Obwody elektryczne 201819 Kontakt Dr in Marek Ossowski

Obwody elektryczne 2018/19

Kontakt: • • Dr inż. Marek Ossowski marek. ossowski@p. lodz. pl Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al. Politechniki 11 pok. 14 Ip (C 3) Tel. (42) 6312515 Tel 501673231 tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE 1 2015 2

Program wykładów • • Obwody elektryczne -wstęp Prawa Kirchhoffa Twierdzenie Tellegena Elementy obwodów • Oporniki liniowe – Łączenie oporników – Rezystywność i konduktywność • Oporniki nieliniowe – Charakterystyki wypadkowe połączeń • Źródła niezależne idealne i rzeczywiste • Źródła sterowane OE 1 2015 3

Program wykładów (cd) • • • Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważne Metoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawy analizy obwodów AC OE 1 2015 4

Literatura • Teoria Obwodów cz. I – M. Tadeusiewicz • Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M. Tadeusiewicza OE 1 2015 5

Zaliczenie przedmiotu • Obecność na wszystkich zajęciach • Zaliczenie egzaminu pisemnego • Forma: – Krótkie pytania (możliwość testu) – Pytania problemowe – Proste zadania obliczeniowe OE 1 2015 6

POJĘCIA PODSTAWOWE • Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny • Obwód elektryczny połączone przewodami urządzenia elektryczne • Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) • Modele przybliżony opis fizycznych urządzeń • To samo urządzenie może mieć różne modele OE 1 2015 7

Kierunki odniesienia: • Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. • Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) • Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE 1 2015 8

Kierunki odniesienia (interpretacja) OE 1 2015 9

OBWÓD PRZYKŁADOWY OE 1 2015 10

POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) • WĘZEŁ miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. • GAŁĄŹ odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) • ŚCIEŻKA ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym • PĘTLA zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) • omin topologie OE 1 2015 11

Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : • algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero Liczba gałęzi i-tej pętli OE 1 2015 12

OBWÓD PRZYKŁADOWY OE 1 2015 13

Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) - uogólnienie • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : • algebraiczna suma napięć międzywęzłowych wzdłuż dowolnego zamkniętego ciągu węzłów wynosi zero OE 1 2015 14

u 1 1 u 2 3 2 u 6 6 u 25 u 4 5 Sekwencja (ciąg) węzłów 1 -2 -5 -6 NPK: -u 1 -u 25+u 6 u 3 4

Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności prądów, w dowolnej chwili • algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero Liczba gałęzi zbiegających się w itym węźle OE 1 2015 16

OBWÓD PRZYKŁADOWY OE 1 2015 17

Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Liczba gałęzi przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE 1 2015 18

PRZYKŁAD: OE 1 2015 19

Zasady pisania równań Kirchhoffa • Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: q n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) q b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) q Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: OE 1 2015 20

Elementy obwodów • Oporniki – liniowe – nieliniowe • Źródła niezależne – napięciowe – prądowe • Źródła sterowane (zależne) OE 1 2015 21

Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych, np. prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE 1 2015 22

Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: Jednostka napięcia Jednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): Jednostka mocy: Jednostka energii: OE 1 2015 23

Będziemy rozważać elementy SLS: • skupione (S) • liniowe (L) • stacjonarne (S) OE 1 2015 24

Moc i energia i u Moc chwilowa Energia Związek między mocą i energią: OE 1 2015 25

Opornik liniowy • Równania • Symbole • Jednostki • Charakterystyka prądowo-napięciowa OE 1 2015 26

Opornik liniowy • Obliczanie rezystancji Długość przewodu konduktywność przewodność pole powierzchni poprzecznej przewodu rezystywność oporność właściwa OE 1 2015 27

Rezystywność i konduktywność przewodników Materiał Rezstywność m mm 2/m Konduktywność S/m m/( mm 2) SREBRO 1. 62 10 -8 0. 0162 62. 5 106 62. 5 MIEDŹ 1. 75 10 -8 0. 0175 57 106 57 ALUMINIUM 2. 83 10 -8 0. 0283 35. 3 106 35. 3 12 10 -8 0. 12 8. 33 106 8. 33 11. 1 10 -8 0. 111 9 106 9 MANGANIN 44 10 -8 0. 44 2. 3 106 2. 3 KONSTANTAN 48 10 -8 0. 48 2. 1 106 2. 1 1. 1 0. 91 106 0. 91 0. 63 15. 9 106 15. 9 CYNA PLATYNA CHROMONIKIELINA 110 10 -8 CYNK 6. 3 10 -8 OE 1 2015 28

Parametry rezystorów • Rezystancja znamionowa wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0, 1 – 20 %) • Moc znamionowa największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. • Napięcie znamionowe największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE 1 2015 29

Rodzaje rezystorów OE 1 2015 30

Rezystory (cd) • Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym • Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną • Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE 1 2015 31

Przykład: 4 K 7 4700 (węglowy) Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # • • PASEK 1: żółty 4. . . 4 PASEK 2: fiolet 7. . . . 7 PASEK 3: czerwony 2. . . . 00 PASEK 4: złoty 5%(tol. ) 4700 Pasek 3, mnożnik (ile zer? ) Pasek 4, tolerancja w % OE 1 2015 32

Przykład kodu wartości n n 1 -szy pasek: pomarańczowy = 3 2 -gi pasek: pomarańczowy = 3 3 -i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4 -ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3. 3 k OE 1 2015 33

Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna Proporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie OE 1 2015 34

Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna Proporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie OE 1 2015 35

Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i (- ; + ) nazywamy uzależnionym prądowo. • Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u (- ; + ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE 1 2015 36

Oporniki nieliniowe nieuzależnione • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i (- ; + ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u (- ; + ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE 1 2015 37

Charakterystyki elementów nieliniowych: OE 1 2015 38

Cewka i indukcyjność gdy L u Strumień magnetyczny przenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez OE 1 2015 początek układu współrzędnych. i 39

L - indukcyjność cewki Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: OE 1 2015 40

Kondensator i C pojemność u gdy Ładunek elektryczny na okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez u OE 1 2015 41

C - pojemność kondensatora OE 1 2015 42

Elementy pasywne i aktywne obwodów Element pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu pasywny aktywny OE 1 2015 43

Źródła napięciowe • Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. • Symbole: OE 1 2015 44

Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki OE 1 2015 45

Rzeczywiste źródło napięciowe Symbole: OE 1 2015 46

Stany pracy źródła napięciowego obciążenie Obciążenie: OE 1 2015 47

Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego) Stan jałowy Stan zwarcia OE 1 2015 48

Stany pracy źródła napięciowego (cd) Stan jałowy(rozwarcie) Zwarcie OE 1 2015 49

Dopasowanie odbiornika do źródła Prąd w obwodzie: Moc odbiornika: OE 1 2015 50

Dopasowanie odbiornika do źródła (cd) Warunek dopasowania odbiornika do źródła OE 1 2015 51

Przykładowy wykres mocy odbiornika: OE 1 2015 52

Sprawność ukladu odbiornik źródło 0. 5 dopasowanie OE 1 2015 53

Źródła prądowe • Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. • Symbole: • oznaczenia DC: OE 1 2015 54

Źródła prądowe (idealne): charakterystyki OE 1 2015 55

Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny) i OE 1 2015 56

Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia) OE 1 2015 57

Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie) i obciążenie OE 1 2015 58

Charakterystyka u-i źródła prądowego Stan zwarcia Stan jałowy OE 1 2015 59

Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane prądem Prąd sterujący Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 60

Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane napięciem napięcie sterujące Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 61

Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane prądem Prąd sterujący Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 62

Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane napięciem napięcie sterujące Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 63

Wzmacniacz operacyjny OE 1 2015 64

Wzmacniacz operacyjny OE 1 2015 65

OE 1 2015 66

OE 1 2015 67

Przykład 1 OE 1 2015 68

Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń działających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przyrównaniu pozostałych do zera). OE 1 2015 69

Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej czyli rozwarciu jego zacisków: OE 1 2015 70

Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: OE 1 2015 71

Przykład 1 (ogólny) OE 1 2015 72

i = i’ + i” OE 1 2015 73

OE 1 2015 74

Przykład: Stosując metodę superpozycji oblicz wartości prądów i napięć zaznaczone na rysunku. OE 1 2015 75

Rozwiązanie • Obwód z działającym źródłem prądowym

Rozwiązanie • Obwód z działającym źródłem napięciowym

Rozwiązanie na podstawie wzoru 79

Obliczanie prostych obwodów • Połączenie szeregowe oporników liniowych • Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Połączenie równoległe oporników liniowych. • Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Dzielnik prądu • Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem • Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE 1 2015 80

Połączenie szeregowe oporników liniowych OE 1 2015 81

Połączenie szeregowe oporników nieliniowych • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE 1 2015 82

Charakterystyki u-i oporników 5 1 -4 3 -1 OE 1 2015 83

Dodawanie napięć (punkt i=-1) 5 -5 Dla i=-1 -4 1 3 -1 OE 1 2015 84

Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2) 5 2 1 3 -1 OE 1 2015 85

Charakterystyka wypadkowa 5 2 1 3 -1 3 OE 1 2015 86

Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE 1 2015 87

Połączenie równoległe oporników liniowych OE 1 2015 88

Połączenie równoległe oporników nieliniowych • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. OE 1 2015 89

Połączenie równoległe oporników nieliniowych: OE 1 2015 90

Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE 1 2015 91

Dzielnik prądu • Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE 1 2015 92

Dzielnik napięcia OE 1 2015 93

Potencjometr 1 1 3 R 2 2 OE 1 2015 94

1 3 R 2 OE 1 2015 95

OE 1 2015 96

Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPK Liczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: OE 1 2015 97

Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ? • Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych • Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu • Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: – Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli – Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną – Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 – UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi OE 1 2015 wewnętrznych) 98

n-1 (4) równań na podstawie PPK: 1 2 4 3 OE 1 2015 99

Równania napięciowe, pierwsza pętla: 1 OE 1 2015 100

Równania napięciowe, druga pętla: Nowe gałęzie: 3, 5 2 OE 1 2015 101

Równania napięciowe, pętla trzecia: Nowe gałęzie: 6, 8 3 OE 1 2015 102

Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia: Nowa gałąź: 7 4 OE 1 2015 103

Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem • Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R 2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. (Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. ) OE 1 2015 104

1 2 3 OE 1 2015 105

+ + OE 1 2015 106

OE 1 2015 107

Układy równoważne (definicja) OE 1 2015 108

• Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam. Opis obwodu P Opis obwodu Q OE 1 2015 109

Przykład 1 OE 1 2015 110

Dzielnik prądu • Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE 1 2015 111

Zamiana GWIAZDA-TRÓJKĄT 1 i 1 R 2 R 3 u 1 3 i 2 2 u 2 1 j 1 R 12 j 2 2 R 31 R 23 V 1 V 2 3

1 i 1 R 2 i 2 2 i 1+i 2 R 1 R 3 u 1 u 2 3 Są to równania (*)

1 j 1 R 12 R 31 V 1 3 j 2 R 23 V 2 2 Są to równania (**)

Z definicji równoważności układów wynika równość odpowiednich współczynników w równaniach (*) i (**). Z porównań wynikają następujące wzory >>

Gdy R 12=R 23=R 34 =RΔ RY =1/3 RΔ

Gdy R 1=R 2=R 3 =RY RΔ =3 RY

Równania dla Tworzymy sumę iloczynów: I dzielimy stronami przez równania

Przykład: i 1 u i 2 i 3 R 1 R 2 R 3 A Dane: u. AC R 4 C i 4 R 6 R 5 B Celem jest obliczenie prądu w jednej z gałęzi trójkąta, np. prądu i 4 Aby obliczyć ten prąd musimy znaleźć u. AC Po zamianie Δ Y nie możemy zgubić punktów AC

R 1 i 1 u A R 4 R 2 i 2 R 3 i 3 C R 6 R 5 R 46 R 65 B R 54 Obwód ma teraz postać: i 1 R 1 A R 46 i 2 u. AC R 2 C R 54 i 3 R 3 B R 65 O

i 1 u i 2 i 3 0

Twierdzenie Tellegena OE 1 2015 124

OE 1 2015 125

STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCE K-TE POTENCJAŁY OE 1 2015 126

Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: CZYLI: OE 1 2015 127

WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE 1 2015 128

WNIOSEK 1 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 2 2 3 OE 1 2015 3 129

WNIOSEK 2 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 2 2 3 OE 1 2015 3 130

Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem (cd) • Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena dla wcześniej uzyskanego rozwiązania, OE 1 2015 131

Weryfikacja Twierdzenia Tellegena OE 1 2015 132

Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE 1 2015 133

Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł

Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE 1 2015 135

Przenoszenie źródeł (1) OE 1 2015 136

Przenoszenie źródeł (2) OE 1 2015 137

OE 1 2015 138

Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu

Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE 1 2015 140

OE 1 2015 141

• Jeśli e = uk u. AC = 0 • Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE 1 2015 142

Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik: OE 1 2015 143

• Jeśli j = ik ik-j+j j • Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE 1 2015 144

Twierdzenie o kompensacji

Twierdzenie o komensacji • Umożliwia określenie związku pomiędzy zmianą odpowiedzi obwodu liniowego a zmianą jego parametrów

Rozpatrujemy obwód liniowy: OE 1 2015 147

OE 1 2015 148

Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym: OE 1 2015 149

Z SUPERPOZYCJI OE 1 2015 150

PONIEWAŻ OE 1 2015 151

• Obwód z ostatniego rysunku, w którym wymuszeniem jest źródło napięciowe i∆R, pozwala wyznaczyć zmianę odpowiedzi spowodowaną zmianą rezystancji R. • Jeżeli w gałęzi obwodu o rezystancji R płynie prąd i, to zmianę tego prądu ∆i spowodowaną zmianą rezystancji R o ∆R można wyznaczyć z obwodu, w którym jedynym wymuszeniem jest źródło i∆R.

Tw. o kompensacji

Twierdzenie Thevenina-Nortona

L M OE 1 2015 155

OE 1 2015 156

Wyznaczanie parametrów i. Z, GZ Niech u=0, wówczas i=-i. Z OE 1 2015 157

Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1. . . L, oraz jk=0 dla k=1. . . M) OE 1 2015 158

OE 1 2015 159

L M OE 1 2015 160

OE 1 2015 161

Wyznaczanie parametrów u. Z, RZ Niech i=0, OE 1 2015 wówczas u=u. Z 162

Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1. . . L, oraz jk=0 dla k=1. . . M) OE 1 2015 163

Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczych Jeśli można pomierzyć napięcie u. AB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia i. Z=i. AB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: OE 1 2015 164

OE 1 2015 165

Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona • Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu i. Z i opornika RZ (GZ). • Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A, B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE 1 2015 166

Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina • Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia u. Z i opornika RZ (GZ). • Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu u. AB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A, B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE 1 2015 167

Metoda potencjałów węzłowych

Przykład 1 v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 169

Równania prądowe v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 170

Zależności gałęziowe v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 171

Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 1 OE 1 2015 172

Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 2 OE 1 2015 173

Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 3 OE 1 2015 174

Końcowy układ równań v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 175

Przykład 2 v 1 v 3 OE 1 2015 176

Przykład 2 Równania OE 1 2015 177

Przykład 2 równania końcowe spr. v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 178

Przykład 2 Równania uproszczone OE 1 2015 179

Przykład 3 v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 180

Przykład 3 Równania OE 1 2015 181

Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3 + OE 1 2015 182

Opis algorytmu 1. Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. 2. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. 3. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p. 2 4. Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE 1 2015 183