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O QUE É LOGARITMO? Você já ouviu falar em logaritmo?

A invenção dos logaritmos Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI), os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações. Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das ciências. Essa revolução cultural ficou conhecida como o Renascimento. Foi a época em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.

O desenvolvimento da navegação e da Astronomia trouxe consigo cálculos aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos matemáticos passaram a se ocupar com esse problema. A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por Jost Bürgi (1552 -1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John Neper (1550 -1617), teólogo escocês.

Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, que permitiam a simplificação de cálculos aritméticos complicados. Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561 -1631), elaborou uma nova tábua, mais fácil de ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais. Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas como instrumento d cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande importância em áreas do conhecimento humano.

Mas, o que é logaritmo? Reproduzimos, a seguir, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1617. Na versão original, os números indicados na coluna 10 m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m apresentavam até catorze casas decimais:

Analisando um trecho da tabela de Briggs, podemos escrever: 102, 004321 = 101 102, 008600 = 102, 012837 = 103 102, 017033 = 104 102, 021189 = 105 10 m. . . 101 102 103 104 105. . . m. . . 2, 004321 2, 008600 2, 012837 2, 017033 2, 021189. . .

Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. Assim: - O expoente 2, 004321 é o logaritmo de 101 na base 10. - O expoente 2, 008600 é o logaritmo de 102 na base 10. E assim por diante. O que significa dizer que o número 2, 004321 é o logaritmo de 101 na base 10? Significa que 102, 004321 é igual a 101 (na verdade, aproximadamente igual).

Na escrita, usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo. Escrevemos: log 10 101 = 2, 004321. Desse modo, a tabela de Briggs pode ser reescrita com a seguinte indicação: 10 m. . . 101 102 103 104 105. . . log 10 x. . . 2, 004321 2, 008600 2, 012837 2, 017033 2, 021189. . .

A palavra logaritmo foi empregada pela primeira vez por Neper e se originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmos (números)

Definição de logaritmos Considere N e a números reais positivos, com a 1. Definimos: onde: a: base do logaritmo N: logaritmando x: logaritmo de N na base a

Exemplos: 1) log 10 105 = 2, 021189 equivale a 102, 021189 = 105. 2) log 3 9 = 2 equivale a 32 =9. 3) log 5 5 = 1 equivale a 51 = 5. 4) log 7 1 = 0 equivale a 70 = 1. 5) log 10 0, 1 = -1 equivale a 10 -1 = 0, 1. 6) log 2 215 = 215 equivale a 215 = 215.

As restrições impostas à base a (a > 0 e a 1) do logaritmo garantem a existência da unicidade de qualquer número positivo. Exemplo: Se log 2 7 = x, então 2 x = 7. Observando o gráfico da função y = 2 x, verificamos que esse valor existe e é único. Observação: Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim, log 10 N = log N.

O uso dos logaritmos Como calcular (1, 05)100, sem usar calculadora? O valor dessa potência pode ser obtido facilmente através de uma tabela de logaritmos. Considere N = (1, 05)100 e observe a tabela abaixo: x log 10 x 1, 05 0, 021189 131, 49 2. 118900

x 1, 05 131, 49 log 10 x 0, 021189 2. 118900 Temos: log 10 1, 05 = 0, 021189, isto é, 100, 021189 = 1, 05 Assim: N = (1, 05)100 = (100, 021189)100 = 102, 118900 O número cujo logaritmo é 2, 11890 é obtido na tabela: 131, 49. Logo, N = (1, 05)100 = 131, 49.

Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento humano. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Richter. Considere R 1 e R 2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Richter; e M 1 e M 2, energias liberadas por esse tremores. A relação entre R 1 e R 2 é dada por:

O logaritmo e o cálculo mental Determinados cálculos que envolvem logaritmos são tão simples que podem ser feitos mentalmente. Exemplo: Descobrir o valor de x, em cada item: a) log 2 x = 5 b) log 3 9 = x c) logx 8 = 3 d) log 10 x = 7

Solução: a) log 2 x = 5 25 = x. Portanto, x = 32. b) log 3 9 = x 3 x = 9. Portanto, x = 2. c) logx 8 = 3 x 3 = 8. Portanto, x = 2. d) log 10 x = 7. Lembrando que log N = log 10 N, temos: log 10 x = 7 log 10 10 x = 7. Logo, 10 x = 107. Portanto, x = 7.

O uso da tabela no cálculo de logaritmos Exemplo: Consultando a tabela ao lado, calcular: a) 2, 375. 4, 850 b) 11, 519 : 5, 773 c) (1, 995)10 d) x 1, 995 2, 375 4, 850 5, 773 11, 519 log x 0, 2999 0, 3757 0, 6857 0, 7615 1, 0614 31, 602 998, 686 1, 4997 2, 9994

Solução: a) log 2, 375 = 0, 3757 significa que 100, 3757 = 2, 375. log 4, 850 = 0, 6857 significa que 100, 6857 = 4, 850. Assim: 2, 357. 4, 850 = 100, 3757. 100, 6857 = 100, 3757 + 0, 6857 = 101, 0614. Pela tabela, 101, 0614 = 11, 519, isto é, log 11, 519 = 1, 0614. x log x 2, 375 0, 3757 Logo, 2, 375. 4, 850 11, 519. 4, 850 0, 6857 11, 519 1, 0614

Solução: b) log 11, 519 = 1, 0614 significa que 101, 0614 = 11, 519 log 5, 773 = 0, 7615 significa que 100, 7615 = 5, 773. Assim: 11, 519 : 5, 773 = 101, 0614 : 100, 7615 = 101, 0614 – 0, 7615 = 100, 2999. Pela tabela, 100, 2999 = 1, 995, isto é, log 1, 995 = 0, 2999. x log x 1, 995 0, 2999 Logo, 11, 519 : 5, 773 1, 995. 5, 773 0, 7615 11, 519 1, 0614

Solução: c) log 1, 995 = 0, 2999 significa que 100, 2999 = 1, 995. Assim: (1, 995)10 = (100, 2999)10 = 100, 2999. 10 = 102, 999. Pela tabela, 102, 999 = 998, 686, isto é, log 998, 686 = 2, 999. Logo, (1, 995)10 998, 686. x log x 1, 995 0, 2999 998, 686 2, 9994

Solução: d) log 998, 686 = 2, 9994 significa que 102, 9994 = 998, 686. Assim: Pela tabela, 101, 4997 = 31, 602, isto é, log 31, 602 = 1, 4997. Logo, 31, 602. x log x 31, 602 1, 4997 998, 686 2, 9994