novembre 09 Probabilits et Statistiques Anne 20092010 laurent

novembre 09 Probabilités et Statistiques Année 2009/2010 laurent. carraro@telecom-st-etienne. fr olivier. roustant@emse. fr Probas-Stats 1 A 1

Cours n° 8 Vecteurs aléatoires

novembre 09 Plan Ø Vecteurs aléatoires et loi Ø Indépendance Ø Espérance Ø Matrice de covariance Probas-Stats 1 A 3

novembre 09 Vecteurs aléatoires et loi Ø Si X et Y sont deux v. a. , on dit que Z=(X, Y) est un vecteur aléatoire (vect. a. ). Ø La loi du vect. a. (X, Y) est la probabilité m(X, Y) définie sur IR 2 par : Ø Formule de transfert générale : Probas-Stats 1 A 4

novembre 09 Cas discret Exemple : § X de valeurs 3 ou 5 § Y de valeurs 1, 2 ou 3 Ø Loi de (X, Y) probabilité 1 2 3 3 0, 2 0, 15 0, 3 5 0, 15 0, 05 0, 15 Ø Loi marginale de X : P(X=3)=P(X=3, Y=1)+P(X=3, Y=1)=0, 2+0, 15+0, 3=0, 65 On somme par ligne (idem pour Y) Ø Indépendance : La loi du couple est le produit des marges Probas-Stats 1 A 5

novembre 09 Cas continu Ø Densité d’un couple : § Formellement : Ø Lois marginales : Ø Indépendance : § cas continu : § cas général : Probas-Stats 1 A 6

novembre 09 Somme de v. a. - convolution Ø Soient X et Y deux v. a. supposées indépendantes et continues. Ø On pose S=X+Y. Loi de S ? Ø Illustration : Une quantité aléatoire X est mesurée avec une erreur ER elle aussi supposée aléatoire. § Quelle est la loi de la quantité mesurée ? § Quelle hypothèse feriez-vous a priori pour la loi de ER ? Probas-Stats 1 A 7

novembre 09 Retour sur la covariance Ø Par la formule de transfert : Ø Si X et Y sont indépendantes : Probas-Stats 1 A 8

novembre 09 Espérance d’un vect. a. Ø Soit X=(X 1, …, Xn) est un vect. a. n× 1 Ø son espérance notée E(X) est le vecteur n× 1 E(X)=(E(X 1), …, E(Xn)) Ø Propriété fondamentale : l’espérance est linéaire Remarque : résultat identique en composant à droite par une matrice. Probas-Stats 1 A 9

novembre 09 Matrice de covariance Ø Soit X=(X 1, …, Xn) est un vect. a. n× 1 d’espérance notée m. Ø La matrice de covariance de X est la matrice n×n, notée S ou SX, de terme général : Ø Matriciellement, en notant m. X l’espérance de X: Probas-Stats 1 A 10

novembre 09 Propriétés Ø La matrice SX est symétrique, positive : Ø Autres propriétés : Ø Si les composantes de X sont indépendantes, la matrice SX est diagonale. Probas-Stats 1 A 11