Od preferencija do funkcije korisnosti Individualno odluivanje U

Od preferencija do funkcije korisnosti

Individualno odlučivanje U apstraktnom okruženju promatra se individualni donosioc odluka i njegov/njezin problem izbora Mi ćemo početi sa analizom izbora POTROŠAČA

Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača Glavne teme: Opis košare dobara koju potrošač bira u određenim uvjetima. Kako će se optimalni izbor mijenjati kada se mijenja skup mogućih izbora (ograničenja)? Potrebna je funkcija potražnje

Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača U analizi ponašanja potrošača dva pristupa: 1. Klasični - Polazi od preferencija (preference-based approach) 2. Polazi od ostvarenih izbora potrošača (choice-based approach)

Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača Osnovna struktura teorije potrošačevog izbora temelji se na četiri konceptualno različita pojma: Skup mogućih (međusobno isključivih) izbora Skup dostupnih izbora Relacija preferencije ≿ Pretpostavka ponašanja

Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača U teoriji ponašanja potrošača skup mogućih izbora nazivat ćemo skupom moguće ili zamislive potrošnje X Skup dostupnih izbora nazivat ćemo skupom dostupne potrošnje ili budžetskim skupom B

Teorija ponašanja potrošača Potrošačev problem: izbor kombinacije proizvoda i usluga (dobara) iz skupa moguće potrošnje U modelu pretpostavljamo da je broj dobara konačan i jednak L (l = 1, 2, . . , L)

Teorija ponašanja potrošača Kombinaciju (košaru) dobara prikazat ćemo kao vektor dobara

Teorija ponašanja potrošača Vektor dobara prikazuje razinu potrošnje individualnog potrošača Svaki element l prikazuje količinu dobra l Zato ovaj vektor nazivamo i vektor potrošnje Vektor potrošnje je točka u skupu moguće potrošnje X odnosno u potprostoru dobara

Teorija ponašanja potrošača Kako bi uvažili fizička ograničenja (npr. nemogućnost negativnih količina dobara) prostor dobara promatrat ćemo kao cijeli nenegativni ortant (L je konačni broj!) Skup mogućih potrošnji X je podskup prostora dobara X ⊆

Teorija ponašanja potrošača Mi pretpostavljamo da je skup mogućih potrošnji jednak skupu svih nenegativnih košara dobara, ili

Teorija ponašanja potrošača Njegovi elementi su vektori potrošnji (košare dobara koje potrošač može potrošiti uz data fizička ili institucionalna ograničenja)

Svojstva skupa mogućih potrošnji (skup X nije prazan) skup X je zatvoren skup X je konveksan (skup X sadrži 0)

Pojašnjenje svojstva zatvorenosti skupa Skup je zatvoren ako sadrži sve točke ruba Skup mogućih potrošnji je konačan (sastoji se od L dobara, L je konačni broj)

Pojašnjenje svojstva konveksnosti skupa Ako su vektori x i x’ (dvije košare ili kombinacije dobara) elementi skupa X, tada je i njihova konveksna kombinacija x’’ = αx + (1 -α)x’ također element od X za svaki α ∊ [0, 1]

Budžetski skup Pored fizičkih i institucionalnih ograničenja, potrošač se suočava i sa ekonomskim ograničenjima Ekonomska ograničenja određuju koje kombinacije dobara su potrošaču dostupne

Budžetski skup Svako od L dobara na tržištu prodaje se po određenoj cijeni Cijene prikazuje vektor cijena

Budžetski skup Za vektor cijena pretpostavljamo Dakle,

Budžetski skup Ključna pretpostavka potpune konkurencije: potrošači nemaju utjecaja na cijene Dostupnost određene košare dobara ovisi o: Tržišnim cijenama p (vektor!) Potrošačevom bogatstvu (dohotku) w

Budžetski skup Košara dobara (vektor potrošnje) je dostupna ako njen ukupni trošak nije veći od razine potrošačevog bogatstva (dohotka), ili

Budžetski skup Skup svih košara dobara (vektora potrošnje) koje su potrošaču dostupne uz date tržišne cijene p i dohodak w naziva se konkurentski (walrasovski) budžetski skup

Potrošačev problem Problem potrošačevog izbora svodi se na problem odabira košare dobara x iz Pretpostavlja se da je w > 0 jer bi inače potrošač mogao odabrati samo x=0

Budžetsko ograničenje Skup naziva se budžetska hiperravnina Kada je L = 2, tada je ograničenje budžetski pravac Ovo ograničenje određuje gornji rub budžetskog skupa

Budžetsko ograničenje U slučaju L = 2, nagib budžetskog pravca definira odnos zamjenjivosti između dva dobra u slučaju promjena njihovih cijena i nepromjenjivosti dohotka Nagib budžetskog pravca =

Budžetsko ograničenje Odnos zamjenjivosti između dobara u slučaju budžetske hiperravnine izvodi se iz geometrijskog odnosa nje i vektora cijena Vektor cijena ortogonalan je (okomit) na svaki vektor dobara koji počinje u i leži u budžetskoj hiperravnini Posljedica ovoga je što je

Budžetsko ograničenje Slika 1: Ortogonalnost vektora cijena u L = 2 x 0 p x Bp, w 0 x 1

Budžetska hiperravnina T

Budžetski skup • Što je sa x “ispod” T? Slika 2: x 2 p x 0 Bp, w 0 x 1

Budžetski skup-pojašnjenje slike Kut koji zatvaraju vektor cijena p i

Budžetski skup-pojašnjenje slike Skup “ispod” T je:

Budžetski skup Kao i skup mogućih potrošnji budžetski skup je konveksan

Budžetski skup Konveksnost budžetskog skupa direktna je posljedica konveksnosti skupa moguće potrošnje (dokažite!)

Problem potrošačevog izbora Glavni objekt istraživanja: Potrošačev izbor optimalne košare dobara Za to nam je potrebna: Funkcija potražnje

Problem potrošačevog izbora Funkcija potražnje specificira za svaki budžetski skup koje košare dobara će potrošač izabrati za svaku od cijena i uz dati dohodak Promjene u ponašanju nastaju uslijed promjena u ograničenjima (dohodak, cijene)

Teorija ponašanja potrošača Izbori (x, endogene varijable) tako postaju funkcije ograničenja (p, w; parametri) Komparativna statika: kako endogene varijable ovise o parametrima?

Problem potrošačevog izbora Pretpostavljamo da u sustavu ima L roba čije cijene potrošač uzima kao date i na koje ne može utjecati Potrošačev problem izbora u klasičnom pristupu svodi se na problem maksimizacije KORISNOSTI unutar ograničenja koja definiraju Walrasovski budžetski skup Dakle, treba nam funkcija korisnosti!

Teorija ponašanja potrošača Funkcija korisnosti u (x) pridružuje broj svakoj košari dobara tako da bolje košare dobivaju veći broj (brojevi su sasvim proizvoljni) Da li takva funkcija postoji? Da bismo to ispitali krenut ćemo od potrošačevih preferencija.

Preferencije potrošača Preferencije daju informacije o ukusima potrošača i dobro su definirane i stabilne Shvaćamo ih kao sposobnost pojedinca da po poželjnosti rangira košare dobara

Preferencije potrošača Preferencije prikazujemo kao binarne relacije “ ≿ “koje su definirane na skupu moguće potrošnje X Ako je ≿ odnosno ako je ≿ kažemo da je barem jednako tako dobar kao

Preferencije potrošača Od potrošača se, dakle, traži samo da radi binarne usporedbe to jest da istovremeno uspoređuje i odlučuje između samo dva dobra ili košare dobara Da bismo mogli izgraditi teoriju, to jest doći do funkcije korisnosti , preferencijama moramo dati određenu strukturu/svojstva

Preferencije potrošača Dakle, postavlja se pitanje kakva ograničenja moramo staviti na binarne izbore da bi mogli biti sigurni da funkcija korisnosti postoji, to jest da vrijedi ≿

Preferencije potrošača Preferencije se karakteriziraju aksiomatski (uzima se najmanji broj pretpostavki koje će opisati strukturu i svojstva preferencija) Osnovno svojstvo: RACIONALNOST (potrošač može i zna birati, izbori su razumni i konzistentni).

Preferencije potrošača (Aksiomi potrošačevog izbora) Pretpostavka 1: Potpunost (uređenost) Za svaki ili u X vrijedi ili ≿ ≿ Dakle, potrošač MOŽE rangirati SVE kombinacije košara dobara iz svog skupa mogućih potrošnji

Preferencije potrošača Pretpostavka 2: Refleksivnost Za sve , ≿ Dakle, ova pretpostavka zatijeva samo najslabiju formu logičkog ponašanja

Preferencije potrošača Pretpostavka 3: Tranzitivnost Za svaka tri elementa ako je ≿ i ≿ onda vrijedi i ≿ Dakle, ova pretpostavka zatijeva da potrošačevi izbori budu konzistentni.

Preferencije potrošača Najčešće se za opis racionalnosti preferencija koriste pretpostavke 1 i 3 (potpunost i tranzitivnost) Racionalnost znači da se preferencije mogu predstaviti relacijom preferencije ≿

Preferencije potrošača Binarna relacija " ≿ " na skupu X naziva se relacija (blage) preferencije ako zadovoljava pretpostavke 1 -3. Definirat ćemo i dvije dodatne relacije određene relacijom blage preferencije: Relacija stroge preferencije " Relacija indiferencije " " "

Preferencije potrošača Relacija stroge preferencije ≿ Relacija indiferencije ali ne i ≿ ≿ i ≿ Obje su tranzitivne, ni jedna nije potpuna i samo je relacija indiferencije refleksivna

Preferencije potrošača Posljedica Pretpostavki 1 -3: uspostavlja se uredna hijerarhija od najpoželjnije varijante do najmanje poželjne (usput su moguće neke indiferencije) Kažemo da je relacija blage preferencije racionalna ako su preferencije potpune i tranzitivne (racionalnost = konzistentnost).

Preferencije potrošača Da bi se na bazi ovakvih preferencija mogla izvesti funkcija korisnosti potrebna je još jedna pretpostavka – ona o neprekidnosti preferencija.

Preferencije potrošača Pretpostavka 4: Neprekidnost Matematički uvjet da bi preferencije mogle biti predstavljene funkcijom korisnosti Ova pretpostavka stavlja odredjenu topološku regularnost na preferencije

Preferencije potrošača Relacija preferencije ≿ je neprekidna ako se čuva limesom. To znači da za svaki niz parova pri ≿ za sve n, vrijedi da je x ≿ y.

Preferencije potrošača To znači da preferencije ne mogu imati skokove ili preokrete u točkama u kojima dosegnu limes. Preferencije koje nisu neprekidne: leksikografske preferencije

Preferencije potrošača Primjer preferencija koje nisu neprekidne: Uzmimo nizove parova Za svaki n, ali tada y > x, dakle, dolazi do preokreta u preferencijama (nisu neprekidne).

Preferencije potrošača Pretpostavka neprekidnosti osigurava postojanje topološki poželjnih blago superiornih (“barem tako dobrih”) i blago inferiornih (“najmanje jednako tako dobrih”) nivo skupova

Preferencije potrošača Ako su date relacija preferencije ≿ i košara dobara u skupu mogućih potrošnji, tada možemo definirati tri povezana skupa košara dobara: Skup indiferencije Gornji nivo skup Donji nivo skup Za svaki vektor x, ova tri skupa čine particiju skupa mogućih potrošnji

Preferencije potrošača Skup indiferencije koji sadrži vektor x, skup je svih košara dobara prema kojima je potrošač indiferentan u odnosu na taj x, ili U slučaju L = 2, to je krivulja indiferencije.

Preferencije potrošača Gornji nivo skup za x je skup svih košara dobara koje su NAJMANJE jednako tako dobre kao x, ili

Preferencije potrošača Donji nivo skup za x je skup svih košara dobara koje su NAJVIŠE jednako tako dobre kao x, ili

Preferencije potrošača Pretpostavke koje opisuju ukuse potrošača reći će nam nešto više o obliku i položaju skupa indiferencije te gornjeg i donjeg nivo skupa

P a u z a

Preferencije potrošača

Preferencije potrošača Ako je relacija preferencije ≿ monotona, može se pojaviti odnos indiferencije u odnosu na porast količine nekog ali ne svih proizvoda. Stroga monotonost kaže da ako je y veći od x za neke proizvode a nije manji za neke druge, y se strogo preferira u odnosu na x.

Preferencije potrošača Važna je implikacija pretpostavke monotonosti da ona isključuje mogućnost da, za poželjna dobra, krivulja indiferencije ima pozitivni nagib (zavija unatrag) Ako se to desi, radi se o nepoželjnom dobru kojeg potrošač želi imati manje (npr. zagađenost, duhanski dim)

Preferencije potrošača Pretpostavka 5’: Lokalna nezasićenost Blaže svojstvo od monotonosti Pretpostavlja da potrošač nikada ne dosiže stanje potpune zasićenosti tako da za svaki izbor uvijek postoji alternativni izbor koji potrošač preferira

Preferencije potrošača Relacija preferencije ≿ na X je lokalno nezasićena ako za svaki i svaki tako da je postoji

Preferencije potrošača Slika 3: Lokalna nezasićenost x 2 y x ε x 1

Preferencije potrošača Važna implikacija pretpostavke lokalne nezasićenosti je da ona isključuje mogućnost postojanja “gustih” skupova indiferencije

Preferencije potrošača Slika 4: (a) ”Gusti” skup indiferencije x 2 x x 1

Preferencije potrošača Slika 5: (b) Preferencije koje zadovoljavaju pretpostavku lokalne nezasićenosti x 2 x x 1

Preferencije potrošača Pretpostavka 6: Konveksnost Tiče se odnosa koje je potrošač voljan uspostaviti između različitih dobara Relacija preferencije ≿ na X je konveksna ako je za svaki gornji nivo skup konveksan, to jest ako je y ≿ x i z ≿ x, tada je ≿ x za svaki

Preferencije potrošača Konveksnost preferencija je jaka ali važna pretpostavka u ekonomiji Može se interpretirati kao opadajuća granična stopa supstitucije Potrošač preferira kombinaciju dobara u odnosu na specijalizaciju u potrošnji (tendencija ka uravnoteženoj potrošnji)

Preferencije potrošača Relacija preferencije ≿ na X je strogo konveksna ako za svaki x, y ≿ x, z ≿ x, i vrijedi za sve

Preferencije potrošača Slika 6: (a) (strogo) konveksne peferencije x 2 y x z x 1

Preferencije potrošača Slika 7: (b) preferencije koje nisu konveksne x 2 y x z x 1

Preferencije potrošača Dakle, pretpostavke potpunosti, refleksivnosti i tranzitivnosti osiguravaju da su preferencije racionalne; zajedno sa njima pretpostavka neprekidnosti neophodna je za kostrukciju funkcije korisnosti. Pretpostavke o nezasićenosti (monotonosti) i težnje ka uravnoteženoj potrošnji (konveksnost) kazuju više o ukusima potrošača

Preferencije potrošača U ekonometrijskim aplikacijama često su zanimljive situacije u kojima je na bazi jednog skupa indiferencije moguće izvesti cijelu relaciju preferencije Homotetične preferencije Kvazilinearne preferencije

Preferencije potrošača Monotona relacija preferencije ≿ na je homotetična ako krivulje indiferencije ekspandiraju proporcionalno po zrakama iz ishodišta To znači da ako je tada je i za svaki

Preferencije potrošača Slika 8: Homotetične preferencije x 2 2 x 2 y x 1

Preferencije potrošača Relacija preferencije ≿ je kvazilinearna u odnosu na dobro 1 ako su krivulje indiferencije paralelne (dobro 1 je poželjno)

Preferencije potrošača Slika 9: Kvazilinearne preferencije x 2 x 1

Funkcija korisnosti Objedinjuje iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿ Ponekad je lakše raditi sa ≿ i sa pripadajućim skupovima Ponekad je prikladnija funkcija korisnosti (naročito kada se želi koristiti diferencijalni račun)

Funkcija korisnosti U suvremenoj teoriji smatra se da je ≿ fundamentalniji način karakterizacije potrošačevih preferencija U osnovi izvođenja funkcije korisnosti pretpostavlja se da potrošač košari dobara koju preferira u odnosu na neku drugu košaru dodjeljuje veći broj

Funkcija korisnosti Dakle, preferencije se mogu predstaviti pomoću relacije preferencije, kategorijom iz teorije skupova i Pomoću numeričke reprezentacije (neprekidne funkcije korisnosti)

Funkcija korisnosti Definicija: Realna funkcija se naziva funkcijom korisnosti koja predstavlja relaciju preferencije ≿ ako za sve Ova funkcija postoji i neprekidna je ako su zadovoljene pretpostavke 1 -3 i ≿ je neprekidna.

Funkcija korisnosti Ove pretpostavke svode se na zahtjev da je potrošač u stanju uspoređivati dvije košare dobara i da je u tome konzistentan te da skupovi rješenja posjeduju određenu topološku strukturu Napomena: reprezentabilnost (preferencija) ne ovisi o potrošačevim ukusima, konveksnosti pa čak ni o monotonosti

Funkcija korisnosti Teorem o egzistenciji funkcije korisnosti tvrdi da u slučaju kada su zadovoljene navedene pretpostavke, postoji barem jedna funkcija korisnosti koja predstavlja potrošačeve preferencije (dokaz u knjizi) Drugim riječima, svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna da se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti

Funkcija korisnosti Funkcija korisnosti mjeri razinu zadovoljstva povezanu sa određenom košarom dobara (sasvim proizvoljni brojevi) Ipak, ovi brojevi nisu važni Važni su: nivo skupovi (skupovi indiferencije), njihov oblik i položaj a ne brojevi koji su im pridruženi!

Funkcija korisnosti Svojstvo funkcije korisnosti koje je određeno oblikom i položajem njenih nivo skupova = ORDINALNO svojstvo Svojstvo funkcije korisnosti koje ovisi o broju kojeg ona dodjeljuje određenim nivo skupovima = KARDINALNO svojstvo

Funkcija korisnosti Kada radimo sa funkcijama korisnosti, zanimaju nas nivo skupovi Dvije funkcije su ekvivalentne ako imaju iste nivo skupove bez obzira na različite brojeve koje im dodjeljuju

Funkcija korisnosti Na primjer, Neka je funkcija u(x, y) funkcija korisnosti u Neka je v(x, y) = u(x, y) + 1 Ove dvije funkcije imaju iste nivo skupove (krivulje indiferencije) samo im u pridružuje vrijednost za 1 manju nego v Obje funkcije predstavljaju iste preferencije, dakle, ekvivalentne su

Funkcija korisnosti Istu bi situaciju imali kada bi na funkciju korisnosti djelovali sa nekom drugom funkcijom, npr. 3 z + 2, ili 3 xy + 2, bile bi vrijednosti pozitivno transformirane funkcije korisnosti u(x, y) Numeričke vrijednosti ovih funkcija su različite ali one pridružuju košarama brojeve na isti način kao i u.

Funkcija korisnosti Što je monotona transformacija? Neka je ≿ relacija preferencije na X i neka je u(x) funkcija korisnosti koja ju predstavlja. Funkcija v(x) će isto predstavljati ovu relaciju preferencije ako i samo ako v(x) = f(u(x)) za svaki x pri čemu je funkcija f strogo rastuća na skupu vrijednosti koje poprima u.

Funkcija korisnosti Bitno je napomenuti da monotona transformacije treba biti pozitivna, to jest da je funkcija korisnosti jedinstvena ili invarijantna do na pozitivnu monotonu transformaciju Ovakve transformacije čuvaju isto rangiranje preferencija iako daju različite numeričke vrijednosti

Funkcija korisnosti Dakle, ordinalna su ona svojstva funkcije koja ima i njena pozitivna monotona transformacija Kardinalna svojstva se ne čuvaju pri monotonim transformacijama Ova razlika bitna je kod funkcija korisnosti Kod proizvodnih funkcija važna je i apsolutna razina proizvodnje

Funkcija korisnosti Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti Monotonost preferencija znači da je funkcija korisnosti rastuća Konveksnost preferencija znači da je funkcija korisnosti kvazikonkavna

Funkcija korisnosti Svojstva da je funkcija korisnosti rastuća i kvazikonkavna su ordinalna svojstva koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija

Funkcija korisnosti Zaključak: Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿ Ona je praktičan način da se prikažu potrošačeve preferencije

Funkcija korisnosti Ako se ukusi potrošača opisuju direktno putem preferencija primjerena analitička metoda: teorija skupova Ako putem funkcije korisnosti: diferencijalni račun

Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje