Odhad vnitn struktury ledovho msce z gravitanho potencilu

Odhad vnitřní struktury ledového měsíce z gravitačního potenciálu Vyjádření potenciálu ve tvaru rozvoje do harmonických funkcí Geoid = ekvipotenciální plocha odpovídající střednímu poloměru Výška geoidu (Brunsův teorém): h = V/g 0

Vztah variací potenciálu a hustotních anomálií

MARS Geoid Topografie

Geoid ZEMĚ Topografie

TITAN Topografie Geoid do stupně 4 Iess et al. , Science 2009 podle Zebker et al. , Science 2010

Výpočet složek tenzoru setrvačnosti z koeficientů stupně 2 rozvoje gravitačního potenciálu Gravitační potenciál ve tvaru řady: Složky tenzoru setrvačnosti

Kartézské souřadnice z θ φ y x Přidružené Legendreovy funkce na stupni 2

Vyjádření Legendreových funkcí v kartézských souřadnicích kde jsme použili

Výrazy pro Legendreovy funkce dosadíme do vztahu pro C 20, C 21, C 22, S 21, S 22 a srovnáme se vztahy pro složky tenzoru setrvačnosti, Složky tenzoru setrvačnost Ixy, Ixz a Iyz jsou zcela určeny koeficienty S 22, C 21 a S 21. Pro složky Ixx, Iyy a Izz však máme pouze dvě rovnice (C 20, C 22) a nejsme schopni je tedy jednoznačně určit.

Abychom mohli říci něco o tom, nakolik je těleso diferencované, musíme znát stopu tenzoru setrvačnosti, tj. Chybějící podmínku potřebnou pro určení všech tří stopových složek nám poskytuje Darwinova-Radauova rovnice, která propojuje geometrické zploštění a složku tenzoru setrvačnosti Izz. Tato rovnice však platí pouze pro těleso v hydrostatické rovnováze mající tvar rotačního elipsoidu. Darwinova-Radauova rovnice a … rovníkový poloměr, ε … geometrické zploštění, q … geodynamická konstanta

Jiné formy Darwin-Radauovy rovnice: Zaveďme faktor setrvačnosti (inertia factor) Tvar D. -R. rovnice pro poměr dynamického a geometrického zploštění: D. -R. rovnice je speciální případ obecné rovnice pro těleso v hydrostatické Rovnováze ve tvaru trojosého elipsoidu. Podrobněji viz např. Murray-Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge Univ. Press, 1999.

homogenní koule 0. 4 Země C 20/e ≡ J 2/e limita pro Ixx/Iyy → 0 Jupiter Neptun Saturn, Uran Darwin-Radau (Ixx/Iyy → 1) 0 Izz /Ma 2 0. 4

homogenní koule 0. 4 Titan Enceladus Země C 20/e ≡ J 2/e limita pro Ixx/Iyy → 0 Jupiter Neptun Saturn, Uran Darwin-Radau (Ixx/Iyy → 1) 0 Izz /Ma 2 0. 4

homogenní koule 0. 4 Titan Enceladus Země C 20/e ≡ J 2/e limita pro Ixx/Iyy → 0 Jupiter Jsou malá tělesa v hydrostatické rovnováze? Neptun Saturn, Uran Darwin-Radau (Ixx/Iyy → 1) 0 Izz /Ma 2 0. 4

homogenní koule 0. 4 Titan Enceladus Země C 20/e ≡ J 2/e limita pro Ixx/Iyy → 0 Jupiter Jsou malá tělesa v hydrostatické rovnováze? Neptun Saturn, Uran Izostaticky kompenzová topografie Darwin-Radau (Ixx/Iyy → 1) Chyba v určení e 0 Izz /Ma 2 0. 4

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu Relaxace kráterů: t→∞

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu Relaxace kráterů: t→∞ • předpokládá se maxwellovská visko-elastická nebo visko-elasto-plastická reologie

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu Relaxace kráterů: t→∞ • předpokládá se maxwellovská visko-elastická nebo visko-elasto-plastická reologie • řešení závisí na viskozitě prostředí, a tedy na teplotě v minulosti • hloubková citlivost je dána průměrem kráteru Problémy: • neznáme stáří kráterů • původní tvar kráteru nejistý (malé krátery h: d = 1: 5, velké krátery ? ) • tvar kráteru závisí na hustotě a vlastnostech materiálu, gravitačním zrychhlení aj. • reologický popis • planární vs. sférická geometrie

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu Relaxace kráterů: t→∞ • předpokládá se maxwellovská visko-elastická nebo visko-elasto-plastická reologie • řešení závisí na viskozitě prostředí, a tedy na teplotě v minulosti • hloubková citlivost je dána průměrem kráteru Problémy: • neznáme stáří kráterů • původní tvar kráteru nejistý (malé krátery h: d = 1: 5, velké krátery ? ) • tvar kráteru závisí na hustotě a vlastnostech materiálu, gravitačním zrychhlení aj. • reologický popis • planární vs. sférická geometrie jedná se spíše o relativní ukazatel

Krátery – indikátor teplotního vývoje nitra měsíce a stáří povrchu Potřebujeme znát: 1) hustotu kráterů (počet kráterů s průměrem větším než d na km 2) 2) cratering chronology, tj. funkci, která specifikuje počet kráterů na povrchu jako funkci času (stáří) • Neukum lunar chronology (Marchi et al. , Astron. J. , 2009) • • cometary chronology Nice model Stáří povrchu některým měsíců podle Neukumova modelu (Neukum et al. , 2006): Iapetus Dione Tethys Enceladus Mimas Rhea 4. 2 - 4. 4 Gyr 3. 8 (Evander) - 4. 2 Gyr 3. 8 (Odysseus) - 4. 1 Gyr 4 Myr (Tiger stripes) – 4. 1 Gyr Kometární chronologie (d ≥ 5 km) (Zahnle et al. , 2003) 2 -2. 6 Gyr (B) – 4. 56 (A) 1. 66 (B) – 4. 66 (A) 0. 75 (B) 3. 05 (B) – 4. 39 (A) – 4. 56 (A)

Statistiky kráterů Relative plot (R-plot) Dones et al. , In Saturm from Cassini, Springer 2009 Počet kráterů d > 300 km Mimas (396 km) Tethys (1066 km) Dione (1123 km) Rhea (1529 km) Iapetus (1471 km) 0 2 2 3 5 Predikce (Zahnle et al. , 2003) 0. 42 0. 69 0. 45 0. 41 0. 02 Počet kráterů d > 100 km 1 8 10 13 18

Dones et al. , In Saturm from Cassini, Springer 2009