NUMERIKI NIZ Tko eli nae nain tko ne

NUMERIČKI NIZ Tko želi nađe način, tko ne želi – nađe izgovor!

• Numerički kontinuirani nizovi se konstruiraju uređenjem vrijednosti kvantitativnih varijabli. • Vrste numeričkih nizova: § numerički kontinuirani nizovi, § numerički diskontinuirani (diskretni) nizovi. • Grupiranje raščlanjivanje statističkog skupa prema modalitetima obilježja. • Grupiranje podataka mora biti : § isključivo § iscrpno ili konačno • Prigodom grupiranja vrijednosti numeričkog niza nastaje distribucija frekvencija (uređivanjem vrijednosti kvantitativne varijable). Najjednostavnije uređivanje numeričkih nizova je nizanje po veličini vrijednosti modaliteta obilježja.

• Ako su pojedinačne vrijednosti varijable X: X 1, X 2, . . . , Xi, . . . , XN , uvid u varijacije pružiti će uređeni skup vrijednosti varijable X, tako da vrijedi: Xi< Xi+1 i=1, 2, . . . , N-1 • Ako se grupira N podataka u k grupa, sa vrijednostima varijable (diskontinuirane) X: X 1, X 2, . . . , Xi, . . . , Xk uz pripadajuće frekvencije: f (X 1), f (X 2), . . , f (Xi), . . . , f (Xk) kraće zapisano fi, • distribucija frekvencija je skup: (Xi, fi), gdje je: i = 1, 2, . . , k; N Xi - broj jedinica statističkog skupa K - broj modaliteta obilježja - vrijednosti modaliteta i-tog obilježja

• f(i) apsolutne frekvencije • p(i) relativne frekvencije • (nastaje diobom i-te apsolutne frekvencije zbrojem apsolutnih frekvencija) • Pojedinačni par u distribuciji frekvencija predstavlja NUMERIČKU GRUPU, tj. broj jednakih vrijednosti varijable X. Modaliteti obilježja Obilježje Xi Broj jedinica modaliteta obilježja fi Distribucija frekvencija X 1 f 1 (X 1, f 1) X 2 f 2 (X 2, f 2) . . Xk fk (Xk, fk) ∑ ∑fi=N

Numeričko kontinuirano obilježje • Obuhvaća ona numerička obilježja koja se mogu izraziti i cijelim i decimalnim brojem (kilogrami, centimetri, litre, godine starosti, itd. ) • Osnovne odlike kontinuirane varijable: § kontinuirana varijabla poprima vrijednosti iz nekog intervala, § vrijednosti kontinuirane varijable grupiraju se na temelju razreda: • donja (L 1 i) granica razreda • gornja (L 2 i) granica razreda • Određivanje granica razreda § i-ti razred je dan izrazom: s apsolutnom frekvencijom fi

• Distribucija frekvencija kontinuirane numeričke varijable je skup parova razreda i pridruženih frekvencija (L 1 i Xi < L 2 i, fi), i = 1, 2, . . . , k alternativno: (L 1 i < Xi L 2 i, fi), i = 1, 2 , . . . , k STURGESOVO PRAVILO • Sturgesovo pravilo služi za određivanje broja razreda k, za grupiranje N podataka u k numeričkih grupa. • Uobičajeni broj k numeričkih grupa kreće se od 5 do 15 (maximalno 25). • Ako su razredi jednaki, širina im se aproksimativno određuje diobom raspona varijacija i broja razreda.

Numeričko diskontinuirano obilježje • Numerički diskontinuirani niz nastaje uređenjem podataka prema numeričkom diskontinuiranom (diskretnom) obilježju. Numeričko diskontinuirano obilježje je svako ono numeričko obilježje koje se može izraziti samo cijelim brojem (broj članova obitelji, broj traktora poljoprivrednog gospodarstva, broj zaposlenih djelatnika jednoga poduzeća, itd. ). • Kod diskontinuiranih numeričkih nizova koji su grupirani u razrede (grupiranje se obavlja kao kod kontinuiranih numeričkih nizova) donja granica (i+1) razreda i i-tog razreda su međusobno različite.

VRSTE GRANICE RAZREDA I NJIHOVA PRIMJENA • Nominalne granice su one koje su zadane, odnosno, zabilježene popisom. Koriste se pri analiziranju diskontinuiranih numeričkih nizova za sva potrebna izračunjavanja. • Prave granice se kreiraju samo za potrebe analize kontinuiranog numeričkog niza. Nakon što se jednom konstruiraju, na temelju njih se dalje obavljaju sva izračunavanja i crtanja kontinuiranoga numeričkoga niza. Dakle, prave granice razreda se koriste za: • izračunavanja parametara kontinuiranog numeričkog niza • crtanja kontinuiranog numeričkog niza • precizne granice je potrebno kontruirati samo kada se želi grafički prikazati diskontinuirani numerički niz. One ne služe ni za kakva računanja bilo kojega niza.

NOMINALNE GRANICE za izračunavanje parametara PRECIZNE GRANICE za crtanje PRAVE GRANICE za izračunavanje parametara DISKNONTINUI RANI NUMERIČKI NIZ KONTINUIRANI NUMERIČKI NIZ

Primjer 1. • Kontinuirano obilježje - prave granice - brojčana vrijednost L 1 i+1 razreda jednaka je gornjoj granici L 2 i (prethodnog razreda). cm (X) Prave granice razreda i Xi 150 -159 150 -160 10 155 160 -169 160 -170 10 165 170 -179 170 -180 10 175 ? ?

159 ? 160 Primjer 2. • Precizne granice razreda – diskontinuirano numeričko obilježje. Broj djece (X) Precizne granice i Xi 0 0 -0, 5 1 0, 5 -1, 5 1 1 2 -3 1, 5 -3, 5 2 2, 5 4 -8 3, 5 -8, 5 5 6

Primjer 3. Broj stabala obilježje? Nominalne granice 150 -154 149, 5 -154, 5 155 -159 154, 5 -159, 5 160 -169 159, 5 -169, 5 Nominalne granice godine obilježje? Precizne granice Prave granice Nominalne granice -19 20 -29 20 -30 30 -49 30 -50 50 -69 50 -70 70 i više Nominalne granice (15) 0 -20 70– 80 (85) Prave granice

• Veličina razreda: § razlika između donje granice slijedećega (i+1) razreda i donje granice promatranoga (i-tog) razreda § Sredina razreda je poluzbroj donje i gornje granice promatranog razreda, tj. : • Ako je umnožak sredine razreda i apsolutne frekvencije jednak zbroju vrijednosti numeričke varijable u rasponu granica razreda riječ je o pravoj sredini razreda.

• Razredna sredina imati će svojstvo prave razredne sredine ako su vrijednosti u razredu simetrično raspoređene. • Pogreška grupiranja predstavlja razliku između prave razredne sredine i izračunate razredne sredine. KORIGIRANE FREKVENCIJE • Ako su veličine razreda međusobno različite, potrebno je korigirati frekvencije: podijeliti originalne frekvencije pripadajućim veličinama razreda ili njima proporcionalnim vrijednostima. • Frekvencije se obvezatno korigiraju: § pri crtanju poligona frekvencija, § pri crtanju histograma, § pri izračunavanju moda,

fc(j) apsolutne korigirane frekvencije pc(j) relativne korigirane frekvencije (dioba i-te apsolutne frekvencije zbrojem apsolutnih frekvencija)

Primjer 4. • Vrijednosti ocjena studenata EFO su: 2, 3, 4, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 4, 2, 5, 3, 5, 2 § zadane podatke grupirajte u razrede § izračunajte veličine razreda i sredine razreda § izračunajte relativne frekvencije § grafički prikažite distribuciju frekvencija Obilježje ocjena Broj studenata Relativne frekvencije Veličine razreda Sredine razreda Xi fi pi i Xi X 1 = 2 5 5/24=0, 20833 1 2 X 2 = 3 7 7/24=0, 29167 1 3 X 3 = 4 7 7/24=0, 29167 1 4 X 4 = 5 5 5/24=0, 20833 1 5 24 1 - -

• U ovom primjeru nije nužno kreirati korigirane frekvencije, jer su razredi međusobno jednakih veličina. Primjer 5. • Visine studenata u cm: 157, 1; 160, 3; 150, 0; 179, 9; 181, 2; 173, 4; 164, 2; 156, 3; 188, 2; 172, 1; 170, 9; 163, 4; 182, 1; 175, 6; 169, 1; 175, 3; 162, 1; 190, 0 • Rv = xmax - xmin = 190 – 150 = 40 cm; • X = 40/5 = 8 § zadane podatke grupirajte u razrede (k 1+3, 3 log 18 5, 142) § izračunajte veličine razreda i sredine razreda § izračunajte relativne frekvencije § grafički prikažite distribuciju frekvencija

Obilježje visine (cm) Xi L 11 150 -158 L 21 L 12 158 -166 L 22 L 13 166 -174 L 23 174 -182 182 -190 Broj Relativne studenata frekvencije fi Pi Veličine razreda i Sredine razreda Xi 3 0, 1667 8 154 4 0, 2222 8 162 4 0, 2222 8 170 4 0, 2222 8 178 3 0, 1667 8 186 18 1 - -

GRAFIČKO PRIKAZIVANJE NUMERIČKIH NIZOVA • Numerički nizovi se prikazuju sljedećim vrstama grafikona: § linijskim grafikonom § poligon frekvencija § specifičnim vrstama površinskih grafikona § histogram § S-L dijagram

LINIJSKI POVRŠINSKI fi fi A M za frekvencije - fi, pi - fc, pc - fr. kum. niza - atributivno - geografsko - intervalno (vremensko) - numeričko (histogram) AM za obilježje xi A M za frekvencije - fi, pi - fc, pc - fr. kum. niza -numeričko (kontinuirano/diskontinirano) -vremensko (intervalno/ trenutačno) AM za obilježje xi

1. LINIJSKI GRAFIKON – POLIGON FREKVENCIJA • Najpoznatiji linijski grafikon za prikazivanje numeričkih nizova je poligon frekvencija. Naziva se i mnogokutnikom jer se nakon povezivanja vrhova ordinata, stvara slika u kojoj međusobno povezane linije tvore veći ili manji kut. • Njegove karakteristike su: § distribucija frekvencija (ili kretanje neke pojave) se prikazuje linijama § ucrtana linija predstavlja oblik distribucije frekvencija § površina ispod linije predstavlja ukupan broj elemenata statističkog skupa ili opseg statističkog skupa § ako je prethodno nacrtan histogram, dovoljno je polovice vrhova stupaca (tj. sredine razreda Xi) spojiti linijama da bi se kreirao poligon frekvencija

• Poligon frekvencija se konstruira na sljedeći način: § na osu X se nanosi aritmetičko mjerilo za vrijednosti numeričkog obilježja (X) § na os Y se nanosi aritmetičko mjerilo za frekvencije. Pri tome valja imati na umu kako frekvencije mogu biti: vza razrede jednakih veličina § apsolutne (f), § relativne (p), vza razrede nejednakih veličina[1] § apsolutne korigirane (fc), § relativne korigirane (pc). Ne zaboraviti: za potrebe crtanja grafikona, ako su razredi nejednakih veličina obavezno korigirati frekvencije! [1]

2. POVRŠINSKI GRAFIKONI • Pri prikazivanju numeričkih nizova površinskim grafikonima, uobičajeno se koriste dvije inačice površinskog grafikona: histogram, i S-L dijagram. a) HISTOGRAM • Histogram je grafikon kontura stupaca, kod kojeg se stupci crtaju bez razmaka. • Njegove odlike su: § visina pravokutnika je određena frekvencijom § baza pravokutnika je određena veličinom razreda § površina svih pravokutnika jednaka je zbroju apsolutnih frekvencija, tj. relativnih frekvencija (1 ili 100)

• I kod histograma se osi grafikona priređuju na već opisan način, to jest: § na os X se nanosi aritmetičko mjerilo za vrijednosti numeričkog obilježja (X) § na os Y se nanosi aritmetičko mjerilo za frekvencije. Pri tome valja imati na umu kako frekvencije mogu biti: vza razrede jednakih veličina § apsolutne (f), § relativne (p), vza razrede nejednakih veličina[1] § apsolutne korigirane (fc), § relativnih korigiranih (pc). Ne zaboraviti: za potrebe crtanja grafikona, ako su razredi nejednakih veličina obavezno korigirati frekvencije! [1]

Primjer 6. Kilogra mi Xi Broj kupaca fi Prave granice Xi Veličine razreda i 0 -1 20 0 -2 2 1 -3 40 2 -4 2 4 -5 25 4 -6 6 -7 10 6 -8 2 br. kupaca 45 kg 30 br. kupaca 2 15 2 4 6 8

b) TUKEYEV S-L DIJAGRAM (Stem-and-Leaf) • Tukeyev S-L dijagram je poznat pod nazivom dijagram stabla i lista. Riječ je o specifičnoj vrsti histograma i načina grupiranja podatka. • Postupak pri kreiranju S-L dijagrama: § poredati podatke po veličini (od najmanjeg prema najvećem) § s lijeve strane okomite crte navesti vodeće znamenke (stablo), npr. oznake za desetice § s desne strane okomite crte (nasuprot vodećoj znamenci) ispisati drugu znamenku (list) Primjer 7. • Xi: 2, 4, 8, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 33, 34, 38, 42, 43, 45, 45, 46

Tukeyev S-L prikaz vrijednosti varijable X Znamenke stabla Znamenke lista Frekvencije (vrijednosti od 0 do 10) 0 248 3 ( od 10 do 20) 1 6799 4 ( od 20 do 30) 2 12345788 8 ( od 30 do 40) 3 3348 4 ( od 40 do 50) 4 235556 6

EMPIRIJSKA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE (KUMULATIVNI NIZ "MANJE OD") • Empirijska funkcija distrubucije poznata pod nazivom "kumulativni niz" nastaje postupnim zbrajanjem originalnih frekvencija (apsolutnih ili relativnih) numeričkog niza. • Prvo će biti pojašnjeno nastajanje kumulativnog niza "manje od" na temelju vrijednosti diskontinuirane numeričke varijable kod koje je grupirane provedeno uporabom apsolutnih frekvencija.

• Iz navedenog slijedi, kako je j-ti član kumulativnog niza: • Svojstva empirjske distribucije frekvencija (apsolutne frekvencije):

• Na analogan način se konstruira i kumulativni niz "manje od" na temelju individualnih vrijednosti numeričke varijable X i relativnih frekvencija (proporcije ili postoci): • Svojstva empirjske distribucije frekvencija za numerički niz temeljen na relativnim frekvencijama:

Grafičko prikazivanje kumulativnih nizova • Kada se linijskim grafikonom prikazuje kumulativni niz kontinuiranog numeričkog obilježja, visina ordinate je uvijek određena frekvencijom kumulativnog niza i mjerilom na osi ordinate. • Kod prikazivanja kumulativnog niza "manje od" ordinata se podiže na mjestu apscise koje označuje vrijednost gornje granice razreda kojemu pripada frekvencija kumulativnog niza. • Kod prikazivanja kumulativnog niza "više od" ordinata se podiže na mjestu apscise koje označuje vrijednost donje granice razreda kojemu pripada frekvencija kumulativnog niza. Primjer 8. • Zadanu distribuciju frekvencija prikažite grafički poligonom frekvencija i histogramom. Grafički prikažite oba kumulativna niza.

Iznos kredita u 1000 kuna Xi Broj komitenata fi Kumulativni niz "više od" "manje od" 0 -2 20 20 120 2 -5 50 70 100 5 -7 35 105 50 7 -10 15 120 - - Graf kumulanti

Primjer 9. • Precizne granice razreda – diskontinuirano numeričko obilježje Broj djece (X) Broj obitelji Kumulativni niz «manje od» 0 50 50 1 150 200 2 -3 200 4 -8 20 420 Graf

Primjer 10. • Zadanu distribuciju frekvencija prikažite grafički poligonom frekvencija i histogramom. Grafički prikažite oba kumulativna niza (oprez: kod diskontinuiranog numeričkog niza, kumulante se konstruiraju kao stepenaste funkcije!). Broj djece Xi Broj obitelji Kumulativni fi niz "više od" "manje od" 1 500 1550 2 800 1300 1050 3 200 1500 250 4 i više 50 1550 - -