Notte dei ricercatori Parma 27 settembre 2013 Una

Notte dei ricercatori, Parma 27 settembre 2013 Una, nessuna e centomila (parallele) Alberto Saracco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Parma

Approvato dalla rete!

Il V postulato (1) Dati r e P, quante parallele a r per P? Nessuna Una Infinite

Il V postulato (2) Una! E’ il famoso V postulato di Euclide! (sarebbe l’ assioma di Playfair)

I primi IV postulati… I • Per due punti passa una retta II • Una retta finita si può prolungare indefinitamente III • Dati un centro e un raggio si può descrivere un cerchio IV • Angoli retti sono uguali tra loro

e il V Se una retta incidente ad altre due rette forma due angoli interni la cui somma sia minore di due retti Le due rette prolungate indefinitamente si incontreranno dalla parte dei due angoli minori di due retti ALLORA

Cosa non va nel V postulato? 1 • Non piaceva ad Euclide • Le prime 28 proposizioni (e la 31) non lo usano 2 • Sembra un teorema • Il suo inverso è la Prop. 17 3 • La Proposizione 32 implica le proposizioni 16 e 17 • Perchè Euclide le enuncia?

La geometria assoluta Occorre dimostrare il V postulato Oppure sostituirlo con un altro assioma Studiare la geometria assoluta, dove valgono I, III e IV

Teoremi della geometria assoluta 17 31 • In ogni triangolo la somma di due angoli è minore di due retti • Dati un punto P e una retta r non passante per P, esiste (almeno) una parallela a r passante per P

Almeno una! Dati r e P, quante parallele a r per P? Nessuna Una Infinite

Proprietà equivalenti a V P teorema della g. euclidea P = V V teorema della g. assoluta + P

Proprietà equivalenti a V Rette parallele alla stessa retta sono parallele Luogo dei punti equidistanti da una retta: retta Esiste una coppia di rette equidistanti Esistono due triangoli simili ma non congruenti Somma degli angoli interni di un triangolo: 180° Esiste un triangolo con somma degli angoli interni 180° Esiste un rettangolo Per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela …

Girolamo Saccheri Euclides ab omni naevo vindicatus (1733) Geometria assoluta non V ASSURDO!

Nei quadrilateri birettangoli isosceli gli altri due angoli sono acuti • Equivalente a infinite parallele sono retti • Equivalente a 1 parallela (V postulato) sono ottusi • Equivalente a nessuna parallela

Le ipotesi Dell’angolo acuto retto ottuso

L’ipotesi dell’angolo ottuso Ipotesi dell’angolo ottuso V postulato Assurdo! L’ipotesi dell’angolo ottuso distrugge sé stessa

L’ipotesi dell’angolo acuto Ipotesi dell’angolo acuto Esistono rette asintotiche Non bello (? ? ? ) L’ipotesi dell’angolo acuto ripugna all’idea di linea retta

La geometria iperbolica Saccheri aveva semplicemente trovato la geometria iperbolica Geometria assoluta + Negazione V postulato = Geometria iperbolica

Nella geometria iperbolica Ci sono infinite parallele ad r passanti per P Esistono rette asintotiche Somma degli angoli interni di un triangolo: <180° Somma degli angoli interni di un triangolo: non costante Triangoli simili sono congruenti Somma degli angoli interni + area del triangolo = costante! L’area dei triangoli è limitata Esistono rette incidenti parallele alla stessa retta …

Un modello del piano iperbolico Piano = disco aperto D Rette = diametri e circonferenze perpendicolari al bordo di D Angoli tra rette = angoli tra le tangenti Distanza = complicata. Man mano che ci si avvicina al bordo la distanza tra punti aumenta

Limite del cerchio, M. C. Escher

Altre geometrie… Negando il V postulato • Abbiamo ottenuto la geometria iperbolica Cosa succede se cambiamo altri postulati? • Si trovano altre geometrie…

La geometria sferica Piano = sfera S Rette = circonferenze massime Angoli tra rette = angoli tra le tangenti Distanza = misurata sulle circonferenze come nella geometria euclidea

Geometria sferica Vale il V postulato Somma degli angoli interni di un triangolo: >180 ° Somma degli angoli interni di un triangolo: non costante Triangoli simili sono congruenti Somma degli angoli interni - area del triangolo = costante! L’area dei triangoli è limitata Vale l’ipotesi dell’angolo ottuso … Tutte le rette si intersecano

E l’assurdo? Qualcosa non torna, ma cosa? • Nella geometria sferica non vale il I postulato (se interpretato come “per due punti passa una e una sola retta”) e non vale il II postulato (le rette sono finite) • Nella geometria sferica dati tre punti su una retta non ha senso chiedersi quale sta tra gli altri due

I postulati non postulati Euclide usa anche delle “verità” che non enuncia esplicitamente Per parlare correttamente di “geometria euclidea”, dovremmo enunciare tutti gli assiomi

Gli assiomi di Hilbert (20) Assiomi di collegamento Assiomi di ordinamento • Due punti distinti dello spazio individuano una retta. • Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta. • Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano. • Qualsiasi terna di punti non allineati di un piano individua tale piano • Se due punti di una retta giacciono su un piano tutti i punti della retta giacciono su quel piano • Se due piani hanno un punto in comune avranno almeno un secondo punto in comune • Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, ed esistono almeno quattro punti non complanari • Se un punto A sta tra B e C, A sta anche tra C e B, ed i tre punti sono allineati • Dati due punti distinti A e B, esistono un terzo e un quarto punto C e D sulla retta passante per A e Btali che A sta tra C e B sta tra A e D • Dati tre punti distinti e allineati, ce n'è esattamente uno che giace tra gli altri due • Assioma di Pasch: siano dati tre punti A, B e C non allineati, contenuti in un piano p, ed una retta dcontenuta in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: se d contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC. (Intuitivamente l'assioma potrebbe essere espresso così: se una retta entra in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due. ) • Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A' è un punto sulla stessa retta ovvero su un'altra a', si può sempre trovare un punto B', da Assiomi di congruenza una data parte della retta a' rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A'B'. In simboli: AB ≡ A'B'. • La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB, allora. A′B′ ≡ A′′B′′. • Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su una retta r′ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C′, allora AC ≡ A′C′. • Sia ABC un angolo e B'C' una semiretta, esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente all'angolo ABC. • La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A′B′C′ e A′′B′′C′′ sono congruenti ad ABC, allora A′B′C′ ≡ A′′B′′C′′. • Se per due triangoli ABC e A′B′C′ si ha che AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, e l'angolo BAC ≡ all'angolo B′A′C′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al triangolo A′B′C′. Assioma delle parallele Assiomi di continuità • (Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r. • (Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenente AB una famiglia di punti A₁, A₂, …, An tali che i segmenti AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, An-1 An, sono congruenti a CD e tali che B giace tra A e An. • (Assioma di completezza ). Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi geometrici in modo che il sistema così generalizzato formi una nuova geometria obbediente a tutti i venti assiomi precedenti. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, ammesso che si considerino validi i venti assiomi del sistema assiomatico di Hilbert.

E quindi? Dati r e P, quante parallele a r per P? Una, nessuna e centomila! (geometria euclidea) (geometria sferica) (geometria iperbolica)

Sitografia / Bibliografia • www 2. unipr. it/~saralb 74/divulgazione • Wikipedia • http: //lcalighieri. racine. ra. it/pescetti/ricerca_geo metrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/sec onda_parte. htm • http: //www. dmf. unicatt. it/~bibsoft/provatesi/m odello_iperbolico. htm • Le geometrie non euclidee, D. Palladino e C. Palladino • Geometrie non euclidee, S. Benvenuti