Obecn rovnice roviny v prostoru A pevn zvolen

Obecná rovnice roviny v prostoru

A - pevně zvolený bod v rovině X. . . libovolný bod roviny (pokud X≠A) (platí i pro X=A) označíme: n - kolmý (normálový) vektor k rovině v prostoru až na násobek určen jednoznačně)

Obecná rovnice roviny v prostoru A - pevně zvolený bod v rovině X. . . libovolný bod roviny n - kolmý (normálový) vektor k rovině v prostoru až na násobek určen jednoznačně)

Poznámka: p A X Pro přímku v prostoru neplatí: V prostoru nelze vyjádřit přímku obecnou rovnicí ! Například rovnice je v prostoru rovnicí roviny, nikoli přímky !

Příklad: Rovina zadána 3 body A, B, C. Napiš obecnou rovnici roviny: ax+by+cz+d=0 A[2, -4, 5] B[3, -1, 4] C[0, 1, 6] => 2 a-4 b+5 c+d=0 (1) 3 a- b+4 c+d=0 (2) b+6 c+d=0 (3) a+3 b -c =0 (2 -1) (4) -2 a+5 b+c=0 (3 -1) (5) -a+8 b=0 a =8 b (4+5) (6) Z rovnice a=6 b je jasné, že kdyby bylo jedno číslo = 0, tak i další =0. Ale pokud by obě byly rovny nule, pak z rovnice (4) je c=0. U rovnice roviny není možné, aby a=b=c=0. Zvolíme b=1 Pak z (6) a=8 Pak z (4) c=11 Pak z (3) d=-67 => 8 x+y+11 z-67=0

Příklad: Rovina zadána parametrickým vyjádřením. Napiš obecnou rovnici roviny: ax+by+cz+d=0 x=3 -2 u+3 v y=1+ u -2 v z=3 -4 u +v (1) (2) (3) x+2 y= 5 -v ( (1) + 2*(2)) (4) -2 x+z =-3 -5 v ( -2*(1)+(3)) (5) -7 x-10 y+z=-28 (-5*(4) + (5) ) -7 x-10 y+z+28=0