa. PROBLEMAK IDAZKERA MATEMATIKOAN ADIERAZTEKO ETA EBAZTEKO. ZENBAKI-SEGIDEN GAI-OROKORRA LORTZEKO: a 1 = 0 a 3 = 8 a 5 = 24 a 2 = 3 a 4 = 15 a 6 = 35 Orokorrean: an = n 2 – 1 ADIBIDEZ: Ondoz ondoko bi zenbakiren batura 11 da. Zein dira zenbaki horiek? Zenbaki bat: x Bere ondorengoa : x+1 x + (x + 1) = 11

ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK

Adierazpen aljebraikoak Zenbakiz eta letraz adierazitako adierazpenak dira adierazpen aljebraikoak. Ezagutu ditzagun adierazpen aljebraiko sinpleenak: MONOMIOAK.

MONOMIOAK ESANAHIA ETA ERAGIKETAK

Zer da MONOMIOA? Adierazpen aljebraiko sinpleena da. Zenbaki bidez adierazten den balio ezagun baten eta letra bidez adierazten den balio ezezagun baten edo batzuen arteko biderkadura da. Adibidez: 7· x 6· 8· 2 y 2 x · 3 y· z 23· a· b

Zer da MONOMIOA? Dena den, monomioak adierazteko ez da biderketaren ikurra idazten Beraz, honela adierazten dira ikusi berri ditugun monomioak: 2 3 6 x y z 7 x 2 8 y 23 ab

Zer atal dituzte monomioek? Monomio guztiek bi atal dituzte: ◦ KOEFIZIENTEA edo zenbakizko zatia ◦ LETRAZKO ZATIA edo letrek (balio ezezagunak) eta haien berretzaileek osatutako zatia KOEFIZIENTEA 2 9 x LETRAZKO ZATIA

2 3 66 xx y z 77 xx 2 8 y 8 y 23 23 ab ab Beraz, monomio hauek LETRAZKO ZATIA KOEFIZIENTEA kontuan izanda…

2 x 3 –y 2 1 x 3 – 1 y 3 2 edo 2 3 Beraz, –y – 1 y Beraz, 1 x edo x 3 gisa Zein dira monimio hauetako –y x 23, , behar aldiz, – 1 y izanez gero, adierazi 1 x 2 monomioaren koefizientea Kontuz monomio hauekin: EDERTO! ? gisakoefizienteak adierazi daiteke. – 1 da.

Monomioaren maila Monomioaren mailaletrazko zatia osatzen duten biderkagai kopurua da. 2 9 xx 9· x· x Beraz, 9 x 2 monomioaren maila 2 da.

Adibide gehiago: MONOMIOA Letrazko atala MAILA y 3 y· y· y 3 4 x x 1 – 9 x 3 z 2 x· x· x· z· z 5 a a 1 5 n 5 m 3 n· n· n· m· m· m 8

Monomioen zenbakizko balioa Monomioak osatzen dituzten letrek balio jakin bat hartzen dutenean monomioek hartzen duten balioa da. 2 9 x x=2 9· 2 2 = 9 · 4 = 36 Beraz, 9 x 2 monomioaren balioa 36 da, x = 2 denean.

Adibide gehiago: MONOMIOA LETREN BALIOAK ZENBAKIZKO BALIOA y 3 y=2 23 = 8 4 x x=7 4 · 7 = 28 – 9 x 3 z 2 x = 2 eta z = 1 (– 9) · 23· 12 = – 72 a a = 12 12 5 n 5 m 3 n = 2 eta m = – 1 5 · 25 · (– 1)3 = – 160

MONOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK BATUKETAK ETA KENKETAK

Egin al daitezke edozein monomioren arteko batuketak eta kenketak? EZ ! Monomioak antzekoak Ikusi ditzagun adibide izateko, letrazko zatia Monomioak batu ahal izateko, berberabatzuk. izan behar da bidira antzekoak izan behar. monomioetan. Batuketak eta kenketak

4 y 9 x 2 3 2 m n 5 7 a Antzeko monomioak al dira? Ez dagoelako letrazko zati berbera duen monomio bikoterik. 3 9 x 20 xyz EZ!

5 4 d 9 x 2 3 2 m n 5 7 d Eta, oraingoan, antzekoak al dira? Antzekoak dira: 4 d 5 eta 7 d 5 9 x eta – 3 x 2 m 2 n 3 eta 20 m 2 n 3 – 3 x 2 3 20 m n BAI!

Nola egin batuketak eta kenketak Ikusi dugun bezala, batuketak eta kenketak antzeko monomioen artean egin daitezke bakarrik. Koefizienteen arteko eragiketa egin behar da, baina letrazko zatia berdin utzi beharra dago. 3 x + 6 x = 9 x 3 y 2 – 7 y 2 = – 4 y 2 ADI! KOEFIZIENTEEN ARTEKO ERAGIKETA EGIN ONDOREN, LETRAZKO ZATIA MANTENDU EGITEN DA.

Akats arrunta: 5 x + 2 x = 2 7 x KONTUZ! Batuketa Emaitza zuzena egitean, letrazko zatia 5 x + 2 x = 7 x berdin mantendu behar da. da!

Batuketak eta kenketak monomioak antzekoak ez direnean Antzekoak ez diren monomioak bakarrik badauzkagu, adierazpena dagoen moduan uzten da. 8 x + 9 x 2 Horrela utzi 3 y 2 + 2 x – 7 y 2 = – 4 y 2 + 2 x Horrela utzi Zer iruditzen zaizue zenbait batuketa kenketa egiten baditugu?

Ebatzi: x + x = 2 x z + z = 3 z y 2 + 2 y 2 + 6 y 2 = 9 y 2 6 m 4 – 12 m 4 = – 6 m 4 x 2 + 7 x 2 + 2 x 3 = 8 x 2 + 2 x 3 3 n – 4 + 2 n + 2 = 5 n – 2 3 y 2 – 9 x 2 + 2 y 2 + 4 x 2 = 5 y 2 – 5 x 2

MONOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK BIDERKETAK ETA ZATIKETAK

Eta ba al dago egiterik edozein monomioren arteko biderketa zatiketarik? BAI ! Beraz, edozein monomioren artean egin daitezke Monomiek ez dute biderketak eta zatiketak. antzekoak izan behar. Biderketak eta zatiketak

BIDERKETA GOGORATU Monomioa, izatez, biderketa bat da, non koefizientea (zenbakia) eta letrazko zatia biderkaketaren osagaiak diren. Adibidez: 5 y 4 = 5· y · y Eta, ondorioz: Beraz, era biderketa badaukagu: Beste honetanhau idatzi dezakegu: 3 4· x· x· 6· x = 4· 6· x· x· x = 24 x 4· x· 4 xx· 2· 6· x == 6 x 2 3 4 x · 6 x = 24 x

BIDERKETA Orohar, monomioen arteko biderketa egiteko, koefizienteen arteko biderketa letrazko zatien arteko biderketa egiten da. Emaitza beste monomio bat da. Badirudi, momomioak biderkatzea baino errazagoa dela. Ikusi ditzagun adibide batzuk.

Adibideak: Pausoz pauso: 5 y 3· 4 y 2 = 5· y · y · 4· y· y = 5· 4 · y · y · y = 20 y 5 Zuzenean: x· x = x 2 4 n 2 m· 5 n 4 = 20 n 6 m 9 x 6· 5 x 7 = 45 x 13 3 x 2 y· 5 x 4 y 2 =15 x 6 y 3 4 n 2· 3 n 4 = 12 n 6 x· 5 x 6· x 2 = 5 x 9

Akats arrunta: 3 5 x · 2 4 x = 6 20 x KONTUZ! Berrekizun 3 2 x · x = x 5 berdineko berreketak 3· x 2 =beraz, 6 daxzuzena; x bidertzerakoan, berrekizuna mantendu 3 ez 2 = 20 x 5 da zuzena. 5 x · 4 x eta berretzaileen arteko batuketada. egiten da.

ZATIKETA Monomioen arteko zatiketak egiteko araua biderketaren oso antzekoa da. Errazena koefizienteen arteko zatiketa egitea da, batetik, eta letren arteko zatiketa egitea, bestetik. Beraz, zatiketa egiteko: Zatiketetan hiru emaitza mota ZENBAKIA zati ZENBAKIA hauetako bateta lortuko dugu: LETRA zati LETRA.

Hiru aukerak: ZENBAKIA MONOMIOA ZATIKI ALJEBRAIKOA

Jarrai dezagun aurrera! Monomioez gain, badaude beste adierazpen algebraiko konplexuago batzuk: POLINOMIOAK. Polinomioak? Zer ote dira polinomioak? Egon lasai, polinomioak zer Gainera, polinomioen arteko diren azkarnola eta erraz eragiketak egitenikasiko diren duzu. ere ikasiko

POLINOMIOAK ESANAHIA ETA ERAGIKETAK

Zer da POLINOMIOA? Zenbait monomioren arteko batuketa (edo kenketa) adierazia da POLINOMIOA Adibidez: 6 x 3 + 2 x 2 + x + 4 Bi monomioz Hiru monomioz osatua badago, BINOMIO Baina, TRINOMIO orokorrean, bi monomio deituko diogu: edo gehiagoz osatutako adierazpen guztiei deituko 5 diegu 2 POLINOMIO. 3 2 y 2 x + 6 y – 7 x – 7 y

Polinomio baten maila Polinomio baten mailapolinomio hori osatzen duten monomioen mailarik altuenak ezartzen du. Adibidez: 3 6 x + 2 2 2 x + xx +4 maila = 1 maila = 3 maila = 2 maila = 0 Beraz, 6 x 3 + 2 x 2 + x + 4 polinomioaren maila 3 da.

Polinomioen zenbakizko balioa Polinomioak osatzen dituzten letrek balio jakin bat hartzen dutenean polinomioek hartzen duten balioa da Adibidez: 9 x 2 + x +4 x=2 9· 22 + 4 = 36 + 2 + 4 = 42 Beraz, 9 x 2 + x + 4 polinomioaren balioa 42 da, x = 2 denean. Beste adibide bat: 9 x 2 + x+4 x=0 9· 02 + 0 + 4 = 4 Beraz, 9 x 2 + x + 4 polinomioaren balioa 4 da, x = 0 denean.

POLINOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK BATUKETAK ETA KENKETAK

Nola egiten ote dira polinomioen arteko batuketak? GOGORATU: Polinomioen arteko batuketak Antzeko monomioen artean Adibide batekin hobeto eta kenketak egiteko, monomioen batuketa-arauak bakarrik egin ditzakegu ulertuko duzu. errespetatu ditugu. . batuketak beharko eta kenketak

Polinomioen arteko batuketa Adibidez: A = 6 x 3 + 2 x 2 + x + 4 eta B = 2 x 3 – 4 x 2 + 8 x – 2 polinomioen arteko batuketa egiteko: A B 6 x 3 + 2 x 2 + x + 4 2 x 3 – 4 x 2 + 8 x – 2 A+B 8 x 3 – 2 x 2 + 9 x +2

Polinomioen arteko batuketa Adibidez: A = 6 x 3 + x + 4 eta B = 2 x 3 – 4 x 2 – 2 polinomioen arteko batuketa egiteko: A B 6 x 3 + 0 x 2 + x + 4 2 x 3 – 4 x 2 + 0 x – 2 A+B 8 x 3 – 4 x 2 + x + 2

Eta, polinomioen arteko Eta nola lortzen da kenketa egiteko, zer egin polinomio baten aurkakoa? behar da? Kenketa egiteko, lehenengo Erraza da: bigarren Beti bezala, adibide batekin polinomioari bigarrenaren polinomioari ikurrak aldatu, hobeto polinomioa ulertuko duzu. aurkako batu eta listo! behar zaio.

Polinomioen arteko kenketa A = 6 x 3 + 2 x 2 + x + 4 eta B = 2 x 3 – 4 x 2 + 8 x – 2 polinomioen arteko kenketa egiteko: lehenengo, kalkulatu B -ren aurkako polinomioa; polinomioa eta, gero, batu A -rekin. A –B 6 x 3 + 2 x 2 + x + 4 – 2 x 3 + 4 x 2 – 8 x + 2 A–B 4 x 3 + 6 x 2 – 7 x + 6

POLINOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK BIDERKETAK

Zenbaki batuketa batekin Orain prest zaude polinomio bat biderkatzen dugunean, zenbaki Biderketak egiten hasi baino zenbaki batekin nola biderkatzen hori batugai bakoitzarekin den ikusteko: lehen, gogoratu dezagun biderkatu behar dugu: banatze-propietateak dioena: 3 2 (4 x + 6 x – 7 x + 5)· 2 = a· (b + c) = a· b + a· c Adibidez: 4· (2 + 30) = 4· 2 + 4· 30

Polinomio bat bider zenbaki bat (4 x 3 + 6 x 2 – 7 x +5)· 2 = 8 x 3 + 12 x 2 – 14 x + 10 4 x 3 + 6 x 2 – 7 x + 5 x 2 8 x 3 + 12 x 2 – 14 x + 10

Orain, polinomio bat monomio batekin nola biderkatzen den ikusiko dugu: (5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1)· 3 x =

Polinomio bat bider monomio bat (5 x 3 + 3 x 2 – 2 x +1)· 3 x = 15 x 4 + 9 x 3 – 6 x 2 + 3 x 5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1 x 3 x 15 x 4 + 9 x 3 – 6 x 2 + 3 x

Azkenik, bi polinomio nola bidekatzen diren ikusiko dugu: (5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1)· (3 x + 4) =

Nola biderkatu bi polinomio 5 x=4 + 29 x 3 + 6 x 2 – 5 x + 4 (5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1)· (3 x + 14) 5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1 x 3 x + 4 20 x 3 + 12 x 2 – 8 x + 4 15 x 4 + 9 x 3 – 6 x 2 + 3 x + 15 x 4 + 29 x 3 + 6 x 2 – 5 x + 4

Nola biderkatu bi polinomio 154) x 5 +=9 x 4 + 14 x 3 + 15 x 2 – 8 x + 4 (5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1)· (3 x 2 + 5 x 3 + 3 x 2 – 2 x + 1 x 3 x 2 + 4 20 x 3 + 12 x 2 – 8 x + 4 15 x 5 + 9 x 4 – 6 x 3 + 3 x 2 + 15 x 5 + 9 x 4 + 14 x 3 +15 x 2 – 8 x + 4

BIDERKADURA NABARMENAK BIDERKETAK

Zer dira biderkadura nabarmenak? Binomioen biderkadura jakin batzuk dira, dira eta identitate nabarmen ere esaten zaie. Adierazpen aljebraikoekin egiten diren kalkulu batzuk laburtzeko balio dute. Gehienetan, polinomioak biderkagaitan deskonposatzeko eta zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko erabiltzen dira. Sarritan erabiliko ditugunez, buruz ikasi behar dira.

1) 2) Batuketaren Kenketaren karratua: 3)Hiru Batuketa bider kenketa: biderkadura nabarmen 2 erabiliko ditugu: (a + – b) (a + b) · (a – b) BIDERKADURA NABARMENAK (a + b)2 (a – b)2 (a + b) · (a – b)

Hasi gaitezen lehenengotik: Batuketa baten karratua

Batuketa baten karratua kalkulatzeko, honako hau egiten da: ◦ lehenengo batugaia ber bi ◦ gehi, bi aldiz lehenengo batugaia bider bigarrena ◦ gehi, bigarren batugaiaren karratua (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2

Azalpena · +(ab+2 b) (a + b)2 = (a a 2 + b) 2 ab x a+b 2 ab + a 2 + ab a 2 + 2 ab + b 2 izanda,

Honako adibide hauekin errazago ulertuko duzue.

(a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2 (2 x + 1)2 = (2 x)2 + 2 · 2 x · 1 +(1)2 = 4 x 2 + 4 x + 1 a = 2 x eta b = 1 (x + 4)2 = x 2 + 8 x + 16 a = x eta b = 4 (3 x 2 + 5 x)2 = 9 x 4 + 30 x 3 + 25 x 2 a = 3 x 2 eta b = 5 x

Bigarren, Kenketa baten karratua

Kenketa baten karratua kalkulatzeko, honako hau egiten da: ◦ lehenengo batugaia ber bi ◦ ken, bi aldiz lehenengo batugaia bider bigarrena ◦ gehi, bigarren batugaiaren karratua (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2

Azalpena · + (ab– 2 b) (a – b)2 = (a a 2 –– b) 2 ab x a–b 2 – ab + a 2 – ab a 2 – 2 ab + b 2 izanda,

Honako adibide hauekin errazago ulertuko duzue.

(a – b )2 = a 2 – 2 ab + b 2 (x – 2)2 = (x)2 – 2 · x · 2 +(2)2 = x 2 – 4 x + 4 a = x eta b = 2 (3 x – 1)2 = 9 x 2 – 6 x + 1 a = 3 x eta b = 1 (4 x 3 – 2 x)2 = 16 x 6 – 16 x 4 + 4 x 2 a = 3 x 2 eta b = 5 x

Eta hirugarrena eta azkena: Batuketa bider kenketa

Batuketa bider kenketa Bi monomioren arteko batuketaren eta monomio horien arteko kenketaren biderkadura kalkulatzeko, honako hau egiten da: ◦ lehenenego monomioa ber bi ◦ ken, bigarren monomioaren karratua (a + b)· (a – b) = a 2 – b 2

Azalpena: (a + b) · (a – b)= a 2 – b 2 x + a+b a– b ab – b 2 a 2 – ab a 2 – 0 ab – b 2

Honako adibide hauekin errazago ulertuko duzue.

Lehenago aipatu dugun moduan, biderkadura nabarmenak polinomioak deskonposatzeko eta zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko erabiltzen dira. Ikusi dezagun adibide pare bat.

Nola erabili biderkadura nabarmenak zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko Adibide bat: Beste bat:

Nola jakin zer biderkadura nabarmenetatik datorren adierazpena Aurreko adibideetan, bi zatiki aljebraiko sinplifikatu ditugu biderkadura nabarmenak erabiliz. Baina nola jakin zer biderkadura nabarmenetatik datorren adierazpen bakoitza? Nondik dugu Edo nola lortzen deskonposatu x 2 + Adi honako x 24 x – azalpenei. 1+ 4 adierazpena?

Eta Adibidez: 2 4 x. Adierazpen ere karratu Azalpenak bat hasiperfektua karratu baino 25 karratu perfektua da, 2 x-ren karratua lehen, perfektua karratu dela esango perfektu 5 en karratua delako. bat dugu, zerbeste den gogoratuko adierazpen baten karratua dugu. 2 bada. 25 =5 2 2 4 x = (2 x)

Orduan, zer baldintza behar ditu adierazpen batek batuketa baten karratuaizateko? a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2

BIDERKADURA NABARMENAK Demagun adierazpen hau daukagula: x 2 + 2 x + 1 = (x + 1)2 BATUKETAREN KARRATUA DA (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 Batugaiak hiru al dira? BAI! Erantzuna jakiteko, hartu Zer biderkadura kontuan hiru balditza nabarmenetatik dator? hauek: Horietako bi karratu perfektuak al dira? BAI! Beste batugaia bikoitia al da? Aurrean + ikurra al dauka? BAI! Batuketaren karratuada.

Eta zer baldintza behar ditu adierazpen batek kenketa baten berbiduraizateko? a 2 – 2 ab + b 2 = (a – b)2

BIDERKADURA NABARMENAK Demagun adierazpen hau daukagula: x 2 – 4 x + 4 = (x – 2)2 KENKETAREN KARRATUA DA (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 Batugaiak hiru al dira? BAI! Erantzuna jakiteko, hartu Zer biderkadura kontuan hiru balditza nabarmenetatik dator? hauek: Horietako bi karratu perfektuak al dira? BAI! Beste batugaia bikoitia al da? Aurrean – ikurra al dauka? BAI! Kenketaren karratuada.

Azkenik, zer baldintza behar ditu adierazpen batek batuketabider kenketaizateko? a 2 – b 2 = (a – b)· (a – b)

BIDERKADURA NABARMENAK Demagun adierazpen hau daukagula: x 2 – 1 = (x + 1)· (x – 1) BATUKETA BIDER KENKETA DA (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 Batugaiak bi al dira? BAI! Erantzuna jakiteko, hartu Zer biderkadura kontuan hiru balditza nabarmenetatik dator? hauek: Biak karratu perfektuak al dira? BAI! Eta kenketa bat al da? BAI! Batuketa bider kenketada.

Adibide gehiago: 4 x 2 – 4 x + 1 = (2 x – 1)2 y 2 – 6 y + 9 = (y – 3)2 3 n 2 + 6 n + 1 = (3 n + 1)2 z 4 – z 2 = (z 2 + z) · (z 2 – z) x 4 – 9 x 2 = (x 2 + 3 x) · (x 2 – 3 x)

Biderkadura nabarmak amaitu eta gero, adierazpen batetik Biderkagai komuna ateratzen biderkagai (edo faktore jakiteakkomunak zatiki aljebraikoak komunak) nola ateratzen diren sinplifikatzeko balioko digu. ikusiko dugu.

BIDERKAGAI KOMUNA ATERATZEA

Nola atera biderkagai komuna Batuketa bat osatzen duten batugai guztiek biderkagai komun bat badute, biderkagai komuna atera daiteke adierazpen horretatik. Adierazpen berrian, batuketa zena biderkaketa bihurtuko dugu. Biderkagai komuna biderkagaietako bat izango da. Bigarren biderkagaia, aldiz, parentesi artean adierazitako batuketa.

Honako adierazpen honetan ikusi daitekeen moduan, hiru Betiko moduan, adibide batugaietan a biderkagai batzuekin hobeto ulertuko komuna dago: dugu dena. a· b + a· c + a· d Beraz , biderkagai komuna : dugu: kanpora Beraz aterako a· b + a· c + a· d = a· (b + c + d)

Adibide gehiago: 3 x – 3 y + 3 z = 3· (x + y + z) = 3(x + y + z) 5 m + 5 = 5· (m + 1) = 5(m + 1) 3 b + 6 d + 9 e = 3 b + 3· 2· d + 3· 3· e = 3(b + 2 d + 3 e) Biderkagai komunak bilatzen Eta zer egin dezaket Biderkagai komuna agertu Biderkagai komunik saiatu beharko gara. biderkagai komunik ez da, ezta? ez. Atera dezagun zuzenean ikusteak, ez du Adibidez, koefizienteak badago? kanpora. esan nahi ez dagoenik. deskonposatuz.

Adibide gehiago: 3 x – 3 xy + 3 xz = 3 x· (1 – y + z) = 3 x(1 – y + z) 8 x 2 – 4 x = 2 x· 4 x – 1· 4 x = 4 x(2 x – 1) Koefizienteak deskonposatzeaz Zenbait adierazpenetan, gain, letrazko zatiak ere Biderkagai komun guztiak biderkagai komun bat baino deskonposatu beharko ditugu aterako ditugu. gehiago edukiko dugu zenbait kasutan. batugaietan.

Biderkagai komuna ateratzen jakiteak Ikusi dezagun parezatiki bat aljebraikoak sinplifikatzeko adibiderekin. balioko digu.

Biderkagai komuna ateratzen dugu zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko Adibide bat: Beste bat:

Zorionak! Heldu da momentua ikasitakoari buruzko Amaitu dugu gogoeta egin etagaia! erlaxatzeko!

AMAIERA