Null und nichtig Eine kurze Geschichte der Null

Null und nichtig? Eine kurze Geschichte der Null Kinder Uni 2014 Prof. Dr. Anna Susanne Steinweg Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 1

Zahlen & Rechnen ohne Null? Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 2

Ägypter (seit Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr. ) Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 3

Ägypter Hiero glyph ische Zahls chrift Wie sieht dein Geburtsdatum auf ägyptisch aus? Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 4

Römer (ab ca. 750 v. Chr. ) und bis ins Mittelalter I II Ad III … V VI … ft hri c s l h a Z ditive Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 5

Römer (ab ca. 750 v. Chr. ) und bis ins Mittelalter Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 6

Römer und bis ins Mittelalter – Das Rechenbrett 170 17 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik M D C L X V I S. 7

Probleme einer Zahlenschrift • Für immer größere Zahlen muss immer wieder ein neues Zahlzeichen erfunden werden. • Sich alle Zahlzeichen zu merken ist sehr aufwändig. • Das Rechnen (insbesondere das Multiplizieren) ist extrem kompliziert und gelingt nur über trickreiche Vorschriften. Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 8

Babylonier (ab ca. 2000 v. Chr. ) Nur noch zwei Zeichen für alle Zahlen … Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 9

Babylonier 34 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 10

Babylonier 3 12 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 11

Was heißt das jetzt? 3 12 3 · 60 + 12 = Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik 192 S. 12

. . . und immer so weiter. . . 12 2 12 · 60 + 43200 + 23 2 · 60 + 120 + 23 23 = 43343 Ist jetzt alles geklärt? Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 13

Notiert einmal „babylonisch“ 12 und dann 602 Ein ungelöstes Problem: Wie macht man den Unterschied kenntlich? Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 14

Die „Erfindung“ der Null … Muhamed ibn al-Hwarizmi (um 800 n. Chr. ) Gelehrter im „Haus der Weisheit“ in Bagdad reist nach Indien … Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 15

Und der Anfang der Stellen ist auf der rechten Seite des Schreibers, und diese ist die erste von ihnen, und sie selbst steht für die Einer. Wenn aber 10 an den Platz der Eins gesetzt wird und an der zweiten Stelle steht und wenn seine Form die Form der Eins ist, so war es für sie nötig, der Form der Zehner etwas voranzustellen, damit sie dadurch wussten, was die 10 ist. Sie stellten also diesem Platz der Stelle einen kleinen Kreis voran, der dem Buchstaben o ähnelt, damit sie dadurch wussten, dass die Stelle der Einer leer war und dass keine Zahl an ihr stand außer dem kleinen Kreis …; und sie setzten nach dem Kreis an die vorher genannte zweite Stelle, was auch immer sie wollten aus der Zahl der Zehner von dem, was sich zwischen 10 und 90 befindet. von Muhamed ibn al-Hwarizmi (um 800 n. Chr. ) aus der Übersetzung des Buchs „Über das Rechnen mit indischen Ziffern“ / Algoritmi di numero indorum (813 -833) Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 16

Grundidee der Stellenwerte Ausgangspunkt: Strichlisten für Objekte ///////////////////////////// Grundidee: Bündeln Hunderter Zehner 2 Einer 0 3 Jede Stelle kennzeichnet einen bestimmten Wert für die Ziffern. Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 17

Stellen – Werte – Rechnen mit Ziffern + 600 23 4030 3862 Tausender 4 Hunderter Zehner Einer 4 7 0 7 0 0 0 4 7 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 18

Andere Stellenwertsysteme • Wir rechnen im 10 er-System. Der Zehner ist die Stelle nach den Einern. • Stellenwertsysteme kann man für jede Zahl bestimmen. • Ein ganz besonderes System: Das Dual-System (Zweiersystem) 32 er 16 er 8 er 4 er 2 er Einer 101002 = 16+4 = 20 1010012 = 32+8+1 = Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 19

Dein Lebensalter aus Nullen und Einsen … 32 er 16 er 8 er 4 er 2 er Einer Gottfried Wilhelm Leibniz 1. 7. 1646 in Leipzig geboren 14. 11. 1716 in Hannover gestorben entwickelte ein binäres Zahlensystem, das die Darstellung aller Zahlen mit Hilfe der Null und der Eins ermöglicht. Leibniz nannte das System „Dyadik“. Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 20

Was die Null so alles kann … Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 21

Was bewirkt die Null? 7. 456. 973 + 0 = 7. 456. 973 Bei der Addition ist Null das ‚neutrale Element‘. Gibt 7. 456. 973 0 = 0 es au ch ei bei d n ‚neutr er M ultip ales Elem likati on? ent‘ Wird eine Zahl mit Null multipliziert, ist das Produkt immer Null. Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 22

Ein echtes Problem - Division Zwei Überlegungen Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 23

Überlegung 1 … Annähern … • … beide Entdeckungen sind richtig – aber sie widersprechen sich! immer näher an Null immer größer immer näher an Null Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik immer kleiner S. 24

Überlegung 2 … Umkehraufgabe … 24 : 4 = 6 a: x=b • 6 4 = 24 b x=a Fall 2 b = 0 und a 0 a: x=0 0 x=a • keine Lösung „Die Division durch Null kann nicht definiert werden. “ Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 25

Potenzieren Mathematik folgt logischen Strukturen … 10 · 10 10 · 10 …………. . . = 104 = 103 = 102 = 101 Aber was machen wir mit 10 0 ? Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 26

Potenzieren 10 · 10 10 · 10 10 = 104 = 103 = 102 = 101 100 = 10. 000 = 100 = 10 =1 : 10 103 T Zehntausend Tausend Hundert Zehn Eins : 10 102 H : 10 101 Z Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik 100 E S. 27

Wo kommt denn auf einmal die Null her? Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 28

Wie viele Nullen hat … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 29

Nullen im Ergebnis vorhersagen … Erfinde eine Multiplikationsaufgabe, die im Ergebnis eine Null am Ende hat. ‚Versteckte‘ Multiplikationsaufgaben in jeder Zahl 6 8 6 15 = 2 3 8 = 2 3 15 = 2 3 2 4 = 2 3 3 5 = 2 3 2 2 2 = 2 3 3 5 = 2 2 3 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 30

Wie viele Nullen hat … 4! = 1 2 3 4 5! = 1 2 3 4 5 9! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25! = 1 2 3 4 5 6 7 … 22 23 24 25 Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 31

25! = 15. 511. 210. 043. 330. 985. 984. 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Jede 2. Zahl trägt mindestens eine Zwei bei… Jede 5. Zahl trägt mindestens eine Fünf bei … Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 32

Zum Weiterforschen… Wie viele Endstellen-Nullen hat 100! = 1 2 3 … 98 99 100 Danke für eure Mitarbeit. Kinder. Uni 2014 | Prof. Dr. A. S. Steinweg | Didaktik der Mathematik & Informatik S. 33