Numere Perfecte Conjectur Numere Perfecte nc din antichitate

Numere Perfecte Conjectură

Numere Perfecte �Încă din antichitate, grecii au definit număr perfect ca fiind un număr care este egal chiar cu suma divizorilor lui. ( divizori diferiti de el însuşi ) �Exemple : � 6 = 1 +2 +3 ; � 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ; � 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 ; � 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 ;

Euclid �“ Pornindu-se cu numărul 1, care se dublează de un număr de ori, se obţin alte numere. Dacă suma acestor numere este un număr prim, atunci suma înmulţită cu ultimul număr obţinut este un număr perfect “ �Exemple : � Şirul 1, 2 1 + 2 = 3 ( prim! ) => 3 · 2 = 6 (numar perfect) � Şirul 1, 2, 4 1 + 2 + 4 = 7 ( prim! ) => 7 · 4 = 28 (perfect) � Şirul 1, 2, 4, 16 1 + 2 + 4 + 16 = 31 => 31 · 16 = 496 (perf. ) �Euclid a demonstrat apoi că dacă 2ⁿ - 1 este prim, atunci 2ⁿ⁻¹(2ⁿ - 1) este perfect.

Nicomachus �După 900 de ani de la Euclid, matematicianul grec a propus un set de proprietăţi al numerelor perfecte : � Al n-lea număr perfect are n cifre; � Toate numerele perfecte sunt pare; � Toate numerele perfecte se termină în 6 sau 8, alternativ � Algoritmul lui Euclid este corect; � Exista o infinitate de numere perfecte; �Doar a 4 -a afirmaţie este adevărată deoarece prima si ultima nu au fost încă demonstrate, iar celelalte doua sunt total eronate deoarece Nicomachus s-a bazat pe intuiţie, la acel moment fiind cunoscute doar primele 4 numere. (6, 28, 496, 8128)

Numărul perfect 6 �Încă din secolul 2, oamenii au considerat numărul 6 ca fiind perfect deoarece : �Piciorul de la glezne în jos reprezintă 1/6 din înălţimea omului; �Dumnezeu a creat lumea în 6 zile; �Civilizaţiile antice din Mesopotamia asociai cifra 6 cu noţiunea de mariaj, sănătate şi frumuseţe;

În rezolvarea problemei �De-a lungul timpului numeroşi matematicieni au încercat să găsească motivul pentru care nu pot exista numere perfecte impare. �Ultimul Carl Pomerance, a încercat să argumenteze acest fapt folosindu-se de conjectura lui Ore despre numere armonice. Matematicianul a demonstrat că dacă conjectura lui Ore este adevărată atunci nu există numere impare perfecte. Conjectura lui Ore spune că un număr armonic divizat (orice număr ai cărui divizori foarmează o medie armonică care este un număr întreg) este par.

Descoperiri minore �Orice număr perfect impar trebuie să fie de forma 12 m+1 sau 36 m+9 (Holdener 2002) �Un “număr Fermat” nu poate fi număr perfect. (Luca) �Numărul de divizori ai unui număr perfect (fie el par sau impar) este număr impar. �Nu există numere perfecte de forma x³+ 1 în afară de 28 �Un număr perfect nu poate fi divizibil cu 105 (Kühnel 1949).

Conjectura �Până în prezent, se cunosc 44 de numere perfecte, ultimul din ele având 20 de mil de cifre. �Nu s-a demonstrat încă dacă există numere perfecte impare, sau că există o infinitate de numere perfecte. �Presupunând faptul ca ar exista o infinitate de numere perfecte, matematicienii intuiesc că al 45 -lea va fi descoperit în 2012. (folosindu-se tehnologia existentă în zilele noastre)

Bibliografie �http: //en. wikipedia. org/wiki/Perfect_number �http: //en. wikipedia. org/wiki/Ore%27 s_harmonic_nu mber �http: //amicable. adsl. dk/aliquot/perfect. htm �http: //mathworld. wolfram. com/Perfect. Number. html �http: //www. stetson. edu/~efriedma/numbers. html