Numeriska berkningar i Naturvetenskap och Teknik 1 Numerisk

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 1. Numerisk differentiering och kvadratur Diskretisering av derivata och integral Trapetsmetoden, Simpsons regel 2. Ordinära differentialekvationer Eulers metod, Runge-Kutta metoder 3. System av differentialekvationer 4. Begynnelsevärdes och Randvärdesproblem Inskjutningsmetoden

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Numerisk differentiering och kvadratur Funktionen f(x) i tre punkter: x 0 -h, x 0+h

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Derivator Taylorutveckling kring x 0=0 (Maclaurin) f i punkterna: x 0±h

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Derivator med Taylorutveckling Differensen Derivatan i trepunktsform Lokala felet

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik “Framåtdifferens” Lokalt fel Jämför med definitionen av derivatan: På samma sätt:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kvadratur: Trapetsregeln Linjärinterpolation

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik f 1 f 0 Trapetsregeln f-1 h Arean mellan x-h och x+h h

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Trapetsregeln med feluppskattning: f 1 f 0 f-1 h h

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Simpsons regel: Approximera med en Taylorutveckling f 1 f 0 Integreras till 0 f-1 h h

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ordinära differentialekvationer En ordinär differentialekvation definieras enligt: Första ordn. Andra ordn.

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Eulers metod, diskret lösning av första ordningens ordinära diff. ekvationer. Baseras på “framåtdifferensen” given enl. ovan: Insättning ger:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta metoder Börja med att integrera mellan steg n och n+1 Taylorutveckla f(x, y) kring mittpunkten n+1/2 Integrera:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik dvs

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik dvs

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Man behöver nu en uppskattning av fn+1/2 i uttrycket: Utnyttja Euler! I halva intervallet: dvs med: Runge-Kutta av ordning 2

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta av ordning 2 yn+1 beräknad till ordning h 3 till kostnaden att beräkna f(x, y) i två punkter Geometrisk bild: y x

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta fel av ordning 4 > rk 3

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta fel av ordning 5 > rk 4

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Runge-Kutta fel av ordning 5 > rk 4

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Högre ordningens ordinära differentialekvationer Kan lösas som ett system av ekvationer m. h. a substitutionen: Dvs en ordinär differential ekvation av ordning n kan lösas numeriskt med ex. vis rk 4.

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Lösningsvillkor En differentialekvation av ordning n är fullständigt bestämd endast om n villkor på lösningen ges. Jämför med den enkla differentialekvationen: villkor på y’ villkor på y Begynnelsevärdesproblem Villkoren ges vid samma värde på den oberoende variabeln. Ett exempel för fallet ovan är, y’(0)=2, y(0)=0. I fysiken motsvarat detta ex. vis att man vet position och hastighet vid en given tidpunkt eller i en given punkt.

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem I detta fall vet man värdet på funktion (och/eller derivator) vid olika värden på den oberoende variabeln. Ett exempel från fysikaliska tillämpningar är är fallet med en andra ordningens differentialekvation : Det finns flera metoder för att lösa problem av denna typ numeriskt. En enkel metod är att göra om problemet till ett begynnelsevärdesproblem: och söka värden på γ som ger lösningar som ”skjuter över” resp. ”skjuter under” randvillkoret i b. Man söker sedan numeriskt det värde på γ som ger ett värde på y(b) som ligger inom en given noggrannhet från β. Denna metod kallas “inskjutningsmetoden”. Se sid 329…

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem dvs

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Randvärdesproblem

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel; lös med Eulers metod och RK 4 och studera felet Notera att lösningen är: …annan funktion i år

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel, andra ordningens ekvation överförd till system

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Exempel, randvärdesproblem