Observation du thorme de MoivreLaplace Planche de galton

Observation du théorème de Moivre-Laplace • Planche de galton

Applications de l’étude des fluctuations d’échantillonnage dans les nouveaux programmes de première Animation nouveau programme de première Mai 2011

– Partie 1 – Étude de la fluctuation d’échantillonnage

Un minimum de « théorie » p n tirages avec remise. X nombre de boules rouges

X suit la loi binomiale de moyenne E(X) = np et d’écart type correspondant à la fréquence des boules rouges a pour moyenne et pour écart type

Pour n « assez grand » la loi binomiale est proche d’une loi normale et F suit approximativement la loi normale de moyenne p et d’écart type Pour une loi normale, environ 95 % des observations se font dans un intervalle de rayon 2 écarts types autour de la moyenne.

Intervalle de fluctuation de 95 % des observations : [ p – 2 ; p + 2 ] On peut majorer cet intervalle : d’où Intervalle de fluctuation de plus de 95 % des observations du programme de 2 nde [ p – ; p + ]

Observations par simulation Échantillon n° 1 : f 1 = 0, 61. . . Population : p = 0, 6 Échantillon n° 50 : f 50 = 0, 51 Fréquences f 1, f 2, . . . , f 50 obtenues sur les 50 échantillons Distribution d’échantillonnage Roue 1 Roue 2 Roue 3 Observation_theorie_Echantillonnage. xls

Quels obstacles, quelles questions ? · Bien distinguer population et échantillon(s). · Définition de « échantillon » . · Intérêt de certaines « images mentales » comme l’urne (de Bernoulli) ou la roulette. · Nécessité d’expérimenter, physiquement et par simulation. · La définition de l’intervalle de fluctuation s’énonce en termes de probabilité. · La formule de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % n’est pas à faire apprendre aux élèves de seconde.

– Partie 2 – La prise de décision

Un minimum de « théorie » p = p 0 ? échantillon f connu

On fait l’hypothèse que la proportion de boules rouges dans l’urne est p = p 0. Si l’hypothèse est vraie, on sait que la probabilité qu’un échantillon aléatoire de taille n fournisse une fréquence dans l’intervalle (de fluctuation) [ p 0 – , p 0 + ] est environ (ou supérieure à) 0, 95.

On prélève un échantillon aléatoire de taille n dans l’urne sur lequel on observe une fréquence f de boules rouges. En 2 nde, on suit la règle de décision suivante : – Si f appartient à [ p 0 – , p 0 + ], on accepte l’hypothèse p = p 0 au seuil de 5 %. – Si f n’appartient pas à [ p 0 – , p 0 + ], on rejette l’hypothèse p = p 0 au seuil de 5 %.

• Les nouveaux programme de 1ère permettent de définir plus formellement l’intervalle de fluctuation: L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d’une variable aléatoire X de loi binomiale, est l’intervalle où • a est le plus petit entier tel que P(X a) > 0, 025 ; • b est le plus petit entier tel que P(X b) 0, 975.

Cette définition permet donc de réinvestir: • le cours de probabilités • l’algorithmique pour trouver les bornes de l’intervalle de fluctuation. …pour résoudre des problèmes !

• Fin des apports théoriques…en attendant les questions.