Obteno das Curvas de juros de ttulos e

Obtenção das Curvas de juros de títulos e de derivativos financeiros Parte 2 Bruno Lund 1

Tipos de taxas de juros: curvas spot (zero), par e forward n n A partir da curva de juros spot [t(n) R(0, t(n))] é possível obter mais duas curvas: (1) curva par: utilizada para emissão e títulos q n encontrar a taxa de cupom que faz com que o preço de um título que paga cupons descontado pela curva spot seja igual ao valor de face (2) curva forward q construção sintética de títulos zero cupom para uma sequência crescente de maturidades com vida inicial em algum momento no futuro (igual para os títulos de todas as maturidades) – forward Bruno Lund 2

Curva par n A taxa ao par c(n) a. a. de maturidade t(n) é encontrada, por não-arbitragem, a partir da equação abaixo: n A curva ao par é por definição uma sequência de taxas ao par {c(n)}. Função de t(n) c(n) n Bruno Lund 3

Curva forward n A taxa forward F(0, t(1), t(n)) a. a. no instante 0 (hoje), que irá vigorar entre os períodos futuros t(1) e t(n) , com t(1)<t(n), para n=2, 3, . . . , é obtida por não-arbitragem: n Curva forward iniciando em t(1) é uma função t(n) F(0, t(1), t(n)) q Por definição F(0, t(1))=R(0, t(1)) Bruno Lund 4

Curvas de juros n Exercício: Construa as curvas ao par e forward, a partir dos seguintes vértices interpolados de DI futuro para o dia 23 -112007. Bruno Lund 5

Bootstrap n Duas formas de apreçar equivalentes: n B(0, t(i)) é o preço de um título que não paga cupons com valor de face unitário e maturidade t(i) Estas duas maneiras têm que gerar preços iguais Caso contrário, ARBITRAGEM n n Bruno Lund 6

Equivalência de apreçamento n Exercício: Suponha que numa economia existam 3 títulos: q q q (1) um título zero de 1 ano cotado a 95; (2) um título de 2 anos e cupom de 8% a. a. (pa) cotado a 99 e; (3) um título zero de 2 anos com taxa de 9%. Existe oportunidade de arbitragem? Como aproveitá-la? Bruno Lund 7

Bootstrap n Se numa economia só houvesse títulos que não pagam cupons, os vértices da curva de juros já estariam previamente determinados por R(0, t(i)). q n Curva observável Se houver títulos que pagam cupons? Como proceder para encontrar os vértices? q q Curva não-observável construir títulos zero cupom sintéticos a partir do conjunto de títulos que pagam cupons. Bruno Lund 8

Bootstrap n Suponha que existam títulos com a mesma data de aniversário de acordo com a tabela abaixo: n Resolver sistema: Bruno Lund 9

Exemplo: curva-pré (bootstrap) Títulos pré-fixados: 19 -8 -2008 Títulos Maturidade Taxa Preço LTN 1/4/2009 14, 29% 920, 64 LTN 1/7/2009 14, 54% 889, 67 LTN 1/10/2009 14, 68% 857, 88 LTN 1/1/2010 14, 71% 828, 71 LTN 1/7/2010 14, 61% 776, 27 NTNF 1/1/2010 14, 73% 958, 65 NTNF 1/7/2010 14, 63% 944, 14 NTNF 1/1/2011 14, 45% 930, 59 NTNF 1/1/2012 14, 17% 909, 77 NTNF 1/1/2013 14, 06% 890, 28 NTNF 1/1/2014 13, 97% 873, 29 NTNF 1/1/2017 13, 83% 834, 72 Bruno Lund 10

Interpolação n n n n Curva é por definição contínua Bootstrap só encontra pares (t(i), R(0, t(i)) Interpolação liga pontos de maneira a construir a função t(n) R(0, t(n)) Linear Flat-forward Cúbica por partes Cubic Splines Bruno Lund 11

Interpolação linear n n Suponha que conhecemos apenas as taxas para as maturidades t(1) e t(2) Podemos obter qualquer taxa intermediária passando uma reta netes pontos q Exercício: Encontre as taxas R(0; 3, 5) e R(0; 3, 2) por interpolação linear sabendo que R(0; 3)=5, 5% e R(0; 4)=6%. Bruno Lund 12

Interpolação Flat-Forward n n Suponha que conhecemos apenas as taxas para as maturidades t(1) e t(2) hipótese de que a taxa forward F(0, t(1), t) é cte e igual a F(0, t(1), t(2)) q Exercício: igual ao anterior Bruno Lund 13

Interpolação cúbica por partes n n n Suponha que conhecemos 4 taxas entre as maturidades t(1) e t(4) [1º segmento] Suponha que R(0, t) é definida pela seguinte função cúbica para maturidades neste segmento: Problema: encontrar parâmetros (a, b, c, d) tq: Bruno Lund 14

Obtendo a Estrutura a Termo Polinomial por Partes – Exemplo Já calculamos as seguintes taxas q R(0, 1) = 3% q R(0, 2) = 5% q R(0, 3) = 5. 5% q R(0, 4) = 6% n Calcula a taxa de 2. 5 anos R(0, 2. 5) = a x 2. 53 + b x 2. 52 + c x 2. 51 + d = 5. 34375% com n Bruno Lund 15

Obtendo a Estrutura a Termo Polinomial por Partes versus Linear por Partes 6. 50% Linear Cubic 6. 00% 5. 50% Rate 5. 00% 4. 50% 4. 00% 3. 50% 3. 00% 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 Maturity Bruno Lund 16

Interpolação exercício n Exercicio: utilizando a tabela encontre algumas taxas interpoladas para maturidades da sua escolha. Faça o exercício para os três tipos de interpolação apresentados. Bruno Lund 17

Curva DI: Linear vs FF n Dia 23 -08 -2008 Bruno Lund 18

Estimação polinomial cúbica n Toda estimação apresenta erros q q Vértices observáveis não são acertados com precisão Vantagem: trabalhar com número qualquer de taxas >4 n Suponha que curva de juros seja modelada por: n Problema: encontrar (a, b, c, d) que errem o mínimo as taxas observáveis Bruno Lund 19

Estimação polinomial cúbica n O que significa n Regressão linear: taxas (variáveis dependentes) nos loadings (variáveis independentes) Loadings Defina Solução: n n n Bruno Lund 20

Cubic-Splines (segementos): nós fixos n Adição de M Splines fixos em maturidades determinadas (T(1), . . . , T(M)) n Além disso, quero suavidade da curva nas junções (sem bicos) Problema: Encontrar (a(1), b(1), c(1), d(1); . . . , a(M), b(M), c(M), d(M)) respeitando as restrições de suavidade de maneira a minimizar os erros de estimação n Bruno Lund 21

Cubic-Splines (segementos): nós fixos n n Isto significa Exemplo: (Cubic-2 Splines). Suponha um modelo para ETTJ polinomial cúbico com 2 splines (segmentos): um nó na maturidade T(1) e maturidade máxima igual a T(2). Para estimar a curva de juros e necessário resolver o problema de otimização acima sujeito 3 restrições de maneira a encontrar: Bruno Lund 22

Cubic-Splines (segementos): nós fixos n Restrições 3 na junção, mais uma no fim: n É possível reescrever o sistema acima em notação matricial Solução: n Bruno Lund 23

Exercício: curva de juros DI futuro n Exercício: Utilize as informações contidas na tabela para construir uma ETTJ pelo método de estimação: (1) Polinomial Cúbico. Bruno Lund 24

C 0 -Spline vs N-S (Curva DI futuro) Bruno Lund 25

Função desconto n n n Modelar função desconto, ao invés da taxa. Restrição: B(0, 0)=1 Interessante se Curva não-observável: ntn-b, ntn-c e ntn-d B(0, t(n)): Polinômio cúbico Método: Regressão linear com restrições (a=1) q Exercício: curva ntn-b Bruno Lund 26

Obtendo a Estrutura a Termo Função Desconto n n Idéia é trabalhar com um modelo para a Estrutura a Termo, com alguns parâmetros livres. q Procedimento de estimação Os métodos indiretos involvem os seguintes passos q Passo 1: selecione um conjunto de K bonds com preços Pj com fluxos de caixa Fj(ti) nas datas ti>t q Passo 2: selecione uma forma funcional para os fatores de desconto B(t, ti; ß), ou para as taxas de desconto R(t, ti; ß), onde ß é um vetor de parâmetros, valendo então q Passo 3: estime ß por mínimos quadrados Bruno Lund 27

Modelo Paramétrico de Nelson Siegel n Nelson e Siegel introduziram o seguinte modelo para as taxas de desconto R(0, ) : taxa de desconto com maturidade 0 : level parameter - the long-term rate ( ) 1 : slope parameter – the spread short/long-term 2 : curvature parameter ( ) 1 : scale parameter Bruno Lund 28

Obtendo a Estrutura a Termo Inspeção do Funcional de Nelson Siegel 3. 5% 0: Long-term limit 3. 0% 2. 5% 2. 0% Term structure 1. 5% 1. 0% 0. 5% 0. 0% 0 -0. 5% -1. 0% 2 ((1 -exp(- / )). / -exp(- / )) medium-term component 5 10 15 20 25 1 (1 -exp(- / )). / : short-term component -1. 5% Bruno Lund 29

Loadings NS Bruno Lund 30

Parâmetro de Inclinação e de Curvatura n Para investigarmos a influência dos parâmetros de inclinação e curvatura no modelo de Nelson e Siegel, fazemos o seguinte experimento q Comece com o caso base n 0 = 7% n 1 = -2% n 2 = 1% n = 3. 33 q Varie os parâmetros n 1 = entre – 6% e 6% n 2 = entre – 6% e 6% Bruno Lund 31

Curva Inicial Bruno Lund 32

Obtendo a Estrutura a Termo Impacto do Parâmetro de Inclinação Bruno Lund 33

Obtendo a Estrutura a Termo Impacto do Parâmetro de Curvatura Bruno Lund 34

Obtendo a Estrutura a Termo Possíveis Formatos da Curva de Juros Bruno Lund 35

Evolução dos parâmetros do modelo NS no mercado Francês - 1999 -2000 Beta(0) oscillates between 5% and 7% and may be regarded as the very long term rate Beta(1) is the short to long term spread. It varies between -2% and -4% in 1999, and then decreases in absolute value to almost 0% at the end of 2000 Bruno Lund Beta(2), the curvature parameter, is the more volatile parameter which varies from -5% to 0. 7%. 36

Nelson Siegel n Estimação é feita de maneira igual a dos outros modelos q q n n n Minimização em taxas (linear) Minimização em preços (não-linear) Interpretações claras dos parâmetros (fatores) Componentes principais Existem diversos outros modelos paramétricos q q q Vasicek Svensson Polinômios de Legendre Bruno Lund 37

Intervalo de Confiança 5. 30% Yield curve on 09/01/00 5. 20% 5. 10% Confidence interval 5. 00% 4. 90% 4. 80% 4. 70% 0 2 4 6 Bruno Lund 8 10 12 14 38